当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

07竞赛辅导-数列(二)由数列的递推公式求通项公式


竞赛辅导-数列(二) 由数列的递推公式求通项公式
引入

转化法

巧用换元法

其他方法

1

竞赛辅导-数列(二)
由数列的递推公式求通项公式
递推数列有关概念: ①递推公式:一个数列 {a n } 中的第 n 项 a n 与它前面若干项 an?1 , an? 2 ,?, a n ? k ( k ? n )的关系式称为递推公式. ②递推数列:由递推公式和初始值确定的数列. ③线性递推数列:(见课本 P116 ) 2. 由数列的递推公式求通项公式的常用方法: ⑴转化法(经常用的);⑵归纳法(先猜想,后证明(用数学 归纳法));⑶换元法(针对特点考虑换元); ⑷迭代法(累 加法);⑸待定系数法;⑹不动点法;⑺特征根法(见定理 1)
2

转化法:这里需要恰当的变形?? an 3 思考 1.已知数列{an}中,a1= ,an+1= , 2a n ? 1 5 求{an}的通项公式. 2an ? 1 1 1 解:(倒数变形) ? ? ?2 an ?1 an an
?1? 5 ∴ ? ? 是以 为首项,公差为 2 的等差数列, 3 ? an ? 1 5 6n ? 1 3 即 ? +2(n-1)= ∴an= an 3 3 6n ? 1
类似地,教程第120页例3(自学)
练习1 思考2
3

练习 1.(教程 P127 12 )
1 数列 ? x n ? 定义如下: x1 ? , xn?1 ? xn 2 ? xn . 2 1 1 1 ? ??? 求S ? 的整数部分. 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x2007

1

4

思考 2.已知 a1 ? 10 , an?1 ? 4 10an ( n ? N * ),求通项公式 a n . 2 1 n ?1 1 …… lg an ? ( ) ? ……
3 4

3 ( x ? 1)4 ? ( x ? 1)4 思考 3.已知函数 f ( x ) ? ( x ? 0 ),在数列 4 4 ( x ? 1) ? ( x ? 1)
? an ? 1 ? (an ? 1) ? (an ? 1) an ? 1 ? 1 (an ? 1) 解:∵ an ?1 ? ? ? ?? ? , 4 4 4 an ? 1 ? 1 (an ? 1) (an ? 1) ? (an ? 1) ? an ? 1 ? an ? 1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1 ? 4ln ? ln 3 ? 0 (取对数变形)∴ ln ,由此及 ln an ? 1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1
4 4 4 4

{an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? f (an ) ( n ? N? ),求数列 {an } 的通项公式.

an ? 1 n ? 1 a n ? 1 4 n ?1 34 ? 1 ? 4 ln 3 ? ? 3 ? a n ? 4 n ?1 故有 ln ( n ?N? ). an ? 1 an ? 1 3 ?1 5

? an ? 1 ? 知:数列 ? ln ? 是首项为 ln3 ,公比为 4 的等比数列, ? an ? 1 ? n?1

练习 2.(教程 P115 13 )已知 a1 ? 10 , an?1 ? 10 an ( n ? N * ), 求通项公式 a n .

法一:取对数变形 法二:作商用迭加法也很好!

2?

1 2
n?1

10

练习 3.(教程 P127 9 )各项为正数的数列 ?a n ? 中,
a1 ? 1, a2 ? 10 , an 2an?1?3an? 2 ? 1 ( n≥ 3 , n ? N * ),

求通项公式 a n .

取对数变形,

10

1 n?1 ? ? 2?1?( ) ? 2 ? ?
6

中间的突破用“特征根法”非常好!

1 ? an ?1 思考 4. 已知数列{an}中,a1=2,an= , 1 ? an ?1

求{an}的通项公式.
解:(三角换元)令 an-1=tan ? ,
?? ? 则 an+1= =tan ? ? ? ? ? ?4 ? 1 ? tan ? tan ? 4 ? ( n ? 1)? ? ? atc tan 2 ? . ∴an=tan ? 4 ? ?

tan

?

4

? tan ?

一般地, 可仿第122 页例5的处 理方法试 试看.

思考 5.设 a0 ? 1 , an ?

1? a

2 n ?1

?1

an ?1
思考5

n ? N * ? ,求通项公式 a n . ?
7

练习4

思考 5.设 a0 ? 1 , an ?
山重水尽疑无路……
1 ? tan ? n ?1 ? 1 tan ? n ?1

1? a

2 n ?1

?1

an ?1

n ? N * ? ,求通项公式 a n . ?

? ?? 解:易知 an ? 0 ,构建新数列 ?? n ? ,使 an ? tan ? n , ? n ? ? 0, ? ? 2? 2
an ? 1 ? cos ? n ?1 ? n ?1 ? ? tan sin ? n ?1 2

? n ?1 ? n ?1 ? ? ? tan ? n ? tan , ?n ? 又 a0 ? 1 , a1 ? 2 ? 1 ? tan ,从而 ?1 ? , 2 2 8 8 ? 1 ∴新数列 ?? n ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. 8 2
?1? ∴?n ? ? ? ? 2?
n ?1

?

?
8

?

?
2
n? 2

∴ an ? tan

?
2n ? 2

类似地,有 第110页例5的第 一种情况的处理 方法(自学) 8

练习 4.(教程 P126 4 )给定数列 ? x n ? , x1 ? 1 , 且 xn ? 1 ?
3 xn ? 1 3 ? xn

,求通项公式 x n .

解:令 xn ? tan ? n ,∵ xn?1 ?

3 xn ? 1

? ? tan(? n ? ) 6 3 ? xn

? ? ∴可构建新数列 ?? n ? ,使 xn ? tan ? n 且 ? n?1 ? ? n ? , ?1 ? , 6 4

? ? ∴ xn ? tan[ ? ( n ? 1) ] 4 6

抓住式子特点,三角换元妙!
9

待定系数法: (an+1=pan+r 类型数列) 练习 5.在数列{an}中,an+1=2an-3, a1=5,求{an}的通项公式.
解:∵an+1-3=2(an-3) ∴{an-3}是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列. ∴an-3=2n∴an=2n+3.

(an+1=pan+f(n)类型) an ? an?1 ? 3n?1 ( n≥ 2 ), 练习 6.已知数列{an}中,a1=1,且 求{an}的通项公式.
解:设 an+p·n=an-1+p·n-1 则 an=an-1-2p·n-1, 3 3 3 ? 3n ? 1 -1 与 an=an-1+3n 比较可知 p=- .所以 ? a n ? ? 是常数列, 2? 2 ?
3n 3n ? 1 3 1 1 且 a1- =- .所以 an ? =- ,即 an= 2 2 2 2 2
10

练习7、8

练 习 7.( 教 程 P126 5 ) 给 定 数 列
xn ? 1

? xn ?

,

x1 ? 0 , 且

n? 2 1 n ? xn ? ,则 x n =____. ( n ? 1) n n

4

1 ? 2
满 足 a1 ? 2 ,

练 习 8.( 教 程 P126 8 ) 给 定 数 列
an ? 1
1998 1 ? 1 ? ,则 ? ak =____. 999 an k ?1

?a n ?

11



相关文章:
递推公式求通项公式(练习)
由递推公式求通项公式的常用方法由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点...2 1 1 1 1 例 4:(07 年唐山二摸)在数列{an}中,a1= ,an= an+ · ...
由数列的递推公式求数列的通项公式的几种常用方法
由数列的递推公式的求数列通项公式几种常用方法 (宁波市北仑中学 竺君祥 315800) 已知递推数列求数列通项公式,是一类常见的问题,也是教学中的一个难点....
专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)
专题 一、目标要求 由递推关系求数列的通项公式 通过具体的例题,掌握由递推关系求数列通项的常用方法: 二、知识梳理求递推数列通项公式数列知识的一个重点,...
由递推关系求数列的通项公式教案
递推关系求数列的通项公式教案_数学_高中教育_教育专区。由递推关系求数列的...(2)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? 2 n ,求 an 参考...
常见递推数列通项公式的求法(说课稿)
常见递推数列通项公式的求法(说课稿) - 常见递推数列通项公式的求法(说课稿) 江超 一、学情分析和教法设计: 1、学情分析: 学生在前一阶段的学习中已经...
数列专题1递推公式求通项公式(练习)
数列专题1递推公式求通项公式(练习)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。专题 1:递推公式求通项公式 1.数列 3,7,13,21,31,…,的一个通项公式为( A. an...
利用递推关系式求数列的通项公式(有答案绝对好精品)
利用递推关系式求数列的通项公式数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。而作为给出数列 的一种形式——通项公式,在...
已知数列递推公式求通项公式的几种方法
已知数列递推公式求通项公式的几种方法。求数列通项公式的 求数列通项公式的方法 一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 3 × 2 , ...
数列与递推关系
了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) ; 2、了解数列是...2n ? 3 考点三、由递推公式求数列的通项公式 例 3、根据下列条件,确定数列...
递推数列求通项公式的习题
? an (a ? 0) ,求数列 ?an ? a 求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式. 叠乘法:类型 2 a n ?1 ? f (n)a n 解法:把原递推公式转化为 提高...
更多相关标签: