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2013全国高中数学联赛贵州省初赛试题及答案


2013 全国高中数学联赛贵州省初赛试题
本卷考试时间: 150 分钟 满分: 150 分 一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 8 分,共 80 分.
1. 已知集合 A ? {x | log 2 x ? log 3 x} , 且A? B, 则实数 a 的取值范围 B ? {x | x ? ax ? a ? x} ,
2



解:集合 A ? {x | 0 ? x ? 1} ,且满足 A ? B ,则知 B ? {x | a ? x ? 1} ,故 a≤0 .

2.已知 ?O 是 ?ABC 的外接圆, AC ? 8 , AB ? 6 ,则 AO ? BC ? 解:? AO ? BC ? AO ?( AC ? AB )

???? ??? ?



???? ??? ?

???? ???? ??? ?

???? ???? ???? ??? ? ? AO? AC ? AO? AB ???? ???? ???? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? ?| AC | ? | AO | cos ? AO, AC ? ? | AB | ? | AO | cos ? AO, AB ? ???? 1 ???? ??? ? 1 ??? ? ?| AC | ? | AC | ? | AB | ? | AB | 2 2 ???? ??? ? 1 ? (| AC |2 ? | AB |2 ) ? 14 2 2 2 ,AB ? 3 2 ,AD ? 3 , 3

3. 如图, 在 ?ABC 中, 已知点 D 在 BC 边上,AD ? AC ,sin ?BAC ?

则 BD 的长等于
解:因为 sin ?BAC ?



2 2 ? 2 2 ,且 AD ? AC ,所以 sin( ? ?BAD) ? 3 2 3

所以 cos ?BAD ?

2 2 3

在 ?ABC 中,由余弦定理得

BD ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD cos ?BAD ? 3
4.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 .
2

解:设球半径为 R ,其内接圆锥的底半径为 r ,高为 h ,作轴截面,则 r ? h(2 R ? h) .

1 ? ? ? 4? 8 4? 3 V锥 ? ? r 2 h ? h 2 (2 R ? h) ? h 2 (4 R ? 2h)≤ ( )3 ? ? R . 3 3 6 6 3 27 3 ∴ 所求比为 8 : 27 .
5.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 S10 ? 0 , S15 ? 25 ,则 nS n 的最小值为

h r



解:由 S10 ? 0 , S15 ? 25 得 a1 ? ?3 , d ?

2 3

1 10 1 10 ? S n ? n 2 ? n ,则 nS n ? n3 ? n 2 3 3 3 3 1 3 10 2 20 令 f ( n) ? n ? n , n ? N * ,则 f ' (n) ? n 2 ? n 3 3 3 20 ' 由 f ( n) ? 0 得 n ? 0 或 n ? 3
所以 f ( n) 在 [1, 6] 上递增, [7, ??) 上递减 而 f (6) ? ?48 , f (7) ? ?49 ,故最小值为 ?49 .

6.定义函数 ? 表示 1, 2,? , N 中与 N 互质的数的个数,称此函数为欧拉函数,则 ? (2013) ? (N) 解: 2013 ? 3 ? 11? 61 ,由欧拉函数性质知



? (2013) ? 2013 ? (1 ? ) ? (1 ?

1 3

1 1 ) ? (1 ? ) ? 1200 11 61 1 1 BC , CE ? CA , AD ? BE ? P , M 是线段 DC 的中点, 3 3

7.已知 ? ABC 是边长为 2013 正三角形,BD ? 则 PM ? . 解:易证 ? ABD ≌ ? ACE ,

所以 ?APE ? ?BAD ? ?ABP ? ?BAD ? ?CBE ? 60 ,
?

又 ?ECD ? 60 ,所以 P 、 D 、 C 、 E 四点共圆,所以 ?DPC ? ?DEC .
?

连接 DE ,由 ?ECD ? 60 及 CE ?
?

所以 CP ? DP ,即 ?DPC 是直角三角形. 因为 M 是斜边 DC 的中点,所以 PM ?

1 CD 得 DE ? CE . 2 1 1 1 DC ? BC ? ? 2013 ? 671 . 2 3 3

8.设函数 f ( x) ?

( x ? 2013) 2 ? sin 2013 x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M ? m ? x 2 ? 2013



解: f ( x) ?

x 2 ? 2 2013 x ? 2013 ? sin 2013 x 2 2013 x ? sin 2013 x , ? 1? 2 x ? 2013 x 2 ? 2013

令 g ( x) ?

2 2013 x ? sin 2013 x x 2 ? 2013

? g ( x) 为奇函数,由奇函数的性质知 g ( x) max ? g ( x) min ? 0
?M ? m ? 2

9. 已知 f ( x) ? ax ? bx ? c (0<2a <b), ?x ? R, f ( x)≥0 恒成立, 则
2

f (1) 的最小值是 f (0) ? f (?1)



解:由 ?x ? R, f ( x)≥0 恒成立,得 ?? b ? 4ac≤0 ,
2

又 a ? 0 ,所以 c≥

b2 4a

所以

f (1) a?b?c a?b?c ? ? f (0) ? f (?1) c ? (a ? b ? c) b?a a?b? ≥ b2 b b2 1? ? 2 4a = a 4a . b b?a ?1 a 1 1? t ? t2 4 (t ? 2) t ?1

b f (1) 令 t ? ,则 ? a f (0) ? f (?1)

1 2 3 9 s ? s? f (1) 2 4 = s ? 9 ? 3 ( s ?1) 再令 s ? t ? 1 ,则 ?4 f (0) ? f (?1) s 4 4s 2 ≥2
此时

s 9 3 3 3 ? ? ? 2? ? ? 3 4 4s 2 4 2

s 9 且 s ? 1 ,即 s ? 3 . ? 4 4s
3 2

1 2 ? ?( x ? ) ? 1, x ? 0 10.已知函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 1 , g ( x) ? ? ,则方程 g[ f ( x)] ? a ? 0 ( a 为正常数) 2 2 ??( x ? 3) ? 1, x≤0 ?
的实根最多有_____________个. 解:方程 g[ f ( x)] ? a ? 0 的实根个数转化为函数 y ? g[ f ( x)] 与函数 y ? a 的交点个数问题 ①当 a ? (0,1) 时,函数 y ? a 与 y ? g ( x) 有两个交 点 x1 ? ?4 和 x2 ? ?2 ,而此时 方程 f ( x) ? ?2 和

f ( x) ? ?4 的实根分别有 3 个和 1 个,共 4 个;
②当 a ? 1 时, 函数 y ? a 与 y ? g ( x) 有两个交点 x1 ? ?3 和 x2 ? 实根分别有 2 个和 3 个,共 5 个; ③当 a ? (1, ) 时,函数 y ? a 与 y ? g ( x) 有两个交点 x1 ? (0, ) 和 x2 ? ( ,1) ,而此时方程 f ( x) ? x1 和

1 1 , 而此时方程 f ( x) ? ?3 和 f ( x) ? 的 2 2 1 2

5 4

1 2

f ( x) ? x2 的实根分别有 3 个和 3 个,共 6 个;

④当 a ? [ , ??) 时, 函数 y ? a 与 y ? g ( x) 有一个交点 x1 ? (1, ??) , 而此时方程 f ( x) ? x1 的实根有 1 个; 综上,方程 g[ f ( x)] ? a ? 0 ( a 为正常数)的实根最多有 6 个.

5 4

二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.本大题共 4 小题,共 70 分.
11. (本小题满分 15 分) 已知数列 {an } 中: a1 ? 1 ,且 an ?1 ? an ? an ? 2an ?1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求证: a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 .

解: (Ⅰ)由 an ?1 ? an ? an ? 2an ?1 得

1 2 ? ?1 an ?1 an

…………………………………………………… 2 分

?(

1 1 ? 1) ? 2( ? 1) an ?1 an

………………………………………………………………… 4 分

所以数列 {

1 ? 1} 是一个以 2 为首项, 2 为公比的等比数列 an
…………………………………………………………… 7 分

1 1 ? 1 ? 2 ? 2n ?1 ? 2n ,即 an ? n an 2 ?1
(Ⅱ)当 n ? 1 时, 2 ? 1 ? 2
n n ?1

成立

1 1 1 …………………………………………………………… 10 分 ? n ?1 ? ( ) n ?1 2 ?1 2 2 1 1 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 2 2 2 1 1 ? ( )n 2 ? 2[1 ? ( 1 ) n ] ? 2 ? 1 2 1? 2
所以
n

故 a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 . 12. (本小题满分 15 分)

…………………………………………………………… 15 分

已知 a1 , a2 , …, an 是 n 个正数,满足 a1 ? a2 ?? ? an ? 1 . 求证: (2 ? a1 )(2 ? a2 ) ? (2 ? an )≥3 .
n

证明:∵ 2+ai=1+1+ai≥3 ai,(i=1,2, …,n)

3

………………………………………………… 5 分

∴ (2+a1)(2+a2)…(2+an)=(1+1+a1)(1+1+a2)…(1+1+an) ≥3 a1?3 a2?…?3 an≥3n a1a2…an=3n. ………………………………… 15 分 13. (本小题满分 20 分) 如图,已知抛物线 C : y ? 4 x ,过点 A(1, 2) 作抛物线 C 的弦 AP , AQ .
2
3 3 3 3

(Ⅰ)若 AP ? AQ ,证明:直线 PQ 过定点,并求出定点坐标; (Ⅱ)假设直线 PQ 过点 T (5, ?2) ,请问是否存在以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ ?若存在,求出

?APQ 的个数,若不存在请说明理由.
解: (Ⅰ)设 PQ 的直线方程为 x ? my ? n ,点 P 、 Q 的坐标分别为 P ( x1 , y1 ) 、 Q ( x2 , y2 ) 由?

? x ? my ? n ? y ? 4x
2 2

得 y ? 4my ? 4n ? 0
2

………………………………………………… 2 分

由 ? ? 0 得 m ? n ? 0 , y1 ? y2 ? 4m , y1 ? y2 ? ?4n 由 AP ? AQ 得 AP ? AQ ? 0

??? ? ????

? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 0
又 x1 ?

……………………………………………… 5 分

y12 y2 , x2 ? 2 ,则 ( y1 ? 2)( y2 ? 2)[( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 16] ? 0 4 4
……………………………………………… 8 分

? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 0 或 ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 16 ? 0
? n ? ?2m ? 1 或 n ? 2m ? 5

? ? ? 0 ,所以 n ? 2m ? 5 ,即直线 PQ 的方程为 x ? 5 ? m( y ? 2)

? 直线 PQ 过定点 (5, ?2)

………………………………………………………………… 10 分

(Ⅱ)假设存在以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ ,由于直线 PQ 过定点 T (5, ?2)

? n ? 2m ? 5 ,直线 PQ 的方程为 x ? my ? 2m ? 5
设点 P 、 Q 的坐标分别为 P ( x1 , y1 ) 、 Q ( x2 , y2 ) 由?

? x ? my ? 2m ? 5 ? y ? 4x
2

得 y ? 4my ? 8m ? 20 ? 0 …………………………………………………… 13 分
2

? y1 ? y2 ? 4m , y1 ? y2 ? ?8m ? 20

2 x1 ? x2 y1 ? y2 y12 ? y2 y ? y2 ? PQ 的中点为 ( , ) ,即 ( , 1 ) 2 2 8 2



( y1 ? y2 ) 2 ? 2 y1 y2 ? 2m 2 ? 2m ? 5 8
…………………………………………………… 16 分

? PQ 的中点为 (2m 2 ? 2m ? 5, 2m)
由已知得
2

2m ? 2 ? ? m ,即 m3 ? m 2 ? 3m ? 1 ? 0 2m ? 2m ? 5 ? 1
3 2 ' 2

设 g ( m) ? m ? m ? 3m ? 1 ,则 g ( m) ? 3m ? 2m ? 3 ? 0

? g (m) 在 R 上是增函数
又 g (0) ? ?1 ? 0 , g (1) ? 4 ? 0

? g (m) 在 (0,1) 内有一个零点,即函数 g (m) 在 R 上只有一个零点
所以方程 m ? m ? 3m ? 1 ? 0 在 R 上只有一个实根
3 2

故满足条件的等腰三角形有且只有一个.

…………………………………………………… 20 分

14. (本小题满分 20 分) 求正整数 k1 , k2 , ?, kn 和 n ,使得 k1 ? k2 ? ? ? kn ? 5n ? 4 ,且

1 1 1 ? ? ?? ? 1. k1 k2 kn

解:由 ki ? 0(i ? 1, 2, ?, n) ,则 ( 所以, 5n ? 4≥n ,解得 1≤n≤4 .
2

1 1 1 ? ? ? ? )(k1 ? k2 ? ? ? kn )≥n 2 . ① k1 k2 kn
……………………………………………… 5 分

由式①等号成立条件知,当 n =1 或 n =4 时,所有的 ki (i ? 1, 2, ?, n) 均相等. (1)当 n =1 时,

1 ? 1 ,即 k =1 . k 1 1 1 1 ? ? ? ? 1. k1 k2 k3 k4
……………………………………………………………… 10 分

(2) 当 n =4 时,

k1 ? k2 ? k3 ? k4 =16, 且

解得 k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 4.

(3) 当 n =2 时,

k1 ? k2 ? 6 ,且

k k 1 1 ? ? 1, 此二式相乘得 2 ? 1 ? 4. k1 k2 k1 k2
……………………………………………………………… 15 分



k2 为无理数,矛盾.无解. k1

(4) 当 n =3 时,

k1 ? k2 ? k3 =11, 且

1 1 1 ? ? ? 1. k1 k2 k3 1 1 1 3 ? ? ≤ . 解得 k1≤3. k1 k2 k3 k1

不妨设 k1≤k2 ≤k3 ,则 1 ?

若 k1 =2 时,则

1 1 1 ? ? , k2 ? k3 =9, 得 k2 =3,k3 =6 ; k 2 k3 2

若 k1 =3 时,则由 k1≤k2 ≤k3 , k2 =3,k3 =3 ,与 k1 ? k2 ? k3 =11 矛盾. 综上, 当 n =1 时, k =1 ; 当 n =4 时, k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 4 ; 当 n =3 时, 及其循环解. ……………………………………………… 15 分 (k1 , k2 , k3)=(2,3, 6)


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