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固原一中高二数学组第16周集体备课


固原一中高二数学组第 16 周集体备课初稿
教 学 时 间:12 月 9 日至 12 月 14 日 主备(讲)人:刘静 教 学 内 容:2.4.1 抛物线及其标准方程、2.4.2 抛物线的几何性质、本章小结 课时教学设计: 教学内容 三维目标 2.4.1 抛物线及其标准方程(约 2 课时)

【知识与技能】
1.理解抛物线的定义。明确焦点、准线的概念 2.掌握抛物线的方程及标准方程的推导 3.熟练掌握抛物线的四个标准方程。

【过程与方法】
通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导, 让学生更加熟悉求曲线方程的 方法,培养学生的转化能力和数形结合能力。

【情感态度与价值观】
通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导, 培养学生数形结合思想和对立 统一的辩证唯物主义观点。 教学重点 教学难点 教学方法 抛物线的定义和标准方程, 四种抛物线标准方程的应用, 理解坐标法的基本思想. 抛物线标准方程的推导与化简,坐标法的应用. 启发引导,分析讲解,练习领会。 ??

一.引入新课
【师】前面我们已经探究过,椭圆和双曲线都可以叙述为“平面内到一个 复习 引入 定点 F 的距离和它到一条定直线 l ( F 不在 l 上)的距离的比是常数 e( e ? 0 ) 的动点的轨迹” 。其中当 e ? ?0,1? 时是椭圆,当 e ? ?1,??? 时是双曲线。那么,当
e ? 1 时,动点的轨迹是什么?它的方程如何呢?点题,板书课题。

二.新课讲解
教学过程 新 课 学 习 1.实验观察、实现构建 探究 1 点 F 与直线 l 的位置关系 (1)点 F 在直线 l 上 (引导学生求出动点的轨迹) 点 F 的轨迹是过点 F 且与直线 l 垂直的直线。 (2)点 F 不在直线 l 上 l
1

l

F

M

F

H

用《几何画板》演示,观察点 M 的轨迹。 2.观察曲线的动态形成过程, 你能发现点 M 的轨迹是一条什么曲线吗? (学生会猜想到轨迹是抛物线) 3.如果曲线是抛物线,只要适当建立平面直角坐标系,就可以得到形如
y ? ax 2 ? bx ? c

?a ? 0? 的轨迹方程,是否真是这样呢?
(在学生思考的基础上引导学生先求出点 M 的轨迹方程。 ) 4.如何建立坐标系求点 M 的轨迹方程? (师生探讨建立不同方案,以下面方案为例进行推导) 解:取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 y 轴,垂足为 K ,并使原点与线 段 KF 的中点重合, 建立平面直角坐标系。 KF ? p? p ? 0? 令 则 F ? 0,
? ? p? p ? ,直线 l : y ? ? ,设动点 M ?x, y ? ,点 M 到 2? 2

y F · o
K

直线 l 的距离为 d ,则
p? p ? MF ? d 即 x 2 ? ? y ? ? ? y ? 化简得 x 2 ? 2 py? p ? 0? 2? 2 ?
2

x l

注意到方程可化为: y ?

1 2 x ? p ? 0? ,与我们初中所学的二次函数的解 2p

析式形式一致。可见点 M 的轨迹是顶点为 ?0,0? ,开口向上的抛物线。 可见平面内到一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 1 的点 的轨迹(或平面内到一个定点 F 和一条直线 l ( F 不在 l 上)距离相等的点的 轨迹)是抛物线。点 F 叫做焦点, l 叫做准线。 .. ... 类似地,我们可以建立如下表所示的坐标系,从而得到抛物线方程的另 外三种形式 y 2 ? 2 px , y 2 ? ?2 px , x 2 ? ?2 py ? p ? 0? .这四种方程都叫做抛 物线的标准方程. 标准方程
y 2 ? 2 px y 2 ? ?2 px x 2 ? 2 py x 2 ? ?2 py

图形

焦点坐标

?p ? ? ,0 ? ?2 ?

? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

? p? ? 0, ? ? 2?

p? ? ? 0,? ? 2? ?

2

准线方程

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

开口方向 向 右 向 左 向 上 说明:四个标准方程的区分:焦点在一次项字母对应的坐标轴上,开口 方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时,开口向坐标轴的正方向;系 数为负时,开口向坐标轴的负方向.





三.练习领会
师生共同解答下列各例: 【例 1】求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1) 焦点为 F ?3,0? ;
1 (2) 准线为 y ? ? ; 4

(3) 过点 P?3,?1? ;

(4)焦点到原点的距离为 2; (5)焦点是双曲线 12x 2 ? 9 y 2 ? 144 的左顶 点; (6)焦点在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上。 分析:先依已知条件确定标准方程是下面中哪一个,然后定 P 值即可。
y 2 ? 2 px y 2 ? ?2 px x 2 ? 2 py x 2 ? ?2 py

解析:(1)由已知焦点在 x 轴上,开口向右, p ? 6 ,所以抛物线的标准方 程为 y 2 ? 12x ; (2)由已知焦点在 y 轴上,开口向上, p ?
x2 ? y ;

1 ,所以抛物线的标准方程为 2

(3)由已知焦点可能在 y 轴上,开口向下,或焦点可能在 x 轴上,开口向 右, 所以可设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0 ) x 2 ? ?2 px? p ? 0? , 再 或 因为过点 P?3,?1? ,所以 p ?
x 2 ? ?9 y ;

9 1 1 或 p ? ,所以抛物线的标准方程为 y 2 ? x 或 2 6 3

(4)由已知 p ? 4 ,抛物线可以是下列任何一个
y 2 ? 2 px y 2 ? ?2 px x 2 ? 2 py x 2 ? ?2 py

所以抛物线的标准方程为: y 2 ? ?8 x 或 x 2 ? ?8 y ; (5) 双曲线 12x 2 ? 9 y 2 ? 144 的左顶点为 ? 2 3 ,0 所以抛物线焦点在 x 轴 上,开口向左, p ? 4 3 , 抛物线 y 2 ? ?8 3 x 。 (6)因为求抛物线的标准方程,且焦点在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,所以焦点

?

?

3

为直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 和 x 轴或 y 轴的交点, 分别为 ?? 1,0? , 0, ? , 所以 x 2 ? 2 y ?
?

?

1? 2?

或 y 2 ? ?4 x 。 小结:由已知条件求抛物线的标准方程的程序:先由已知条件确定抛物 线的标准方程的类型,再求出方程中参数 p 的值。 本题注重学生对抛物线方程的认识和 4 中方程的应用。 【例 2】求抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标和准线方程。 解:因为 2 p ? 4 ,即 p ? 2 ,所以抛物线的焦点坐标为 ?1, 0 ? ,准线方程 为 x ? ?1 。 变式:求抛物线 y 2 ? ax?a ? 0? 的焦点坐标和准线方程。 解:当 a ? 0 时, 2 p ? a , p ? 当 a ? 0 时, 2 p ? ?a , p ? ? 为x??
a 。 4
?a ?4 ? ?

a a ?a ? ,焦点 F ? ,0 ? ,准线方程为 x ? ? 。 4 2 ?4 ?

a ? a ? ?a ? ,焦点 F ? ? (? ),0 ? 即 F ? ,0 ? ,准线方程 4 ? 2 ? ?4 ?

综上所述焦点 F ? ,0 ? ,准线方程为 x ? ?

a 。 4

【例 3】点 M 与点 F ?4,0? 的距离比它到直线 l : x ? 5 ? 0 的距离小 1,求 点 M 的轨迹方程
王新敞
奎屯 新疆

解析:可知原条件 ? M 点到 F ?4,0? 和到 x ? 4 距离相等,由抛物线的定 义,点 M 的轨迹是以 F ?4,0? 为焦点, x ? 4 为准线的抛物线.∴ p ? 8 ,∴所 求方程是 y 2 ? 16x 。 对定义的一种等价变形,看到定点和定直线就要想到抛物线的定义 【例 4】已知抛物线的顶点为坐标原点 O ,对称轴是 x 轴,焦点为 F , (1)抛物线上的点 M ?? 3, m? 到焦点的距离等于 5 ,求此抛物线的方程与
m 的值;

(2)抛物线上的一点 A 的横坐标为 2 ,且 FA? OA ? 16 ,求此抛物线的方 程。 解析:(1)由已知条件知抛物线为 y 2 ? ?2 px? p ? 0? ,由抛物线定义知其 上的点 ?x0 , y 0 ? 到焦点的距离为
p ? x 0 ,由此等于 5 可以确定 p 值; 2
4

?

?

(2)由已知条件知抛物线为 y 2 ? 2 px? p ? 0? ,点 A 在抛物线上,其坐标 满足抛物线的方程,再结合 FA? OA ? 16 可以确定 p 值。 解析:(1)设抛物线的方程为 y 2 ? ?2 px? p ? 0? ,则 p ∵ MF ? ? 3 ? 5 ,∴ p ? 4 , 2 所以抛物线的方程为 y 2 ? ?8 x ∴ m 2 ? 24 , m ? ?2 6 ; (2)由已知条件知抛物线为 y 2 ? 2 px? p ? 0? ,所以 F ?
A?2, n? ,则
?p ? ,0 ? ,不妨设 ?2 ?
? ?

∵ FA ? ? 2 ?
?

?

?

? ? ? p ? , n ? , OA ? ?2, n ? ,且 FA? OA ? 16 2 ?

∴ 2? 2 ?
?

?

p? ? ? n 2 ? 16 , 2?

又 n 2 ? 4 p ,解之有 p ? 4 抛物线的标准方程为 y 2 ? 8x 。 【例 5】已知抛物线 y 2 ? 4 x , P 是抛物线上一点。 (1)设 F 是焦点,一个定点为 A?6,3? ,求 PA ? PF 的最小值,并指出此 时点 P 的坐标; (2)设点 M ?m,0? ( m? R ),求| PM |的最小值,并指出此时点 P 的坐 标; 分 析: (1)一般我们用原理:三 角形两边之和不小于第 三边,即
PA ? PF ? AF ,当且仅当点 P 在线段 AF 上时求 PA ? PF 的最小值 AF ;

但定点 A?6,3? 在抛物线 y 2 ? 4 x 含焦点 F 部分,点 P 在抛物线上,所以点 P 不 会再在线段 AF 上,所以需要利用抛物线的定义:抛物线上的点到焦点和到准 线的距离相等作一个转化,从而实现上面的想法。 (2)已知抛物线 y 2 ? 4 x , P 是抛物线上一点,所以其坐标 ?x0 , y 0 ? 满足 抛物线的方程: y 0 2 ? 4x 0 ,而 M ?m,0? ( m? R ),求| PM |的最小值不妨直 接用两点间距离直接表示| PM |,从而转化为函数的最值问题。 解析:(1)做 PN 垂直于准线,其中 N 为垂足,则| PF |=| PN |, 所以| PA |+| PF |=| PA |+| PN |,可知,当 AP 垂直准线时三点 A , P ,
?9 ? N 共线,| PA |+| PF |=| PA |+| PN |取小值为 7 ,此时 P? ,3 ? ?4 ? (2)设 P?x 0 , y 0 ? ,因为 M ?m,0? ( m? R ),
5

所以 PM 所以 PM ①
PM
2 2

2

? ?m ? x 0 ?2 ? y 0 2 ,又 y 0 2 ? 4 x 0 ?x 0 ? 0, y 0 ? R ? ,

? ?m ? x 0 ?2 ? 4 x 0 ? ?x 0 ? ?2 ? m ??2 ? ?2 ? m ?2 ? m 2 ?x 0 ? 0?



m?2



? ?m ? x 0 ?2 ? 4 x 0 ? ?x 0 ? ?2 ? m ??2 ? ?2 ? m ?2 ? m 2 ?x 0 ? 0? ,在 ?0,??? 上是增

函数, 所以当 x 0 ? 0 时 PM 最小值为 m ,此时 P?0,0? ; ② m ? 2 时 , PM
2

? ?m ? x 0 ?2 ? 4 x 0 ? ?x 0 ? ?2 ? m ??2 ? ?2 ? m ?2 ? m 2 ?x 0 ? 0?

在 ?? ?,m ? 2? 上是减函数, 在 ?m ? 2,??? 上是增函数, 所以当 x0 ? m ? 2 时
PM 最小值为 2 m ? 1 ,此时 P m ? 2,2 m ? 2 。

?

?

小结:点在抛物线上首先点满足抛物线的定义(到焦点和到准线的距离 相等);其次是点的坐标满足抛物线的方程。 抛物线上的焦半径公式的应用和定义的综合应用

三.课堂反馈
1.抛物线 y ? ? 2.已知双曲线
1 2 x 的准线方程为 y ? 3 。 12
x2 y2 ? ? 1 ,则以双曲线中心为顶点,以双曲线左焦点为 4 5

焦点的抛物线方程为 y 2 ? ?12x 。 3. 连接抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 与点 M ?1,0? 所得的线段与抛物线交于点 A , 设点 O 为坐标原点,则 ?OAM 的面积为( B )
A . ? 1? 2 B.
3 ? 2 2

C . 1? 2

D.

3 ? 2 2

4.以抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦半径 PF 为直径的圆与 y 轴位置关系为 (C ) C .相切 A .相交 B .相离 D .不确定 5.一动圆 M 和直线 l : x ? ?2 相切,且经过点 F ?2,0? ,则圆心的轨迹方程

是 y 2 ? 8x 。 6. 过点 ?2,4? 作直线与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点, 这样的直线有 B ) (
A .一条 B .两条
C .三条

D .四条

7.抛物线 y ? ?4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标为
? 15 。 16
6

8.过点 P?0,?2? 的双曲线 C 的一个焦点与抛物线 x 2 ? ?16y 的焦点相同,则
y2 x2 ? ? 1。 4 12

双曲线 C 的标准方程为

9.已知双曲线的顶点坐标为 ?0,?1? ,离心率为 2,又抛物线 x 2 ? 2 py? p ? 0? 的焦点与双曲线的一个焦点重合,则 p ? 4。 抛物线的定义中 p 的重要作用和意义 练习 反馈 课堂 小结 学生作课本第 67 页练习 1,2。 1.抛物线的定义、四种标准方程形式及其对应的焦点和准线; 2.灵活运用定义和待定系数法求抛物线的标准方程; 3.注重数形结合的思想; 4.注重分类讨论的思想.抛物线的方程及标准方程的推导 作业 布置 习题 调配 教学内容 课本第 73 页习题 2. 4 A 组第 1、2 题 2. 4 A 组第 7、8 题 练习册 51 页 1~9,大册子例 2,例 3 及变式 ???

2.4.2 抛物线的简单几何性质(约 2 课时)
【知识与技能】
1.掌握抛物线的简单的几何性质,能根据抛物线的几何性质求抛物线的标准方 程; 2.能由抛物线方程解决简单的应用问题; 3.学会判断抛物线与直线的位置关系; 4.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化.

三维目标

【过程与方法】
通过抛物线性质的学习,让学生更加熟悉求曲线方程的方法,培养学生的转化能 力和数形结合能力。

【情感态度与价值观】
通过抛物线性质的学习,培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观 点。
7

教学重点 教学难点 教学方法

抛物线的几何性质及其运用,以及抛物线与直线的位置关系。 抛物线性质的应用. 启发引导,分析讲解,练习领会。 复习 引入

一.引入新课
【师】复习提问: 1、抛物线定义: 平面内到一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 1 的点的 轨迹(或平面内到一个定点 F 和一条直线 l ( F 不在 l 上)距离相等的点的轨 迹)是抛物线。点 F 叫做焦点, l 叫做准线。 .. ... 2、抛物线的标准方程 标准方程
y 2 ? 2 px y 2 ? ?2 px x 2 ? 2 py x 2 ? ?2 py

图形

焦点坐标 准线方程 开口方向

?p ? ? ,0 ? ?2 ?

? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

? p? ? 0, ? ? 2?

p? ? ? 0,? ? 2? ?

教学过程

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

















那么,抛物线有哪些几何性质呢?点题,板书课题。

二.新课讲解
1.抛物线的简单几何性质 标准方程
y 2 ? 2 px

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

新 课 学 习

图像

范围 对称性 顶点 离心率 焦点坐标

x?0

x?0

y?0

y?0

关于 x 轴对称

关于 x 轴对称

关于 y 轴对称

关于 y 轴对称

?0,0?

?0,0?
e ?1

?0,0?

?0,0?

?p ? ? ,0 ? ?2 ?

? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

? p? ? 0, ? ? 2?

p? ? ? 0,? ? 2? ?

8

准线方程 开口方向

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

















2.通径:过焦点且垂直于对称轴的相交弦。直接应用抛物线定义,得到 通径: d ? 2 p 。 三.练习领会 师生共同解答下列各例: 【例 1】已知点 A?0,2? 和抛物线 C : y 2 ? 6 x ,求过点 A 且与抛物线 C 相 切的直线 L 的方程。 分析:直线 L 过点 A?0,2? 和抛物线 y 2 ? 6 x 相切,所以斜率可以存在也可 以不存在,不存在时恰好是 y 轴,存在时可以设方程为 y ? kx ? 2 ,直接代入 抛物线 y 2 ? 6 x ,由 ? ? 0 时相切,即可求得 k 。 解析: (1) 当直线 L 斜率不存在时, 由直线 L 过点 A?0,2? 知直线 L 即是 y 轴,其方程为 x ? 0 ,其和抛物线 y 2 ? 6 x 相切。 (2)当直线 L 斜率存在时,直线 L 过点 A?0,2? ,设直线 L 的方程为
y ? kx ? 2 , 代入 y 2 ? 6 x 有 ky 2 ? 6 y ? 12 ? 0 ,因为直线 L 和抛物线 y 2 ? 6 x 相

切,所以 k ? 0 , ? ? 36 ? 48k ? 0 ,
3 3 ,直线 L 的方程为 y ? x ? 2 。 4 4 综上:直线 L 的方程为 x ? 0 或 3x ? 4 y ? 8 ? 0

∴k ?

【例 2】已知斜率为 2 的直线 L 与抛物线 C : y 2 ? 4 x 相交于 A , B 两点, 如果 AB ? 5 ,求直线 L 的方程。 分析:斜率为 2 的直线 L 方程可以设为 y ? 2 x ? b ,直接代入抛物线 C :
y 2 ? 4 x ,并应用弦长公式为 AB ? x1 ? x 2 1 ? k 2 即可求出参数 b 。

解析:设 A?x1 , y1 ? , B?x 2 , y 2 ? ,设直线 L 的方程为 y ? 2 x ? b ,则 ∵将 L 的方程为 y ? 2 x ? b 代入 y 2 ? 4 x 有 4 x 2 ? ?4b ? 4?x ? b 2 ? 0 ∴ x1 ? x 2 ? 1 ? b , x1 x 2 ?
b2 , 4

∴ ?x1 ? x 2 ?2 ? ?x1 ? x 2 ?2 ? 4 x1 x 2 ? 1 ? 2b 又 AB ? 5 ? ∴ b ? ?2 ,
9

?1 ? 2 ??1 ? 2b? ? 5 ,
2

又∵经验证此时 ? ? 0 ,所以直线 L 的方程为 2x ? y ? 20 ? 0 。 小结:直线和抛物线的位置关系问题的处理方法:如直线 l : y ? kx ? b , 抛物线 C : y 2 ? 2 px ,联立消 y 得: k 2 x 2 ? 2?kb ? p ?x ? b 2 ? 0 (1)当 k ? 0 即直线与抛物线的对称轴平行时,有一个交点; (2) k ? 0 时, ? 0 , 当 相交, 两个不同交点; ? 0 , 相切, 一个切点 ? ? 0 ; , ? ? 相离,无公共点。 注意: ①相交时弦长公式为 AB ? x1 ? x 2 1 ? k 2 ; ②直线 L 与抛物线 C 有且只有一个公共点是直线 L 与抛物线 C 相切的必要 不充分条件。 【例 3】 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F ,且与抛物线相交于
A 、 B 两点,求线段 AB 的长。

解:法一 弦长公式 法二 设 A?x1 , y1 ? 、 B?x 2 , y 2 ? ,则 ∵将直线 y ? x ?1 代入 y 2 ? 4 x 得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 , ∴ x1 ? x 2 ? 6 由∵由抛物线定义得 AB ? AF ? BF ? x1 ? x 2 ? p , 所以 AB ? 8 . 说明:焦点弦的长度 AB ? x1 ? x 2 ? p . (由学生找出其他三种情况的焦点 弦的长度) 练习:过抛物线 y ? 8 x 的焦点,作倾斜角为 45 的直线,则被抛物线截得的
2

?

弦长为 . 【例 4】 求证: 以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切. 证明: (法一)设抛物线方程为
?p ? y 2 ? 2 px ? p ? 0? ,则焦点 F ? ,0 ? ,准线 ?2 ?

x??

p . 设以过焦点 F 的弦 AB 为直径的 2

M1

M

圆的圆心 M , A 、 B 、 M 在准线 l 上的 射影分别是 A1 、 B1 、 M 1 ,则 ∵由抛物线的定义知
10

AA1 ? BB1 ? AF ? BF ? AB ,

由梯形的中位线性质定理知 AA1 ? BB1 ? 2 MM 1 ∴ MM 1 ?
1 AB ,即 MM 1 为以 AB 为直径的圆的半径 2

又∵准线 l ? MM1 , ∴命题成立. (法二)设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ? p ? 0? ,则焦点 F ?
x??
?p ? ,0 ? ,准线 ?2 ?

p .过点 F 的抛物线的弦的两个端点 A?x1 , y1 ? 、 B?x 2 , y 2 ? ,线段 AB 的中 2 点 M ?x0 , y 0 ? ,则

∵ AB ? AF ? BF ? x1 ? x 2 ? p , ∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径 r ? 又∵点 M 到准线 x ? ?
1 1 AB ? ?x1 ? x 2 ? p ? . 2 2

p p 1 的距离 d ? x0 ? ? ?x1 ? x 2 ? p ? , 2 2 2

∴圆 M 与准线相切. 【例 5】正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两 个顶点在抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? , 上, 求这个正三角形的 边长. 解:设正三角形 OAB 的顶点 A 、 B 在抛物线上,且 设点 A?x1 , y1 ? 、 B?x 2 , y 2 ? ,则 ∵ y1 2 ? 2 px1 , y 2 2 ? 2 px2 ,又 OA ? OB , 所以 x1 2 ? y1 2 ? x 2 2 ? y 2 2 ,即 x1 2 ? x 2 2 ? 2 p?x1 ? x 2 ? ? 0 亦即 ?x1 ? x 2 ??x1 ? x 2 ? 2 p? ? 0 . 又∵ x1 ? 0 , x 2 ? 0 , 2 p ? 0 , ∴ x1 ? x 2 .由此可得 y1 ? y 2 ,即线段 AB 关于 x 轴对称. 因为 x 轴垂直于 AB ,且 ?AOx ? 30? , 所以
y1 3 ? tan 30? ? . x1 3 y12 , 2p

A

?

?

∵ x1 ?

∴ y1 ? 2 3 p , ∴ AB ? 2 y1 ? 4 3 p .
11

【例 6】定长为 3 的线段 AB 的两端点在抛物线 y 2 ? x 上移动,设点 M 为 线段 AB 的中点,求点 M 到 y 轴的最小距离. 解:设点 A 、 B 、 M 在准线 l 上的射影 分别是 A1 、 B1 、 M 1 ,点 M ?x0 , y 0 ? ,则 ∵ AA1 ? BB1 ? AF ? BF ? AB ,
MM 1 ? 1 ? AA1 ? BB1 ? ? 1 AB , 2 2 1 , AB ? 3 , 4

M1

M

MM 1 ? x0 ?

∴ x0 ? 小值是
5 . 4

1 3 5 ? ,所以 x 0 ? ,即 x 0 的最 4 2 4

∴点 M 到 y 轴的最小距离是

5 ,当且仅当 AB 过点 F 时取得最小距离. 4
? ?

【例 7】 A 、B 是抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 上的两点,满足 OA? OB ? 0 ( O 为 坐标原点) 求证: A 、B 两点的横坐标之积, (1) 纵坐标之积为定值; (2)直线 AB
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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经过一个定点。 证明: (1)设 A?x1 , y1 ? 、 B?x 2 , y 2 ? ,则 ∵ OA? OB ? 0 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 且 y1 2 y 2 2 ? 4 p 2 x1 x 2 ∴ x1 x 2 ? ? y1 y 2 ? 4 p 2 (2)∵当设 A 2 pt 2 ,2 pt ?t ? 0? 时,由(1)知 B? ∴ AB 的方程是 y ? 2 pt ? 又∵ y ? 2 pt ?
t t ?1
2
? ?

?

?

? 2p ? t2

,?

2p ? ? t ?

t t ?1
2 2

?x ? 2 pt ?
2
2 2

? ?x ? 2 pt ? ? y ? 2 pt ? t 2 pt1 ? 2xp ? t ? ? ?

? ? ? ?

∴不论 t 为何值,直线总过 ?2 p,0? 这个定点。 【例 8】 设抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点为 F , 经过点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点,通过点 A 和抛物线定 点的直线交抛物线准线与点 C 。求证且 BC ∥ x 轴。 证明:设点 A?
? y0 2 ? , y 0 ? ,则 ? 2p ? ? ?

y A

D

O E C N F B x

∵ 直 线 AO 的 方 程 为 y ?

2p x ,准线方程是 y0

12

x??

p 2
? ? p p2 ? ? ,? 2 y0 ? ?

∴点 C 的坐标是 ? ? ?

又∵点 B 的纵坐标是 y ? ? ∴ BC ∥ x 轴 练习 反馈 课堂 小结 作业 布置 练习 调配 教学内容

p2 y0

学生作课本第 72 页练习 1,2、3、4。 1.注重数形结合的思想; 2.注重分类讨论的思想. 课本第 73 页习题 2. 4 A 组第 4、5、6、7、8 题,2. 4 B 组 1、2、3 精讲精练 P22 随堂练习、P24 随堂练习

章末小结复习(约两课时)

知识与技能
1.理解圆锥曲线的定义 明确焦点、焦距的概念
王新敞
奎屯 新疆

2.掌握圆锥曲线的方程及标准方程的推导 3.熟练掌握圆锥曲线标准方程。

过程与方法
三维目标 通过圆锥曲线概念的讲解和圆锥曲线标准方程的推导, 让学生更加熟悉求曲线方 程的方法,培养学生的转化能力和数形结合能力。

情感态度与价值观
通过圆锥曲线概念的讲解和椭圆标准方程的推导, 培养学生数形结合思想和对立 统一的辩证唯物主义观点。 教学重点 教学难点 教学方法 圆锥曲线的定义和标准方程,圆锥曲线标准方程的应用,理解坐标法的基本思想. 圆锥曲线标准方程的推导与化简,坐标法的应用. 启发引导,分析讲解,练习领会。? 复 习 【基础概念填空】 引入 椭圆 1.椭圆的定义:平面内与两定点 F1 ,F2 的距离的和__________________的点 的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做 椭圆的________.

教学过程

x 2 y2 2.椭圆的标准方程:椭圆 2 ? 2 ? 1 a b
在_______轴上,
13

(a ? b ? 0) 的中心在______,焦点

焦点的坐标分别是是 F1 ___________,F2 ____________; 椭圆

y2 x 2 ? ?1 a 2 b2

(a ? b ? 0) 的中心在______,焦点在_______

轴上,焦点的坐标 分别是 F1 ____________,F2 ____________. 3.几个概念:椭圆与对称轴的交点,叫作椭圆的______.a 和 b 分别叫做椭圆 的______长和______长。 椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。 椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率,记作 e=_____,e 的 范围是_________. 双曲线 1. 双曲线的定义: 平面内与两定点 F1 , 2 的距离的差_____________________ F 的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的_________ , 两焦点之 间的距离叫做双曲线的________. 2.双曲线的标准方程: 双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的中心在______,焦 a 2 b2

点在_______轴上, 焦点的坐标是____________;顶点坐标是______________,渐近线方程是 _____________.

y2 x 2 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的中心在______,焦点在_______ a b
轴上, 焦点的坐标是____________;顶点坐标是______________,渐近线方程是 _____________. 3.几个概念:双曲线与对称轴的交点,叫作双曲线的_____.a 和 b 分别叫做双 曲线的________长 和_______长。双曲线的焦距是_____. a,b,c 的关系式是______________。 双曲线的________与________的比称为双曲线的离心率, 记作 e=_____,e 的范围是_________. 4.等轴双曲线:______和_______等长的双曲线叫做等轴双曲线。 双曲线是等轴双曲线的两个充要条件: (1)离心率 e =_______,(2)渐近 线方程是_________. 抛物线 1.抛物线的定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F)__________的点的轨迹 叫做抛物线。这个定点 F 叫做抛物线的_________ , 定直线 l 叫做抛物线 的___________. 2.抛物线的标准方程:抛物线 y ? 2px 的焦点坐标为__________,准线方 程是___________;
2

抛物线 y ? ?2px 的焦点坐标为__________,准线方
2

程是___________; 抛物线 x ? 2py 的焦点坐标为__________,准线方
2

程是___________; 抛物线 x ? ?2py 的焦点坐标为__________,准线方
2

程是___________。 3.几个概念:抛物线的_________叫做抛物线的轴,抛物线和它的轴的交点叫
14

做抛物线的________。 抛物线上的点 M 到________的距离与它到________的距离的比,叫做抛 物线的离心率,记作 e, e 的值是_________. 4.焦半径、焦点弦长公式:过抛物线 y ? 2px 焦点 F 的直线交抛物线于 A(x1,y1) 、 B(x2,y2) 两 点 , 则 |AF|=___________,|BF|=____________,|AB|=____________________ _ 直线与圆锥曲线的位置关系 一、知识整理: 1.考点分析:此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数,并以椭圆、抛物 线为载体较多。多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。
2

2.解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤: 设线、设点, 联立、消元, 韦达、代入、化简。 第一步:讨论直线斜率的存在性,斜率存在时设直线的方程为 y=kx+b(或斜 率不为零时,设 x=my+a) ; 第二步:设直线与圆锥曲线的两个交点为 A(x1,y1)B(x2,y2); 第三步:联立方程组 ?

? y ? kx ? b ,消去 y 得关于 x 的一元二次方程; ?f ( x , y) ? 0

第四步:由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件

?二次系数不为零 ? x 1 ? x 2 ? ,? ? ?x 1 ? x 2 ? ?? ? 0
第五步:把所要解决的问题转化为 x1+x2 、x1x2 ,然后代入、化简。 3.弦中点问题的特殊解法-----点差法:即若已知弦 AB 的中点为 M(xo,yo),先 设两个交点为 A(x1,y1),B(x2,y2);分别代入圆锥曲线的方程,得 f ( x 1 , y1 ) ? 0, f ( x 2 , y 2 ) ? 0 ,两式相减、分解因式,再将

x 1 ? x 2 ? 2x o , y1 ? y 2 ? 2y o 代入其中,即可求出直线的斜率。
例 1、以下方程分别表示的是图中的哪一个图像,为什么?

1) x ? y ? 0 2) x ? y ? 0 3) x ? y ? 0 4) x ? y ? 0
变形1: 新课 学习 A、请找出一个方程与曲线,使它们之间的关系符合条件①而不符合条件 ②。 B、请找出一个方程与曲线,使它们之间的关系符合条件②而不符合条件 ①。 C、请找出一个方程与曲线,使它们之间的关系既符合条件①又符合条件 ②。 变形2:请另外举出分别 满足A、B、C的方程和曲线。
15

通过上例的讨论可以得到:只有条件① ②共同成立时,方程才是曲线 的方程,曲线才是方程的曲线。两个条件中只满足一个的情况下,方程和曲 线就不能对号入座了。 例 2.Ⅰ)已知坐标满足方程 f (x, y) = 0 的点都在曲线C上,那么……( ) A 曲线C上的点的坐标都适 合方程 f (x, y) = 0 B 凡坐标不适合 f (x, y) = 0 的点都不在C上 C 不在C上的点的坐标必不适合 f (x, y) = 0 D 不在C上的点的坐标有些适合 f (x, y) = 0,有些不适合 f (x, y) = 0 Ⅱ)若曲线 C 上的点的坐标均为方程 f (x, y) = 0 的解,则以下说法正确的是… ( ) A B C 方程 f (x, y) = 0 的曲线是 C 曲线 C 的方程是 f (x, y) = 0 坐标不满足方程 f (x, y) = 0 的点不
[来源:学科网 ZXXK]

在曲线 C 上 D 曲线 C 上的点的坐标不满足方程 f (x, y) = 0 例 3:已知 B、C 是两个定点, 角形的顶点 A 的轨迹方程。 例 4:设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 X 轴上,离心率 e

BC =8,且 ? ABC 的周长等于 18,求这个三

?

3 , 已知点 P 2

(0, 3 ) 到 这个椭圆上的点的最远距离是
2

7 ,求这个椭圆方程。

练习:已知两点 F1(-5,0)、F2(5,0),求与它们的距离的差的绝对值是 6 的 点的轨迹方程.如果把这里的数字 6 改为 12,其他条件不变,会出现什么情 况?

例 5:已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到 焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值.

例 6:过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与这抛物线相交于 A、B 两
16

点,且 A(x1,y1)、B(x2,y2)(图 2-34).

[来源:Zxxk.Com]

过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 练习: 若 x1+x2=6 ,求|AB|的值. 由学生练习后口答.由焦半径公式得:|AB|=x1+x2+p=8

x2 y2 例 7、已知椭圆 ? ?1 4 3
1)过点 M(1,1 )引直线 l 交椭圆于 A、B 两点,若 M 恰为线段 AB 的中点, 求 l 的 方程。 2)过椭圆右焦点的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,求线段 AB 中点的轨迹方程。 例 8:已知椭圆 C:

x2 y2 + =1,直线 l:y=ax+b 4 2

①请你具体给出 a,b 的一组值,使直线 l 和椭圆 C 相交。 ②直线 l 和椭圆 C 相交时,a,b 应满足什么关系? ③若 a+b=1,试判定直线和椭圆 C 的位置关系。 分析: y=ax+b
[来源:学科网]

x2 y2 ②联立方程: + =1,消去 y,得: (1+ 2a 2)x2+4abx+2b2-4=0 (*) 4 2
则△=(4ab)2 ? 4(1+2a2) (2b2 ? 4)>0 整理得: b2 ? 4a2<2

17

③思路一: ? a)2 ? 4a2= ? 3a2 ? 2a+1=3(a+ (1 以直线 l 和椭圆相交。

1 2 4 ) + <2 恒成立。所 3 3

思路二:直线 y=ax+(1 ? a)过点(1,1)而点(1,1)在椭圆内部,所以 直线和椭圆相交。 引例设计说明:问题①是个开放题,结果不唯一。学生可以分别从形与 数这两个角度考虑这个问题,给出一组符合题意的 a,b 的值。问题②是在问 题①基础上的提升,探求直线和椭圆相交时的一般情况。切入本节课的主题。 也为后面比较直线和双曲线位置关系的 代数处理的异同点,做个铺垫。问题 ③的提出,是对问题①②的呼应。它可以从“直线 l 过定点(1 ,1)”的几何角 度去解。也可以利用②的结果这个代数角度去解决。 小结: 处理直线和圆锥曲线的位置关系的方法, 有代数方法与几何方法。 二、变式一:已知 a+b=1,直线 l:y=ax+b 和椭圆 c:

x2 y 2 + =1 交于 A,B 4 2

两点,__________________________________(请你添加条件) :求直线 l 的 方程。 设计意图说明:这是本节课的一道开放题。这题有较大的思维空间,不 同层次的学生都能在这个问题上有不同层次的施展。通过这个问题 多种方案 的解决,一方面可 以复习相关知识,另一方面可以培养学生提出问题、发现 问 题的能力。教学估计:学生可能会从线段的长度,点的位置,角的大小等 方面提出问题。 三、变式二:已知直线 l=:y=ax+b 和椭圆 C:

x2 y2 + =1 相切,若 4 2

p =(a+1,b+2)与 q =(l,k)共线,求 k 的取值范围。
解:由(*)知,若 直线直线 l:y=ax+b 和椭圆 C: b2-4a2 =2, ∵ p =(a+1,b+2)与 q =(l,k)共线,∴b+2=k(a+1) 代入 b2 ? 4a2 =2,整理得: (k2 ? 4)a2+(2k2 ? 4k)a+(k2 ? 4k+2)=0 k=2 时显然不合题意,k= ? 2 时,符合题意。
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x2 y2 + =1 相切,则: 4 2

当 k≠2 时, 由△≥0, k≥2 或 k≤ 得 k>2 或 k≤

2 2 , 所以 k>2 或 k≤ 且 k≠ ? 2 综上知, 3 3

2 3

设计意图说明: 这题的本质是直线和双曲线的位置关系 , 要从“数”与“形”两方 面来分析这道题目。之后,还要比较“直线和双曲线的位置关系”和“直线与椭 圆的位置关系”在方程处理上的异同点,进而延伸到“直线和抛物线的位置关 系”上。 练习 反馈 1、 若过点 M (3, 的直线 l 与双曲线只有一个公共点, 直线 l 的条数是 1) 则 ( ) A)1 B)2 C)3
2 2

D)4

2、若直线 y=kx+2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同两点,则 k 的取值范 围是( )

A) ? (

15 15 , ) 3 3

B) 0, (

15 ) 3

C) ? (

15 ,0 ) 3

D) ? (

15 ,?1 ) 3

课堂 小结 作业 布置 练习 调配

圆锥曲线中综合问题较多,同种类型的问题可在三种圆锥曲线中都出现,要 注意归纳总结学习的方法和题目类型,做到事半功倍! 复习参考题 精讲精练本章整合、单元检测

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