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2015-2016学年高中数学 1.3.2诱导公式五、六课时作业 新人教A版必修4


2015-2016 学年高中数学 1.3.2 诱导公式五、六课时作业 新人 A 教 版必修 4
基础巩固 一、选择题 5π 1 1.(2013?广东文)已知 sin( +α )= ,那么 cosα =( 2 5 2 A.- 5 C. 1 5 1 B.- 5 2 D. 5 )

[答案] C 5π 1 [解析] 本题考查诱导公式,由 sin( +α )

=cosα = ,知选 C. 2 5 5 π 2.已知 sinα = ,则 cos( +α )等于( 13 2 A. 5 13 ) 12 B. 13 12 D.- 13

5 C.- 13 [答案] C π 5 [解析] cos( +α )=-sinα =- . 2 13

1 7π 3.若 sin(3π +α )=- ,则 cos( -α )等于( 2 2 1 A.- 2 C. 3 2 1 B. 2 D.- 3 2

)

[答案] A 1 [解析] 由已知,得 sinα = , 2 7π 1 则 cos( -α )=-sinα =- . 2 2 3π 3 4.已知 cos( +α )=- ,且 α 是第四象限角,则 cos(-3π +α )( 2 5 A. 4 5 4 B.- 5
1

)

4 C.± 5 [答案] B

3 D. 5

3π 3 3 [解析] ∵cos( +α )=- ,∴sinα =- , 2 5 5 4 2 ∴cos(-3π +α )=-cosα =- 1-sin α =- . 5 5.若 sin(180°+α )+cos(90°+α )=-a,则 cos(270°-α )+2sin(360°-α ) 的值是( 2a A.- 3 C. 2a 3 ) 3a B.- 2 3a D. 2

[答案] B [解析] 由 sin(180°+α )+cos(90°+α )=-a, 得:-sinα -sinα =-a,即 sinα = , 2 cos(270°-α )+2sin(360°-α ) 3 =-sinα -2sinα =-3sinα =- a. 2 π 1 5π 6.(2015?山东济南一中期中)若 sin( -α )= ,则 cos( -α )的值为( 3 3 6 A. C. 1 3 2 2 3 1 B.- 3 2 2 D.- 3 )

a

[答案] B 5π π π [解析] cos( -α )=cos[ +( -α )] 6 2 3 π 1 =-sin( -α )=- . 3 3 二、填空题 15π π sin? +α ?cos?α - ? 2 2 7.化简 =________. 9π 3π sin? -α ?cos? +α ? 2 2 [答案] -1

2

π π sin[8π +?α - ?]cos? -α ? 2 2 [解析] 原式= π π sin[4π +? -α ?]cos[π +? +α ?] 2 2 π sin?α - ?sinα 2 = π π sin? -α ?[-cos? +α ?] 2 2 cosα sinα =- =-1. cosα [-?-sinα ?] π 3 π 8.已知 sin(α - )= ,那么 cos(α + )的值是__________. 4 5 4 3 [答案] - 5 π π π [解析] ∵(α + )-(α - )= , 4 4 2 π π π ∴α + = +(α - ), 4 2 4 π π π π 3 ∴cos(α + )=cos[ +(α - )]=-sin(α - )=- . 4 2 4 4 5 三、解答题 π 7π sin?2π +α ?cos?π -α ?cos? -α ?cos? -α ? 2 2 9.化简: . 5π cos?π -α ?sin?3π -α ?sin?-π +α ?sin? +α ? 2 [解析] 原式= π sinα ?-cosα ?sinα cos[2π +?π + -α ?] 2 π -cosα sin[2π +?π -α ?]sin[-?π -α ?]sin[2π +? +α ?] 2 π sinα sinα cos[π +? -α ?] 2 = π sin?π -α ?[-sin?π -α ?]sin? +α ? 2 π sinα sinα [-cos? -α ?] 2 sinα ?-sinα ? = = =tanα . sinα ?-sinα ?cosα ?-sinα ?cosα 10 . 已 知 sinα 是 方 程 5x - 7x - 6 = 0 的 根 , α
2

是第三象限角,求

3

3π 3π 3 sin?-α - ?sin? -α ?tan α 2 2 的值. π π cos? -α ?cos? +α ? 2 2 3 [解析] 由已知得 sinα =- . 5 4 2 ∵α 是第三象限角,∴cosα =- 1-sin α =- . 5 sinα 3 cosα ??-cosα ??? ? cosα sinα 3 ∴原式= = = . sinα ??-sinα ? cosα 4 能力提升 一、选择题 1.若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)等于( A.3-cos2x C.3+cos2x [答案] C π [解析] f(cosx)=f[sin( -x)] 2 π =3-cos2( -x) 2 =3-cos(π -2x)=3+cos2x 2.若角 A,B,C 是△ABC 的三个内角,则下列等式中一定成立的是( A.cos(A+B)=cosC C.cos( +C)=sinB 2 [答案] D [解析] ∵A+B+C=π ,∴A+B=π -C, ∴cos(A+B)=-cosC,sin(A+B)=sinC. 所以 A,B 都不正确;同理,B+C=π -A, 所以 sin B.sin(A+B)=-sinC D.sin ) )

B.3-sin2x D.3+sin2x

A

B+C
2

=cos 2

A

B+C
2

π A A =sin( - )=cos ,因此 D 是正确的. 2 2 2

π 3.α 为锐角,2tan(π -α )=3cos( +β )=-5,tan(π +α )+6sin(π +β )=1, 2 则 sinα =( A. 3 5 5 ) 3 7 B. 7

4

C.

3 10 10

1 D. 3

[答案] C [解析] 由已知可得,-2tanα +3sinβ +5=0,tanα -6sinβ =1 解得 tanα =3, 3 10 故 sinα = ,选 C. 10 π 1 2π 4.已知 sin( -α )= ,那么 cos( -α )=( 6 2 3 A. C. 3 2 1 2 B.- 3 2 )

1 D.- 2

[答案] D 2π π π π 1 [解析] cos( -α )=cos[ +( -α )]=-sin( -α )=- . 3 2 6 6 2 二、填空题 π 3 π 5.已知 sin( +α )= ,则 sin( -α )=________. 2 4 2 [答案] 3 4

π 3 [解析] ∵sin( +α )=cosα = , 2 4 π 3 ∴sin( -α )=cosα = . 2 4 5 cos? π -α ?cos?-α ? 2 6.化简 =________. 3 21 sin? π +α ?cos? π -α ? 2 2 [答案] -1 π cos[2π +? -α ?]cosα 2 [解析] 原式= π π sin[π +? +α ?]cos[10π +? -α ?] 2 2 π cos? -α ?cosα 2 sinα cosα = = =-1. π π -cosα sinα -sin? +α ?cos? -α ? 2 2 三、解答题

5

7.若 sin(180°+α )=- 求

10 ,0°<α <90°. 10

sin?-α ?+sin?-90°-α ? 的值. cos?540°-α ?+cos?-270°-α ? 10 ,α ∈(0°,90°), 10

[解析] 由 sin(180°+α )=- 得 sinα = 10 3 10 ,cosα = , 10 10

-sinα -sin?90°+α ? ∴原式= cos?360°+180°-α ?+cos?270°+α ? = -sinα -cosα -cosα +sinα - = 10 3 10 - 10 10

3 10 10 - + 10 10

=2.

8.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 对应三个内角的正弦值,那么 (1)试判断△A1B1C1 是锐角三角形吗? (2)试借助诱导公式证明△A2B2C2 中必有一个角为钝角. [解析] (1)由已知条件△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,即 cosA1>0,cosB1>0, cosC1>0,从而△A1B1C1 一定是锐角三角形. (2)由题意可知

? ? π sin B = cos B = sin ? -B ?. ? 2 π ? ?sinC =sinC =sin? 2 -C ?.
π sinA2=cosA1=sin? -A1?. 2
2 1 1 2 1 1

若 A2、B2、C2 全为锐角,则

A2+B2+C2=( -A1)+( -B1)+( -C1)
= 3π π -(A1+B1+C1)= ,不合题意. 2 2

π 2

π 2

π 2

又 A2、B2、C2 不可能为直角,且满足 A2+B2+C2=π ,故必有一个角为钝角.

6


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