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湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中学2014届高三10月联考 数学理试题 word版含答案(修改,图片无他网标志)


2013~2014 学年度襄阳四中、荆州中学、龙泉中学高三 10 月联考

数学(理)试题
命题学校:龙泉中学 命题人:陈信金 审题人:陆晓峰 总分 150 分,考试用时 120 分钟。 一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 意要求的. 1 . 已 知 全 集 U ? ?1, 2

,3, 4,5, 6, 7,8,9?

7, 集 合 A ? ?1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 合 B ? ?3 , 4 , 5 , 6 , ? , 8 则 集 合 ? 集

痧A ? U
A.

U

B 为(

) B. ?1, 2, 7,8,9? C. ?1, 2,3, 4,5, 6, 7,8? ) D. ? ? D.

?3, 4,5, 6?

?9?

2.已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? 则与 AB 同方向的单位向量是( A. ? , ?

??? ?

?3 ?5

4? ? 5?

B. ?
2

? 4 3? ,? ? ?5 5?

C. ? ? , )

? 3 4? ? ? 5 5?

? 4 3? , ? ? 5 5?

3.命题“对任意 x ? R 都有 x ? 1 ”的否定是( A.对任意 x ? R ,都有 x ? 1
2

B.不存在 x ? R ,使得 x ? 1
2

C.存在 x0 ? R ,使得 x0 ? 1
2

D.存在 x0 ? R ,使得 x0 ? 1
2

4.已知函数 f ? 2 x ? 1? 的定义域为 ? ?2, A. ? ?

? ?

1? ? ,则 f ? x ? 的定义域为( 2?
C.



? 3 1? , ? ? 2 4?

B. ? ?1,

? ?

3? ? 2?

? ?3, 2 ?

D.

? ?3,3?


5.已知角 x 的终边上一点坐标为 ? sin

? ?

5? 5? , cos 6 6

? ? ,则角 x 的最小正值为( ?
D.

A.

5? 6

B.

5? 3

C.

11? 6

2? 3
2

6. 已知函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? , 且满足关系式 f ? x ? =x ? 3xf ? ? 2 ? ? ln x , f ? ? 2 ? 的值等于 则 ( A.2 B. ?2 C.



7.已知向量 a ? b ? ? 2, ?8 ? , a ? b ? ? ?8,16 ? ,则 a 与 b 夹角的余弦值为( A.

?

?

? ?

9 4

D. ?

?

?

9 4


63 65

B. ?
2 2

63 65

C. ?

63 65

D.
2

5 13 a ? 1 的最小正周期和最小值 2

8.已知点 ? a, b ? 在圆 x ? y ? 1上,则函数 f ? x ? ? a cos x ? b sin x cos x ? 分别为( )

A. 2? , ?

3 2

B. ? , ?

3 2

C. ? , ?

5 2

D. 2? , ?

5 2

1 ? x2 ? m 有零点,则实数 m 的取值范围是( 9.函数 f ? x ? ? x?3
A. ? 0, ?



? ?

2? ? 2 ? ?

B. ? 0,

? ?

2? ? 2 ?

C. ? 0,

? ?

2? ? 4 ?

D. ? 0, ?

? ?

2? ? 4 ? ?

10.设分程 2x ? x ? 2 ? 0 和方程 log 2 x ? x ? 2 ? 0 的根分别为 p 和 q ,函数 f ? x ? ? ? x ? p ?? x ? q ? ? 2 , 则( ) B. f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? f ? 3? D. f ? 0 ? ? f ? 3? ? f ? 2 ?

A. f ? 2 ? ? f ? 0 ? ? f ? 3? C. f ? 3? ? f ? 0 ? ? f ? 2 ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题卡上.
2 2 11.已知 tan ?? ? ? ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? 3 的值为

13 . ? ABC 中, A ? 60? , b ? 1,三角形 ABC 面积 S ? 3 ,
3 2 2

a?b?c ? sin A ? sin B ? sin C

14.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处取得极值 10,则 a ? b 取值的集合为 15.若关于 x 的方程 x ? ax ? ax ? ax ? 1 ? 0 有实根,则实数 a 的取值范围是
4 3 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.请在答题卡指定区域内作答,解答应写出必要的文字说明.证 明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 3 sin ? x cos ? x ? cos ? x , 其中 ? 为使 f ? x ? 能在 x ?
2

2? 时取得最大值的最小正 3

整数. (1)求 ? 的值;
2 (2) ? ABC 的三边长 a 、b 、c 满足 b ? ac , 设 且边 b 所对的角 ? 的取值集合为 A , x ? A 时, f ? x ? 当 求

的值域.

18. (本小题满分 12 分) ? ABC 中,设 a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边,角 A 的平分线 AD 交 BC 边于 D , A ? 60? . (1)求证: AD ?

3bc ; b?c

(2)若 BD ? 2 DC , AD ? 4 3 ,求其三边 a 、 b 、 c 的值.

??? ?

????

19. (本小题满分 12 分)

? 1 ?0 ? x ? c? ?6 ? x ? 工厂生产某种产品,次品率 P 与日产量 x (万件)间的关系 P ? ? ?2 ? x ? c? ?3 ? ( c 为常数,且 0 ? c ? 6 ) ,已知每生产一件合格产品盈利 3 元,每出现一件次品亏损 1.5 元
(1)将日盈利额 y (万元)表示为日产量 x (万件)的函数; (2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注: 次品率=

次品数 ?100% ) 产品总数

20. (本小题满分 13 分)
2

已知 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ? ,当 x ? 1 时, f ? x ? ? 1 .

(1)证明 c ? 1 ;
2 2 (2)若 a ? b ? 4 ? 4a ? 4b ? 2ab 成立,请先求出 c 的值,并利用 c 值的特点求出函数 f ? x ? 的表达式.

21. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ? x ? ? ? 2 ? a ?? x ? 1? ? 2 ln x, g ? x ? ? xe

?1? x ?

( a 为常数, e 为自然对数的底)

(1)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的单调区间;

? 1? ? 2? (3)若对任意的 x0 ? ? 0, e? ,在 ? 0, e ? 上存在两个不同的 xi ? i ? 1, 2 ? 使得 f ? xi ? ? g ? x0 ? 成立,求 a 的取
(2)若函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上无零点,求 a 的最小值; 值范围.

2013~2014 学年度襄阳四中、荆州中学、龙泉中学高三 10 月联考

数学(理)参考答案
题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 C 5 B 6 D 7 B 8 B 9 C 10 A

11.

19 5

12. ? ,3? 2

?3 ?

? ?

13.

2 39 3

14. ??7? 显然 a ? 0

15. ? ??, ? ? ? ? 2, ?? ? 3

? ?

2? ?

16.若命题 p 为真

? a x? 2 ??

ax 1 ?0 ??

2 1 ?x ? ? 或 x ? a a
? x ? ? ?1,1?
故有 ?

2 1 ? 1或 ? 1 a a
?????????5 分
2

? a ?1
若命题 q 为真,就有 ? 2a ? ? 4 x 2a ? 0

?a ? 0 或 a ? 2 ?命题“ p 或 q ”为假命题时, a ? ? ?1, 0 ? ? ? 0,1?
17. (1) f ? x ? ? sin ? 2? x ?

?????????12 分

?? 1 4?? ? ? ? ? ? 2k? ? ? k ? Z ? ? ? ,依题意有 6? 2 3 6 2 ? 3k ? 1 即? ? ? k ? Z ? ? 的最小正整数值为 2 2 ?????????5 分 ?? ? 2 2 2 2 2 (2) b ? ac 又 b ? a ? c ? a c o s B 2 a 2 ? c 2 2ac 2 2 ? ?2 ? a ? c ? 2ac cos B ? ac 即 1 ? 2 cos B ? ac ac 1 ? B ? 0 ?B ? ?1 ? 2cos B ? 2 ? c o s ? 2 3 ?? ? 即 A ? ? 0, ? ??????????????8 分 ? 3? ?? 1 ? ? f ? x ? ? sin ? 4 x ? ? ? 0? x? 6? 2 3 ? ? ? 7? ?? ? 4 x ? ? 6 6 6 ?? ? 1 ? ? ??????????10 分 ? sin ? 4 x ? ? ? ? ? ,1? 6? ? 2 ? ? ? 1? ? f ? x ? ? ? ?1, ? ? 2? ? 1? 故函数 f ? x ? 的值域是 ? ?1, ? ??????????12 分 ? 2?
1 1 1 ? b ? c sin 60? ? ? c ? AD ? sin 30? ? b ? AD ? sin 30? 2 2 2 3bc ? AD ? ????????????5 分 b?c ??? ? ???? c BD (2) BD ? 2 DC ? ? ????????7 分 ? ?c ? 2b ① 2 b DC 3bc ? bc ? 4 ? b ? c ? ② 又4 3 ? ??????????9 分 b?c


18. (1) S? ABC ? S? ABD ? S? ACD

由①②解得 b ? 6, c ? 12 又在 ? ABC 中

????????????????10 分

1 2 a 2 ? b2 ? c 2 ? b c o s B 6 ? 1 2 ? 2? 6? 1 2 2 ? 2 ? 2
????????????????????12 分 ????2 分

?a ? 6 3
19. (1)当 x ? c 时, p ?

? 3 ?9 x ? 2 x2 ? ? ?0 ? x ? c? y ? ? 2 ?6 ? x? ? ? x ? c? ?0 (2)当 x ? c 时,日盈利额为 0 3?9x ? 2x2 ? 当 0 ? x ? c 时,? y ? 2 ?6 ? x?
? y? ? 3 2 ? x ? 3?? x ? 9 ? ? 2 2 ?6 ? x?

2 2 2 ? 2? , y ? ?1 ? ? ? x ? 3 ? ? x ? ? 0 3 3 3 ? 3? 1 当 0 ? x ? c 时, p ? 6? x 2 1 ? 3 3?9x ? 2x ? ? ? 1 ? ? y ? ?1 ? 3 ? ? x ? ?? ? ?x ? ? 2 2 ?6 ? x? ? 6? x? ?6? x? ∴日盈利额 y (万元)与日产量 x (万件)的函数关系式为

?????4 分

??????????????5 分

令 y? ? 0 得 x ? 3 或 x ? 9 (舍去)

∴当 0 ? c ? 3 时, y? ? 0 ∴ y 在 ? 0, c ? 上单增 ∴ y 最大值 ? f ? c ? ?

3 ? 9c ? 2c 2 ? 2 ?6 ? c?

????????????9 分

当 3 ? c ? 6 时, y 在 ? 0, 3 ? 上单增,在 ? 3, c ? 上单减 ∴ y 最大值 ? f ? 3? ?

综上:当 0 ? c ? 3 时,日产量为 c 万件 y 日盈利额最大 当 3 ? c ? 6 时,日产量为 3 万件时日盈利额最大 20. (1)? x ? 1 时

9 2

??????????????10 分

f

? x? ? 1

? f? 0? ? 1

?c ?0

????????????????????4 分
2

2 2 (2)由 a ? b ? 4 ? 4a ? 4b ? 2ab 得到 ? a ? b ? 2 ? ? 0

????????????????????5 分 ?a ? b ? 2 又? x ? 1 时 ? f ?1? ? 1 即 ?1 ? a ? b ? c ? 1 将 a ? b ? 2 代入上式得 ?3 ? c ? ?1 又 ?1 ? c ? 1 ????????????????????8 分 ? c ? ?1 x ? 1时 f ? x ? ? 1 又 f ? 0 ? ? c ? ?1

? f ? x ? ? f ? 0?
对 x ? 1 均成立

? x ? 0 为函数 f ? x ? 为对称轴

????????????10 分

b ? 0 ?b ? 0 又 a ? b ? 2 ?a ? 2 2a ??????????????????12 分 ? a ? 2 b ? 0 c ? ?1 2 ? f ? x ? ? 2x ?1 ??????????????????13 分 ??
21. (1) a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 2ln x ? 1 由 f ?? x? ? 0 得 x ? 2 故 f ? x ? 的减区间为 ? 0, 2 ?

f ?? x? ? 1?

f ?? x? ? 0 得 0 ? x ? 2
增区间为 ? 2, ?? ?

2 x
??????????3 分

(2)因为 f ? x ? ? 0 在 ? 0, ? 上恒成立不可能 故要使 f ? x ? 在 ? 0, ? 上无零点,只要对任意的 x ? ? 0, ? , f ? x ? ? 0 恒成立 即 x ? ? 0, ? 时, a ? 2 ?

? ?

1? 2?

? ?

1? 2?

? ?

1? 2?

? ?

1? 2?

2 ln x x ?1 2 2 ln x ? ? 2 x 则 l? ? x ? ? 2 ? x ? 1?
令 l ? x? ? 2 ? 再令 m ? x ? ? 2 ln x ?

2ln x x ?1 ? 1? x ? ? 0, ? ? 2?

?????????????5 分

?0 x2 ?1? 故 m ? x ? ? m ? ? ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ?2? ? 1? ? l ? ? x ? ? 0 在 ? 0, ? 上恒成立 ? 2? ? 1? ? l ? x ? 在 ? 0, ? 上为增函数 ? 2? ?1? ? 1? ? l ? x ? ? l ? ? 在 ? 0, ? 上恒成立 ?2? ? 2? ?1? 又 l ? ? ? 2 ? 4 ln 2 ?2? ln x 故要使 a ? 2 ? 恒成立,只要 a ? ? 2 ? 4 ln 2, ?? ? x ?1 ? 1? 若函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上无零点, a 的最小值为 2 ? 4ln 2 ? 2? 1? x (3) f ? ? x ? ? ?1 ? x ? e
当 x ? ? 0,1? 时, g ? ? x ? ? 0 ,? g ? x ? 为增函数 当 x ? ?1, e ? 时, g ? ? x ? ? 0 ,? g ? x ? 为减函数

m? ? x ? ?

?2 ?1 ? x ?

2 ?2 x

? 1? x ? ? 0, ? ? 2? ? 1? 于是在 ? 0, ? 上 m ? x ? 为减函数 ? 2?

??????8 分

? g ? 0 ? ? 0, g ?1? ? 1

g ? e ? ? e ? e1?e ? 0

?????????????9 分 ?函数 g ? x ? 在 ? 0, e ? 上的值域为 ? 0,1? 当 a ? 2 时,不合题意 2 ? ?2 ? a?? x ? ? ? 2?a ? ? 当 a ? 2 时, f ? ? x ? ? x ? ? 0, e ? x 2 故0 ? ?e 2?a 2 ????????????????????10 分 ?a ? 2 ? ① e 此时,当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下

x
f ?? x? f ? x?

2 ? ? ? 0, ? ? 2?a ?
— ↘

2 2?a
0 最小值

? 2 ? ,e? ? ? 2?a ?
+ ↗

? 2 ? ? 2 ? ? x ? 0 时, f ? x ? ? ?? , f ? ? ? a ? 2 ln ? ? ? 2?a ? ? 2?a ? f ? e ? ? ? 2 ? a ?? e ? 1? ? 2

?任意定的 x0 ? ? 0, e? ,在区间 ? 0, e ? 上存在两个不同的 xi ? i ? 1, 2 ?
使得 f ? xi ? ? g ? x0 ? 成立, 当且仅当 a 满足下列条件

? 2 ? ? 2 ? f? ? ? 0 即 a ? 2 ln ? ??0 ② ? 2?a ? ? 2?a ? f ? e ? ? 1 即 ? 2 ? a ?? e ? 1? ? 2 ? 1 ③
令 h ? a ? ? a ? 2 ln ?

????????11 分

? 2 ? ? ? 2?a ?

2? ? a ? ? ??, 2 ? ? e? ?

a 令 h? ? a ? ? 0 得 a ? 0 a?2 当 a ? ? ??, 0 ? 时, h? ? a ? ? 0 函数 h ? a ? 为增函数 h? ? a ? ?
? ? 2? ? 时, h? ? a ? ? 0 函数 h ? a ? 为减函数 e? 2? ? 所以在任取 a ? ? ??, 2 ? ? 时有 h ? a ? ? h ? 0 ? ? 0 e? ? 2? ? 即②式对 a ? ? ??, 2 ? ? 恒成立 ??????????????13 分 e? ? 3 ? ? 由③解得 a ? ? ??, 2 ? ? ④ e ?1 ? ? 3 ? ? 由①④ 当 a ? ? ??, 2 ? ?时 e ?1 ? ? 对任意 x0 ? ? 0, e? ,在 ? 0, e ? 上存在两个不同的 xi ? i ? 1, 2 ? 使 f ? xi ? ? g ? x0 ? 成立
当 a ? ? 0, 2 ?


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