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3.1.2复数的几何意义


实数的几何意义
在几何上, 我们用什么 来表示实数? 实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应

实数 (数 )

数轴上的点 (形 )
类比实数的 表示,可以 用什么来表 示复数?

想 一 想 ?

回 忆

复数的 一般形 式?

Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!



一个复数 由什么唯 一确定?

复数的几何意义(一)
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi (数) z=a+bi Z(a,b)
a
b
一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b) (形) 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

y

o

x轴------实轴 y轴------虚轴

例1.辨析: 1.下列命题中的假命题是(D) (A)在复平面内,对应于实数的点都在实 轴上; (B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在 虚轴上; (C)在复平面内,实轴上的点所对应的复 数都是实数; (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。

2.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯 A 虚数”的( )。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 3.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的( )。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件

例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限,求实数m允许的取值范围。

? ?3? m ? 2 ?m 2 ? m ? 6 ? 0 得? 解:由? 2 ?m ? ?2 或 m ? 1 ?m ? m ? 2 ? 0

? m ? (?3,?2) ? (1,2)

表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想:数形结合思想

变式一:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点在直线x-2y+4=0上,求实数m的值。

解:∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是(m2+m-6,m2+m-2), ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0, ∴m=1或m=-2。

复数的几何意义(二)
复数z=a+bi
一一对应 一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应

平面向量 oz
y

z=a+bi Z(a,b)
a
b

o

x
小结

复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义:

对应平面向量 OZ 的模| OZ |,即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。 y
z =a +b i Z (a,b)
x
2

O

| z | = | OZ | ? a ? b
2

小结

例3 求下列复数的模:
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考: (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个? (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个? 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形?
小结

y

满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形? –5 设z=x+yi(x,y∈R)
| z |? x ? y ? 5
2 2

5

5 O x

–5

小结:

复数的几何意 义是什么?

复数的几何意义
复数z=a+bi
一一对应

一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应

平面向量

OZ
复数还有哪 些特征能和 平面向量类 比?

比 一 比 ?



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