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第三节课简单逻辑用语(完整版)


一、简单的逻辑联结词 1.用联结词“且”联结命题p和命题q,记作 p∧q , 读作“ p且q ”.

2.用联结词“或”联结命题p和命题q,记作 p∨q ,
读作“ p或q ”.
﹁p

3.对一个命题 p 全盘否定记作



读作“非 p”或“p 的否定”.
4.命

题 p∧q,p∨q,﹁p 的真假判断

p∧q 中 p、q 有一假为 假 ,p∨q 有一真为 真 , p 与非 p 必定是 一真一假 .

二、全称量词与存在量词 1.全称量词与全称命题 所有的 ”“ 任意一个 (1)短语“ ? 通常叫做全称量词,并用符号“ ”在逻辑中 ”表示.

(2)含有全称量词 的命题,叫做全称命题.
(3)全称命题“对M中任意一个x,都有p(x)成

?x∈ 立”可用符号简记为 “M,p(x)

”,

读作“ 对任意x属于M,都有p(x)成立 ”.

2.存在量词与特称命题 至少有一个 (1)短语“存在一个 ”“ ? 逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ 示. 存在量词 (2)含有 的命题,叫做特称命题. (3)特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0) ?x“ 成立”可用符号简记为 0∈M,P(x0) ”, 存在M中的元素x0,使p(x0)成立 ”. 读作“ ”在 ”表

三、含有一个量词的命题的否定
命题 ?x∈M,p(x) ?x∈M,p(x) 命题的否定

?x∈M,﹁p(x) ?x∈M,﹁p(x)

[小题能否全取]

1.(2011· 北京高考)若p是真命题,q是假命题,
则( D ) A.p∧q是真命题 C.﹁p是真命题 B.p∨q是假命题 D. ﹁ q是真命题

2.(2013 湖北)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员 各跳一次,设命题 P 是“甲降落在指定范围” , 设命题 q 是“乙降落在指定范围” ,则命题“至少有一位学员没有 降落在指定范围”可表示为( A )

A.﹁p∨﹁q C.﹁p∧﹁q

B.p∨﹁q D.p∨q

3.(2012· 湖南高考)命题“? x0∈?RQ, x3 0∈Q”的否定 是
A.?x0??RQ,x3 0∈Q C.?x??RQ,x3∈Q

(
B.?x0∈?RQ,x3 0?Q D.?x∈?RQ,x3?Q

)

解析:其否定为?x∈?RQ,x3?Q.

答案:D

4.(教材习题改编)命题 p:有的三角形是等边三角形.命 题﹁p:__________________.

答案:所有的三角形都不是等边三角形
5.命题“?x0∈R,2x2 0-3ax0+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围为________.
解析: ?x0∈R,2x2 则?x∈R, 0-3ax0+9<0 为假命题, 2x2-3ax+9≥0 恒成立,有 Δ=9a2-72≤0,解得- 2 2≤a≤2 2.

答案:[-2 2,2 2 ]

1.逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的 “并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意 义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.

2.正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加 以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;

“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.
命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有 且只有一个为真,而原命题与否命题的真假无必然联系.

[ 例 1]

已知“命题 p : ? a,b ∈ N*, 都有 lg(a+b) ≠

lga+lgb”; “命题 q:空间两条直线为异面直线的充要条件 是它们不同在任何一个平面内” ,则( C )

A.命题“p∧q”是真命题 C.命题“(﹁p) ∧q”是真命题

B.命题“p∨q”是假命题 D.命题“(p∧﹁q)”是真命题

1.“p∧q”“p∨q”“﹁p”形式命题真假的判断步骤

(1)准确判断简单命题 p、q 的真假;
(2)判断“p∧q”“p∨q”“﹁p”命题的真假.

2.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)p∨q:p、q中有一个为真,则p∨q为真,即一真

全真;
(2)p∧q:p、q中有一个为假,则p∧q为假,即一假 即假;
(3)﹁p:与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反.

1.(1)如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列四个结论:

①命题“p且q”是真命题;②命题“p且q”是假命题;③
命 题“p或q”是真命题;④命题“p或q”是假命题. 其中正确的结论是 A.①③ B.②④ ( )

C.②③

D.①④

(2)(2012· 江西盟校联考)已知命题p:“?x∈[0,1],a≥ex”,
命题q:“?x∈R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命 题,则实数a的取值范围是 A.(4,+∞) C.[e,4] 题?p与q均为真命题. “p∧q”是真命题,则p与q都是真命题.
(2) p真则?x∈[0,1],a≥ex,需a≥e;q真则x2+4x+a=0有

( B.[1,4] D.(-∞,1]

)

解析: (1) “非p或非q”是假命题?“非p”与“非q”均为假命

解,需Δ=16-4a≥0,所以a≤4.p∧q为真,则e≤a≤4. 答案: (1) A (2) C

[例2] 下列命题中的假命题是

( B )

A.?a,b∈R,an=an+b,有{an}是等差数列

B. ?x∈(-∞,0),2x< 3x
C.?x∈R,3x≠0

D.?x0∈R,lg x0=0

[自主解答]

对于 A,an+1-an=a(n+1)+b-(an+

b)=a 常数.A 正确;对于 B,注意到 sin x+cos x= 2
? π? sin?x+4?≤ ? ?

2<2, 因此不存在 x0∈R, 使得 sin x0+cos x0

=2,B 不正确;对于 C,易知 3x≠0,因此 C 正确;对 于 D,注意到 lg 1=0,因此 D 正确.

[答案]

B

1.全称命题真假的判断方法
(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集

合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;
(2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合

M中的一个特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可.
2.存在性命题真假的判断方法

要判断一个存在性命题是真命题,只要在限定的集
合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一存 在性命题就是假命题.

2.(2013· 广州十二校联考)下列命题中的真命题是( 3 A.?x0∈R,使得 sin x0cos x0= 5

)

B.?x0∈(-∞,0),2x0>1 C.?x∈R,x2≥x-1 D.?x∈(0,π),sin x>cos x 3 6 解析:由 sin xcos x= ,得 sin 2x= >1,故 A 错误;结 5 5
合指数函数和三角函数的图象,可知 B,D 错误;因为 x
2

? 1 ?2 3 -x+1=?x-2? + >0 4 ? ?

恒成立,所以 C 正确.

答案:C

[例3]

(2013· 梅州适应性训练)命题“所有不能被2整

除的整数都是奇数”的否定是

(

)

A.所有能被2整除的整数都是奇数 B.所有不能被2整除的整数都不是奇数 C.存在一个能被2整除的整数是奇数 D.存在一个不能被2整除的整数不是奇数 [自主解答] 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数” 的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”,选D.

若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”,

其否定为________.
答案:所有能被2整除的整数都不是奇数

1.弄清命题是全称命题还是存在性命题是写出命
题否定的前提. 2.注意命题所含的量词,没有量词的要结合命题 的含义加上量词,再进行否定.

3.要判断“﹁p”命题的真假,可以直接判断,也 可以判断“p”的真假,p 与﹁p 的真假相反.

4.常见词语的否定形式有: 至少有 至多有 一个 一个 对任意x∈A 使p(x)真

原语 是 都是 句
否定 不都 不是 是

>

形式



一个也 至少有 没有 两个

存在x∈A 使p(x)假

3. (2012· 辽宁高考 )已知命题 p:? x1 , x2∈ R, (f(x2)- f(x1))(x2-x1)≥0,则非 p 是 ( )

A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0
解析:命题 p 的否定为“?x1,x2∈R,(f(x2)-f( x1))(x2 -x1)<0”.

答案:C

[典例]

(2012· 湖北高考)命题“存在一个无理数,

它的平方是有理数”的否定是
A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数

(

)

[尝试解题]

特称命题的否定为全称命题,即将

“存在”改为“任意”,并将其结论进行否定.原命 题的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理 数”. [答案] B

1.因只否定量词不否定结论,而误选A. 2.对含有一个量词的命题进行否定时,要明确否定

的实质,不应只简单地对量词进行否定,应遵循否定的
要求,同时熟记一些常用量词的否定形式及其规律.

针对训练 1.命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是_____.

解析:全称命题的否定是存在性命题,全称量词“任 何”改为存在量词“存在”,并把结论否定. 答案:存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3 2.命题“能被5整除的数,末位是0”的否定是________.

解析:省略了全称量词“任何一个”,否定为:有些可
以被5整除的数,末位不是0. 答案:有些可以被5整除的数,末位不是0

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.(2012· 济宁模拟)有下列四个命题: p1:若a· b=0,则一定有a⊥b;

p2:?x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y; p3:?a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=a1-2x+1都恒
?1 ? 过定点?2,2?; ? ?

p4:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充 要条件是D2+E2-4F≥0.其中假命题的是( )

A.p1,p4 C.p1,p3

B.p2,p3 D.p2,p4

解析:对于p1:∵a· b=0?a=0或b=0或a⊥b,当a=
0,则a方向任意,a,b不一定垂直,故p1假,否定B、 D,又p3显然为真,否定C. 答案: A

2. 若命题 p: 关于 x 的不等式 ax+b>0

? ? ? b? xx>- ?, 的解集是? ? ? a? ?

命题 q:关于 x 的不等式(x-a)(x-b)<0 的解集是 {x|a<x<b},则在命题“p∧q”“p∨q”“ ﹁p” “ ﹁q”中,是真命题的有________.

解析: 依题意可知命题 p 和 q 都是假命题, 所以“p∧q” 为假、“p∨q”为假、“﹁p”为真、“﹁q”为真.

答案:﹁p,﹁q

3.已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;q:方
程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真,p且q为 假,求m的取值范围.
解:若方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根 x1,x2, ?Δ>0, ? 则?x1+x2<0, ?x x >0, ? 1 2
2 ? ?Δ=m -4>0, 即? ? ?m>0.

解得 m>2,即 p:m>2. 若方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根,

则 Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0. 解得 1<m<3,即 q:1<m<3. ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假, ∴p、q 两命题应一真一假,即 p 为真、q 为假或 p 为假、q 为真.
? ?m>2, ∴? ? ?m≤1或m≥3 ? ?m≤2, 或? ? ?1<m<3.

解得 m≥3 或 1<m≤2. ∴m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).


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