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1. S-N 曲线的测定方法
S-N 曲线 (应力疲劳曲线) 是用名义应力法估算构件疲劳寿命的主要依据 , 之一。获得一条 S─N 曲线,通常取 4 ~ 6 级或更多的应力水平。试验采用成组试 验法测定 S─N 曲线,并用升降法测定疲劳极限强度。 成组试验法就是在每一个应力水平做一组试样, 每组试样的数量取决于试验 数据的分散程度和所要求的置信度,一般随着应力水平的降低逐渐增加,每组应 不少于 5 根试样。成组试验数据均根据变异系数 Vf 的计算来确定 95%或 90%置 信度的子样大小,并满足置信度 r = 95% 或 r = 90% 、误差限度 δ = 5% 的要求。 成组试验法的中值对数疲劳寿命 X 按下式计算

X

1 n = LogN 50 = ∑ LogN i n i =1

式中,N i —— 一组试验中第 i 个试样的疲劳寿命;
n —— 一组试样的总数;

N 50 —— 具有 50%存活率的疲劳寿命的中值疲劳寿命。

对数疲劳寿命标准差 S 按下式计算

n ∑ ( LogN i ) 2 ? (∑ LogN i ) 2
S=
i =1 i =1

n

n

n(n ? 1)

根据 t 分布原理,置信度为 r,母体平均值 ? 的区间估计式为

X ? tγ
那么,绝对误差 δ 为

S n

< ? < X + tγ

S n

δ=

??X
X

=

S tγ X n

=

V f tγ n

式中, Vf = S/ X 为变异(离散)系数。则在给定置信度、误差限 δ 的前提下 最少试样数的观测值

nmin

? V f tγ =? ? δ ?

? ? ? ?

2

所以,可根据变异系数值在有关文献中查出不同置信度、误差限(一般为 5%) 时所需的最少试样数的观测值 nmin

指定寿命次数 N (如 N = 107 次循环) 下疲劳极限或中值疲劳强度 σ 计量 σ 50 为:

升降法应力水平控制在 3 ~ 5 级范围,应力增量选为Δσ ≤ 5%。升降法测定
50,其测量估

σ 50 =
式中: n
*

1 m * * ∑ Vi σ i n * i =1

— 配成的对数总数; — 配成对子的级数,升降法级数减 1,即 m = m-1; = (σ i
*

m

*

σ i*
*

+ σ i +1

)/2 ;

V i — 相邻两级配成的对数。 疲劳极限或疲劳强度的子样标准差 S 按下式计算:
*

S =

*

n * ∑ vi* (σ i* ) 2 ? (∑ vi*σ i* ) 2
i =1 i =1

m

m

n (n ? 1)
* *

以试验应力为纵坐标,疲劳寿命为横坐标拟合的应力—寿命曲线为材料的 S─N 曲线。用上述方法获得的曲线为中值 S─N 曲线,具有 50%的存活率。

2. 拟合 S─N 曲线经验公式的算法
对于具有中,长寿命曲线段的 S—N 曲线,一般采用三参数幂函数表达式:
(σ max ? S 0 ) m N = C

对上式变换可得:
LogN = C ? mLog (σ max ? S 0 )

(1)

上式为含有 3 个常数的 S—N 曲线经验公式。式中 C,

m 和 S0 为材料常数。

2.1 线性相关系数极值法确定 S—N 曲线方程的材料常数
令 X = LogN, y = Log( σ max -S0), X = a +

a

= C,

b = - m,则式(1)可写成:

by

X 与 y 成为线性关系,根据这一条件,可采用求线性相关系数极值的方法求出待 定常数 S0,

m 和 C。其中待定系数 a, b 和相关系数 r 为:
_ a = x - b y , b = LYX LYY
_

,

r=

LYX LYY × LXX

式中

x=
L

_

1

n i =1

∑x

n

i



1 n y = ∑ yi n i =1
_

n 1 n = ∑ x i2 ? ( ∑ x ) 2 xx n i =1 i i =1

L YY =
L YX =
_



n

n

y

i =1

2 i

1 n ? (∑ yi )2 n i =1
n 1 n ( ∑ y i )( ∑ x i ) n i =1 i =1

i =1

yi xi ?

以上诸式中 y , LYY 和 LYX 均与 S0 有关, 是 S0 的函数, 故 a, b 和 r 也为 S0 函数, 即 a(S0), b(S0)和 r(S0) 。 由于所求 S0 必须使相关系数绝对值│r (S0)│取 最大,故可由以下条件:

d r ( s0 ) =0 ds0
因为:



d r 2 ( s0 ) ds0

=0

d r 2 ( s0 ) ds0
所以有

= 2r 2 ( s0 )(

1 dLYX 1 dLYY ? ) LYX ds0 2 LYY ds0
(2)

1 dLYX 1 dLYY ? =0 LYX ds 0 2 LYY ds 0
令:
n n dLYX x 1 n 1 = ∑ i ? (∑ xi )(∑ ) i =1 s ? s i =1 s ? s ds0 n i =1 i 0 i 0

LX 0 = ? In10
LY 0 = ?

(3)

n n yi 1 n 1 In10 dLYY =∑ ? (∑ yi )(∑ ) 2 ds0 n i =1 i =1 si ? s 0 i =1 si ? s0

(4)

将(3)和(4)式代入(2)式, 则得:

LY 0 LX 0 ? =0 LYY LYX
设:

H (S 0 ) =

LY 0 LX 0 ? LYY LYX

(5)



由于(5)式较复杂,须要用迭代法求解。H(S0)具有如下性质: 设 s 0 为 0 的
∧ ∧ ∧

预估值, 当 s 0<S0 时, H( s 0)>0; 而当 s 0>S0 时, H(S0)<0。 又因为 S0 必位于 区间[0, S'0 ]内,S'0 为数据点应力 Si(i =1, 2, 3………,n)的最小值,所以可以很 容易地用二分法求得 S0。 求得 a, b 和 S0 后, 通过下式可求出 C 和 m:
_

C = x -by

_

, m = - Lxx / Lyy 。

将 m, c, 及 S0 代入(1)式,即为所求 S—N 曲线的经验公式。 曲线方程的材料 材料常数 2.2 非线性拟合法确定 S—N 曲线方程的材料常数
S-N 曲线拟合方程 LogN = C ? mLog (σ max ? S 0 ) 是含有 3 个待定材料常数 C,

m 和 S0 的非线性方程, 对于含有 3 个待定材料常数的非线性方程,可以用非线性
拟合法确定方程的 3 个常数。


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