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2012届广东省茂名市高三4月第二次高考模拟考试


广东省茂名市 2012 届高三 4 月第二次高考模拟考试 数学(文)
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内的相应位置

上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅 笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 5.参考公式: V锥体 ?

1 S ?h 3 底

S球面积 ? 4? R2
选择题(共 50 分)

第一部分

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.若集合 A= x | x ? 1,x ? R , B ? {x | y ? A A.

?

?

x} ,则 A ? B =(

) D. ?

?x | ?1 ? x ? 1?
1 ? 2( x ? 0) ; x

B.

?x | x ? 0?
) ②

C.

?x | 0 ? x ? 1?

2. 下列三个不等式中,恒成立的个数有( ①x? A.3

c c a?m a ? (a ? b ? c ? 0) ;③ ? (a, b, m ? 0, a ? b) 。 a b b?m b
C.1 D.0 ) D. y ? x
2

B.2

( ) 3.下列函数,其中既是偶函数又在区间 0,1 上单调递减的函数为(
A. y ?

1 x

B. y ? lg x

C. y ? cos x

4.在 ?ABC中, " sin A ? A.充分不必要条件 C.充要条件

3 ? "是" ?A ? " 的( 2 3

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. 在一次班级聚会上,某班到会的女同学比男同学多 6 人,从这些同学 中随机挑选一人表演节目.若选到女同学的概率为 会的同学的人数为( ) .

2 ,则这班参加聚 3

A.12 B. 18 C. 24 D. 32 6.若如右图所示的程序框图输出的 S 是 30 ,则①可以为 ( ) A. n ? 2 ? B. n ? 3 ? C. n ? 4 ? D. n ? 5 ? 7.已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3, 4, x ,且它的 8 个顶点

第6题图

都在同一个球面上,这个球面的表面积为 125π 则 x 的值为( A.5 B.6 C.8 D.10

)

8.已知等比数列{an}的前 n 项和 sn ? t ? 2 n?1 ? 1 ,则实数 t 的值为(



A.-2

B.0 或-2

C.2

D.

1 2

9.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且 当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 011)+f(2 012)的值为( A.-2 B.-1 C.2 D.1 )

10. 在实数集 R 中,我们定义的大小关系“ ? ”为全体实数排了一个“序” .类似的,我 们在平面向量集 D ? {a | a ? ( x, y), x ? R, y ? R} 上也可以定义一个称为“序”的关系, 记为“ ? ” .定义如下: 对 于 任 意 两 个 向 量 a1 ? ( x1 , y1 ),a2 ? ( x2 , y2 ), , a1 ? a2 当 且 仅 当 “ x1 ? x2 ” 或 “ x1 ? x2且y1 ? y2 ” . 按上述定义的关系“ ? ” ,给出如下四个命题: ①若 e1 ? (1,0),e2 ? (0,1) , 0 ? (0,0) 则 e1 ? e2 ? 0 ; ②若 a1 ? a2 , a2 ? a3 ,则 a1 ? a3 ; ③若 a1 ? a2 ,则对于任意 a ? D , a1 ? a ? a2 ? a ; ④对于任意向量 a ? 0 , 0 ? (0,0) ,若 a1 ? a2 ,则 a ? a1 ? a ? a2 . 其中真命题的序号为( ) A.①②④ B.①②③ C.①③④ 非选择题(共 100 分) D.②③④

第二部分

二、填空题(本大题共 5 小题,第 14、15 小题任选一道作答,多选的按第 14 小题给分, 共 20 分) 11. 已知复数 z ? x ? yi x, y ? R )且 z ? 2 ? 1 , x 、y 满足的轨迹方程是__________. ( , 则 甲 甲 比赛得分的茎叶图,则甲乙两人比赛得分的中位数之和是________. 2 2 3 13.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点,焦点 2 3 4 5 在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 , F2 ,且它们在第一象限 6 3 4 0 12.如图是某赛季 CBA 广东东莞银行队甲乙两名篮球运动员每场 乙 1 2 3 4 2 3 1 0 3 1 4 2 1 4 9

的交点为 P , ?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若 | PF |? 10 ,双曲线的离心率的值 1 为 2,则该椭圆的离心率的值为________.

选做题:以下两题任选一道作答,两题都答的按第 14 题正误给分。 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? , (? 为 参 数 ) 则 曲 线 C 上 的 点 到 直 线 ? y ? sin ?


x ? y ? 2 ? 0 的距离的最大值为

P

E

15. (几何证明选做题) 如图,已知 P 是⊙O 外一点, PD 为⊙O 的切线, D 为切点, 割线 PEF 经过圆心 O ,若 PF ? 12 , PD ? 4 3 ,则⊙O 的半径长为 .

O
D
第15题图

F

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)

对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 100 人,其中女性 60 人,男性 40 人.女性中有 38 人主要的休闲方式是看电视,另外 22 人主要的休闲方式是 运动; 男性中有 15 人主要的休闲方式是看电视,另外 25 人主要的休闲方式是运 动. (1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关.
参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 ;n ? a ?b?c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.84 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.83

P( K 2 ? k )

0.50 0.455

k

参考数据: ×40×53×47=5978400,620×620=384400, 60

384400÷59784≈6.4298.

17. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 平 面 四 边 形 ABCD 中 , AB=AD=2 ,

?BAD ? x, ?BCD 是正三角形.
(1)将四边形 ABCD 的面积 S 表示为 x 的函数; (2)求 S 的最大值及此时的 x 值.

第17题图

18. (本小题满分 14 分)

?x ? 0 ? (n ? N ? ) 表示的平面区域为 Dn ,记 在平面直角坐标系上,设不等式组 ? y ? 0 ? y ? ?2n( x ? 3) ?

Dn 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为 an .
(1)求出 a1 , a2 , a3 的值(不要求写过程) ; (2)证明数列 {an } 为等差数列; (3)令 bn=

1 (n∈N*) ,求 b1+b2+?+bn. a n a n ?1

19.(本小题满分 14 分) 如图所示, 圆柱的高为 2,PA 是圆柱的母线, ABCD 为矩形, AB=2, BC=4, E、F、G 分别是线段 PA,PD,CD 的中点。 (1)求证:平面 PDC ? 平面 PAD; (2)求证:PB//面 EFG; (3)在线段 BC 上是否存在一点 M,使得 D 到平面 PAM 的距离为 2?若存 在,求出 BM;若不存在,请说明理由。 20. (本小题满分 14 分)

第19题图

在平面直角坐标系 xoy 中,动点 M 到定点 F (0, ) 的距离比它到 x 轴的距离大 动点 M 的轨迹是曲线 E . (1)求曲线 E 的轨迹方程;

1 4

1 ,设 4

(2) 设直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与曲线 E 相交于 A 、B 两点, 已知圆 C 经过原点 O 和 A、 B 两 点,求圆 C 的方程,并判断点 M (0,4) 关于直线 l 的对称点 M ? 是否在圆 C 上.

21. (本小题满分 14 分)

已知二次函数 f (x) 满足: ?当 x ? 2 时有极值; ?图象与 y 轴交点的纵坐标为 ?4 , 且在该点处的切线与直线 4 x ? y ? 4 ? 0 平行. (1)求 f (-1) 的值; (2)若 m ? R ,求函数 y ? f ( x ln x+m), x ??1, e? 的最小值; (3)若曲线 y ? f (ln x), x ? (1,??) 上任意一点处的切线的斜率恒大于 k 3 ? k ? 4 , 求
k 的取值范围.

茂名市 2012 年第二次高考模拟考试 数学试试卷(文科)参考答案和评分标准
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 6 题号 答案 C B C A B C 部分试题提示: 7. 因为球的半径为R=
25 + x 2 ,所以有 4? ( 2

7 D

8 A

9 D

10 B

25 ? x 2 2 ) ? 125 , 所以x ? 10 ? 2

9. 由 f(x+2)=f(x)知 f(x)是周期为 2 的函数,
∴f(-2 011)+f(2 012)=f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(0)=log22+log21=1. 10.(1)①显然正确 (2)设 a1 ? ( x1 , y1 ),a2 ? ( x2 , y2 ), a3 ? ( x3 , y3 ) 由 a1 由 a2

? a2 ,得“ x1 ? x2 ”或“ x1 ? x2且y1 ? y2 ”
? a3 ,得“ x2 ? x3 ”或“ x2 ? x3且y2 ? y3 ”

若x1 ? x2 ? x3 ,则 a1 ? a3
若“ x1 ? x2 ”且“ x2 ? x3且y2 ? y3 ”,则 x1 ? x3 ,所以 a1 ? a3 若“ x1 ? x2且y1 ? y2 ” 且“ x2 ? x3 ”,则 x1 ? x3 ,所以 a1 ? a3 若“ x1 ? x2且y1 ? y2 ” 且“ x2 ? x3且y2 ? y3 ”,则 x1 ? x3且y1 ? y3 ,所以 a1 ? a3 综上所述,若 a1 ? a2 , a2 ? a3 ,则 a1 ? a3 所以②正确 (3)设 a1

? ( x1 , y1 ),a2 ? ( x2 , y2 ),a ? ( x, y) ,则

a1 ? a ? ( x1 ? x, y1 ? y ),a2 ? a ? ( x2 ? x, y2 ? y)
由 a1

? a2 ,得“ x1 ? x2 ”或“ x1 ? x2且y1 ? y2 ”

若 x1 ? x2 ,则 x1 ? x ? x2 ? x ,所以 a1 ? a ? a3

?a ?a

若 x1 ? x2且y1 ? y2 ,则 x1 ? x ? x2 ? x且y1 ? y ? y2 ? y ,所以 a1 ? a ? a3

综上所述,若 a1 ? a2 ,则对于任意 a ? D , a1 ? a ? a2 ? a 所以③正确 (4) a1

? ( x1 , y1 ),a2 ? ( x2 , y2 ),a ? ( x, y)

由a 由 a1

? 0得

“ x ? 0 ”或“ x ? 0且y ? 0 ” “ x1 ? x2 ”或“ x1 ? x2且y1 ? y2 ”

? a2 得

若“ x ? 0且y ? 0 ”且“ x1 ? x2 且y1 ? y2 ” ,则 xx1 ? xx2 ? 0 且yy1 ? yy2 , 所以 xx1 ? yy1 ? xx2 ? yy2 所以 a ? a1 ? a ? a2 所以④不正确 综上所述,①②③正确,选 B 二、填空题(本大题共 5 小题,第 14、15 小题任选一道作答,多选的按第 14 小题给分, 共 20 分) 11.

? x ? 2?

2

? y2 ? 1

12.120

13.

2 5

14.

3 2 ?1 2

15.4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)2×2 列联表如下: 休 闲 看电视 运动 总计 方 性 式 别

女 男 总计

38 15 53

22 25 47

60 40 100
………………………………6 分

(2)假设“休闲方式与性别无关”. 由表中数据计算得, k ?
100(38 ? 25 ? 22 ?15) 2 ? 6.430 60 ? 40 ? 53 ? 47

..……………………10 分

因为 k≥5.024,所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的,即有 97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”. ………………………12 分

17.解(本小题满分12分) (1)在?ABD中由余弦定理得 BD2 ? AB 2 ? AD2 ? 2 AB ? AD cos x ? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2cos x ? 8 ? 8cos x.......2分

? ?BCD的面积为S1 ?
?ABD 的面积为 S 2 ?

1 ? 3 BD2 sin ? (8 ? 8 cos x) ? 2 3 ? 2 3 cos x......... 分 3 2 3 4
????????????4 分

1 AB ? AD sin x ? 2 sin x 2

? x为?ABD的一内角? x ? (0,? ) ,

????????????????5 分

?四边形ABCD的面积S ? S1 ? S 2 ? 2 3 ? 2 3 cos x ? 2 sin x, x ? (0, ? ) ??6 分
(2) ? S ? 2 3 ? 2 3 cos x ? 2sin x ? 4sin( x ? ) ? 2 3, x ? (0, ? ) 3 ? x ? (0, ? ),? ? ?当x ?

?

?????9 分

?
3

? x?

?
3

?

2? 3

??????????????10 分

?
3

?

?
2

,即x ?

5? 时, S取得最大 , S max ? 4 ? 2 3 . 6

????????12 分

18. (本小题满分 14 分) 解: (1) a1 ? 9, a2 ? 15, a3 ? 21 ; (2)由 x ? 0, y ? 0,?2n( x ? 3) ? y ? 0得0 ? x ? 0 …………………………3 分 …………………4 分

所以平面区域为 Dn 内的整点为点(3,0)与在直线 x ? 1和x ? 2 上, . …………………5 分 直线 y ? ?2n( x ? 3) 与直线 x ? 1和x ? 2 交点纵坐标分别为 y1 ? 4n和y2 ? 2n ………6 分

Dn 内在直线 x ? 1和x ? 2 上的整点个数分别为 4n+1 和 2n+1,

? an ? 4n ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 ? 6n ? 3 ? an?1 ? an ? 6n ? 9 ? (6n ? 3) ? 6
? 数列 {an } 为 以首项a1 ? 9,公差为6的 等差数列.
(3)∵bn=

…………………………………7 分 ………………………8 分 . …………………9 分 ………………………10 分

1 1 1 1 ? ( ? ) a n an?1 6 6n ? 3 6(n ? 1) ? 3

? b1+b2+?+bn

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? )?( ? )+( ? )+ ??? +( ? )] 6 6 ?1 ? 3 6 ? 2 ? 3 6? 2 ? 3 6?3 ? 3 6?3 ? 3 6? 4 ? 3 6n ? 3 6( n ? 1) ? 3

n 1 1 1 ? ( ? )? 27(2n ? 3) 6 6 ?1 ? 3 6(n ? 1) ? 3

……………………… ………………………14 分

19. (本小题满分 14 分) 证明(1)∵PA 是圆柱的母线,∴PA ? 圆柱的底面。……………………………………1 分 ∵CD ? 圆柱的底面,∴PA ? CD 又∵ABCD 为矩形,∴CD ? AD 而 AD ? PA=A,∴CD ? 平面 PAD ………………………………………3 分 又 CD ? 平面 PDC,∴平面 PDC ? 平面 PAD 。 ………………………………………4 分 (2)取 AB 中点 H,连结 GH,HE, ∵E,F,G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点, ∴GH//AD//EF, ∴E,F,G,H 四点共面。 ……………………… ………………………6 分 又 H 为 AB 中点,∴EH//PB。 ……………………… ………………………7 分 又 EH ? 面 EFG, PB ? 平面 EFG, ∴PB//面 EFG。 ……………………… ………………………9 分 (3)假设在 BC 上存在一点 M,使得点 D 到平面 PAM 的距离为 2,则以 ? PAM 为底 D 为 顶点的三棱锥的高为 2,连结 AM,则 AM= 由(2)知 PA ? AM ∴S ? PAM=

AB2 ? BM 2 = 22 ? BM 2 ,

1 1 3 3 1 1 ∵ S ?AMD ? AD ? AB ? ? 4 ? 2 ? 4 2 2 1 1 8 ∴ VP ? AMD ? S ?AMD ? PA ? ? 4 ? 2 ? 3 3 3
∴VD—PAM= ? S ?PAM ? 2 = ? ∵VD—PAM = VP ? AMD ∴

1 1 PA ? AM ? ? 2 22 ? BM 2 ? 4 ? BM 2 2 2 2 4 ? BM 2 ????????11 分 4 ? BM 2 ? 2 = 3

???????12 分

8 2 4 ? BM 2 = 3 3

解得: BM ? 2 3

∵2 3 ? 4 ∴在 BC 上存在一点 M,当 BM ? 2 3 使得点 D 到平面 PAM 的距离为 2。. …………14 分 20. (本小题满分 14 分)

1 的距离,?2 分 4 1 1 ∴动点 M 的轨迹曲线 E 是顶点在原点, 焦点为 F (0, ) 的抛物线和点 (0, ? ) ????4 分 4 4 1 2 ∴曲线 E 的轨迹方程为 x ? y 和 y ? ? ( x ? 0) . ??????????6 分 4
解: (1)由已知,即动点 M 到定点 F (0, ) 的距离等于它到定直线 x ? ? (2)由 ?

1 4

?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? y
2

解得 ?

? x ? ?1 ? x ? 2 或? ?y ?1 ?y ? 4

???????????8 分

即 A(?1,1) , B(2,4) 设过原点与点 A 、 B 的圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,

?F ? 0 ? D ? ?2 ? ? 则 ?1 ? 1 ? D ? E ? F ? 0 ,解得 ? E ? ?4 ?4 ? 16 ? 2 D ? 4 E ? F ? 0 ?F ? 0 ? ?
∴圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 即 ( x ?1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ?????10 分

由上可知,过点 M (0,4) 且与直线 l 垂直的直线 M M ? 方程为: y ? ? x ? 4

解方程组 ?

?x ? 1 ? y ? ?x ? 4 ,得 ? ?y ? 3 ?x ? y ? 2 ? 0
???????????12 分

即线段 M M ? 中点坐标为 H (1,3)

从而易得点 M (0,4) 关于直线 l 的对称点 M ? 的坐标为 M ?(2,2) 把代入 M ?(2,2) 代入: ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 5
2 2

∴点 M ?(2,2) 不在圆 C 上.

?????????????14 分

21. (本小题满分 14 分) 解:(1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,由题意可得:
f (0) ? ?4,? c ? ?4
???????????????????????1 分

∴ f ?( x) ? 2ax ? b. ∵在 x ? 2 处有极值, ∴ f ?(2) ? 0,即4a ? b ? 0.
??????????????????????? 2 分

∵ 在点(0, ?4)处的切线与直线4x+y ? 4=0平行, ∴ f ?(0) ? ?4,即b ? ?4, 故a ? 1, ???????????????????????3 分 ∴ f ( x) ? x2 ? 4x ? 4, f (-1) ? 1+4 ? 4 ? 1. ??????????????????4 分 (2)∵ f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 ? ( x ? 2)2 ? 8 ∴ y ? f ( x ln x ? m) ? ( x ln x ? m ? 2)2 ? 8. ??????????????????5 分

令 t ? x ln x ∴ 当x ??1, e?时,t? ? 1 ? ln x ? 1 ? 0 ∴ t ? x ln x在x ??1, e? 上单调递增, 0 ? t ? e, ????????????????6 分 ∴ ∴ y ? g (t ) ? (t ? m ? 2)2 ? 8.(0 ? t ? e) ∵ 函数y ? g (t ) ? (t ? m ? 2)2 ? 8.(0 ? t ? e)的对称轴为t ? 2 ? m .???????7 分


当2-m ? 0, 即m ? 2时,函数y ? g (t )在区间[0,e]单调增, 所以ymin ? g (0) ? (m ? 2) 2 ? 8
???????????????????8 分 ② 当0 ? 2-m ? e,即2-e ? m ? 2时,

函数y ? g (t )在顶点取得最小值,所以ymin ? g (2-m) ? ?8 ???????9 分


当2-m ? e, 即m ? 2 ? e时,函数y ? g (t )在区间[0,e]单调递减,所以 ymin ? g (e) ? (e ? m ? 2) 2 ? 8
????????????????????????????10 分

(3) f (ln x) ? (ln x)2 ? 4ln x ? 4, 令t ? ln x, ∵ x ? (1,??) , ∴ t ? 0,? f (t ) ? t 2 ? 4t ? 4,? f ?(t ) ? 2t ? 4 .????????????????11 分 ∵ t ? 0 ,∴ f ?(t ) ? ?4 .
?????????????????????12 分

由题意得 k 3 ? k ? 4 ? f ?(t )恒成立, ∴ k 3 ? k ? 4 ? ?4,?k (k ? 1)(k ?1) ? 0,?k ? ?1或0 ? k ? 1 , ∴ k 的取值范围为 k ? ?1或0 ? k ? 1 .. ??????????????????14 分


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