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高中数学必修五课件:3.1《不等关系与不等式》(人教A版必修5)


3.1 不等关系与不等式

掌握实数运算的性质与大小顺序之间的关系;会 用差值法比较两实数的大小;掌握不等式的基本性质, 并能运用这些性质解决有关问题.

自学导引
1.如果a-b是正数,那么a________b;如果a-b 等于零,那么a________b;如果a-b是________数, 那么a<b,反过来也对. 答案:> = 负 2.如果a>b,那么b________a;如果b________a, 那么a>b,即a>b?b________a. 答案:< < <

3.如果a>b,b>c,那么a________c. 答案:> 4.如果a>b,c∈R那么a+c________b+c. 答案:> 5.如果a>b,c>0,那么ac________bc.如果a>b, c<0,那么ac________bc. 答案:> < 6.如果a>b,c>d,那么a+c________b+d. 答案:>

7.如果a>b>0,c>d>0,那么ac________bd. 答案:> 8.如果a>b>0,那么an________bn,(n∈N, n≥2). 答案:> n n 9.如果 a>b>0,那么 a________ b,(n∈N,
n≥2).

答案:>

自主探究

1.不等关系与不等式有什么区别? 答案:不等关系强调的是量与量之间的关系, 可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示;而 不等式则是用来表示不等关系的,可用“a>b”、 “a<b”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子表示,不等 关系是通过不等式来体现的.

2.甲、乙、丙三人,甲的年龄大于乙,乙的年 龄大于丙,那么甲的年龄大于丙吗?10年后,甲的年 龄还大于乙吗?为什么? 答案:甲大于丙,10年后,甲仍大于乙 根据不 等式的性质可知.

预习测评

1.已知a<b<c,且a+b+c=0,则 ( ) A.b2-4ac>0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac<0 D.不能确定b2-4ac的符号 解析:∵a<b<c,且a+b+c=0,∴a<0,c>0, ∴b2-4ac≥-4ac>0. 答案:A

2.x=(a+3)(a-5)与y=(a+2)(a-4)的大 小关系是 ( ) A.x>y B.x=y C.x<y D.不能确定 解析:x-y=(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)= -7<0,∴x<y. 答案:C

3.已知a>b,c>d,且c、b不为0,那么下列 不等式成立的是 ( ) A.ab>bc B.ac>bd C.a-c>b-d D.a+c>b+d 解析:∵a>b,c>d,由同向不等式可加性得a +c>b+d. 答案:D

4.已知a<b<0,那么下列不等式成立的是 ( ) A.a3<b3 B.a2<b2 C.(-a)3<(-b)3 D.(-a)2<(-b)2 解析:∵a<b<0,∴a3<b3. 答案:A

要点阐释
1.两个实数比较大小关系 在数学问题中经常要遇到比较大小问题,其方法 有两个,一是作差比较法;二是作商比较法. 特别提醒:(1)作差比较法是比较大小的主要方法, 它是将两个数(或式子)作差,并由“差”与0的大小关系, 即“差”的正负号而比较出两个数的大小关系. (2)作商比较法的前提条件是两个正数的大小比较, 特别适合一些指数幂式子的大小比较,它是将两个正 数(或式子)作商,并由“商”与1的大小关系而得到两个 数的大小.

2.利用不等式性质判断不等关系 不等式的性质是判断不等关系的理论依据和方 法.不等式的性质较多,要注意识记和准确地理解 与应用.特别要注意某些性质的限制条件,以防乱 用和混用. 特别提醒:(1)同向不等式不能相减. (2)异向不等式不能相加. (3)两边同乘或除以一个负数,不等式要反向. (4)a>b>0,c>d>0?ac>bd与a>b,c>d?/ ac>bd 易混淆,其中,应注意它们的区别,前一个各项为 正,后一个没有正负,故不成立.

典例剖析
题型一 比较大小
【例1】 比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.
解: (2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=
? ? 1?2 3 ? 1?2 1?2 3 3 ?x+ ? + .∵ ?x+ ? ≥0,∴?x+ ? + ≥ >0, 2? 4 ? 2? 2? 4 4 ? ?

∴(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0, ∴2x2+5x+3>x2+4x+2.

方法点评:比较大小的一般步骤是:作差——变 形——定号,变形是比较大小的关键,是最重要的一 步,因式分解,配方,凑成若干个平方和等,是“变形 ”的常用方法.

1.设m=(x+6)(x+8),n=(x+7)2,则 ( ) A.m>n B.m≥n C.m<n D.m≤n 解析:∵m-n=(x+6)(x+8)-(x+7)2=x2+14x+ 48-(x2+14x+49)=-1<0,∴m<n. 答案:C

题型二 不等式的性质的应用
【例 2】 判断下列各题的对错: c c (1)a<b且 c>0?a>b (2)a>b 且 c>d?ac>bd (3)a>b>0 且 c>d>0? a b (4) 2> 2?a>b c c a d > b c

c c? <b? 1 1 解:(1) a ??a<b,当 a<0,b>0 时,此式成立, ? c>0 ? 推不出 a>b,∴(1)错. (2)当 a=3,b=1,c=-2,d=-3 时,命题显然 不成立.∴(2)错. a>b>0? a b ? ?? > >0? (3) c>d>0 ? d c ? a d> b c成立.∴(3)对.

(4)显然c2>0,∴两边同乘以c2得a>b.∴(4)对. 方法点评:解决这类问题,主要是根据不等式的 性质判定,其实质是看是否满足性质所需要的条件, 若要判断一个命题是假命题,可以从条件入手,推出 与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.

2.适当增加条件,使下列各命题成立. (1)若 ac2>bc2,则 a>b;(2)若 a>b,则-ac<-
1 1 bc;(3)若 a>b,则 < ;(4)若 a>b,c>d,则 ac>bd; a b (5)若 a<b,则 a2<b2.

1 解: (1)由 ac >bc , c≠0, 2>0, 知 即 对条件 ac2>bc2 c
2 2

1 两端乘以正数 2,可得结论 a>b 成立. c (2)由 a>b?-ac<-bc 成立, 只要增加 c>0 即可. 1 1 1 1 b-a (3)a>b?a-b>0?b-a<0,a<b?a-b= ab <0, ∴ab>0.∵a>b,∴增加 a>b>0 或 b<a<0. (4)增加 b≥0,d≥0.(5)增加 a≥0.

误区解密

对不等式性质理解有误
①,1≤a-2b≤3 ②,

【例3】 已知-1≤a+b≤1 求a+3b的取值范围.

错解:2×①+②得-1≤3a≤5, 1 5 故- ≤a≤ , 3 3 -1×②+①得 0≤-3b≤4, 故-4≤3b≤0. 13 5 所以- ≤a+3b≤ . 3 3

错因分析:错解中用了同向不等式相减从而扩 大了所求代数式的取值范围,导致范围不准确.正 确的解法是所求问题用已知的不等式进行表示,根 据已知不等式的取值范围,利用同向不等式相加的 性质进行求解.注意同向不等式不能相减或相除. 正解:设a+3b=λ1(a+b)+λ2(a-2b) =(λ1+λ2)a+(λ1-2λ2)b, 5 2 解得 λ1= ,λ2=- . 3 3 5 5 5 2 2 又- ≤ (a+b)≤ ,-2≤- (a-2b)≤- , 3 3 3 3 3
11 ∴- ≤a+3b≤1. 3

课堂总结

1.不等式的性质是不等式变形的依据.每一步 变形,都应有根有据.记准适用条件是关键. 2.关于处理带等号的情况;由a>b,b≥c或a≥b, b>c均可推得a>c,而a≥b,b≥c不一定可以推得a>c, 可能是a>c,也可能是a=c.

3.比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们 的差a-b的符号,而这又必然归结到实数运算的性 质.在教学时应指出,比较两个代数式的大小,实 际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判断它 们的差的符号,判断差的符号主要是因式分解、配 方法等. 4.不等式的加法、乘法运算一是满足同向,二 是只有正数才能相乘而不改变不等号的方向.


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