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uk高二数学(人教A版)选修2-1综合素质检测:第一章 常用逻辑用语


第一章综合素质检测
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.设原命题:若 a+b≥2,则 a、b 中至少有一个不小于 1,则 原命题与其逆命题的真假情况是( A.原命题真,逆命题假 B.原命题假,逆命题真 C.原命题与逆命题均为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题 2.(2013· 重庆理,2)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为 ( ) A.对任意 x∈R,都有 x2<0 B.不存在 x∈R,使得 x2<0
2 C.存在 x0∈R,使得 x0 ≥0

)

D.存在 x0∈R,使得 x2 0<0 3 . (2013· 琼海市模拟 ) 命题“tanx = 0”是命题“cosx = 1”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3” 的否命题是( )

A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c3<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3

D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3 5.设 x,y,z∈R,则“lgy 为 lgx,lgz 的等差中项”是“y 是 x, z 的等比中项”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

6.(2013· 湖北文,3)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一 次, 设命题 p 是“甲降落在指定范围”, q 是“乙降落在指定范围”, 则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A.(綈 p)∨(綈 q) C.(綈 p)∧(綈 q) B.p∨(綈 q) D.p∨q )

7.已知 α,β,γ 是三个不同的平面,命题“α∥β,且 α⊥γ?β ⊥γ”是真命题.如果把 α,β,γ 中的任意两个换成直线,另一个保 持不变,在所得的所有新命题中,真命题有( A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个 )

a b c 8.在△ABC 中,设命题 p:sinB=sinC=sinA,命题 q:△ABC 是等边三角形,那么 p 是 q 的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 9.已知命题 p:“对?x∈R,?m∈R,使 4x+2xm+1=0”.若 命题綈 p 是假命题,则实数 m 的取值范围是( A.-2≤m≤2 B.m≥2 ) )

C.m≤-2

D.m≤-2 或 m≥2 )

10.(2012· 豫东、豫北名校联考)下列命题中,错误的是(

A.命题“若 x2-5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2, 则 x2-5x+6≠0” x+y B.已知 x,y∈R,则 x=y 是 xy≥( 2 )2 成立的充要条件 C.对命题 p:?x∈R,使得 x2+x+1<0,则綈 p:?x∈R,则 x2+x+1≥0 D.已知命题 p 和 q,若 p∨q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真 一假 11.(2013· 天津理,4)已知下列三个命题: 1 1 ①若一个球的半径缩小到原来的2,则其体积缩小到原来的8; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; 1 ③直线 x+y+1=0 与圆 x2+y2=2相切. 其中真命题的序号是( A.①②③ C.①③ ) B.①② D.②③

12.设 a,b∈R,现给出下列五个条件:①a+b=2;②a+b>2; ③a+b>-2;④ab>1;⑤logab<0,其中能推出:“a,b 中至少有一 个大于 1”的条件为( A.②③④ C.①②③⑤ ) B.②③④⑤ D.②⑤

14.写出命题“若方程 ax2-bx+c=0(a≠0)的两根均大于 0,则 ac>0”的一个等价命题是____________________________________.

[答案] 若 ac≤0,则方程 a2-bx+c=0 的两根不全大于 0. [解析] 根据原命题与它的逆否命题是等价命题可直接写出. 15. 已知 p(x):x2+2x-m>0,如果 p(1)是假命题, p(2)是真命题, 则实数 m 的取值范围是________. [答案] 3≤m<8 [解析] ∵p(1)是假命题,p(2)是真命题,
? ?3-m≤0, ∴? 解得 3≤m<8. ?8-m>0. ?

16.下列命题中,________是全称命题,________是特称命题. ①正方形的四条边相等;②有两个内角是 45° 的三角形是等腰直 角三角形;③正数的平方根不等于 0;④至少有一个正整数是偶数; ⑤一定有偶数 x0,y0,使得 3x0-2y0=10 成立. [答案] ①②③ ④⑤ 三、 解答题(本大题共 6 个大题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)命题:已知 a、b 为实数,若关于 x 的不 等式 x2+ax+b≤0 有非空解集,则 a2-4b≥0,写出命题的逆命题、 否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假. [解析] 逆命题,已知 a、b 为实数,若 a2-4b≥0,则关于 x 的 不等式 x2+ax+b≤0 有非空解集. 否命题:已知 a、b 为实数,若关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 没 有非空解集,则 a2-4b<0. 逆否命题:已知 a、b 为实数,若 a2-4b<0,则关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 没有非空解集. 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.

18.(本小题满分 12 分)写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:?m∈R,方程 x2+x-m=0 必有实数根; (2)q:?x∈R,使得 x2+x+1≤0. [解析] (1)綈 p:?m∈R,使方程 x2+x-m=0 无实数根. 若方程 x2+x-m=0 无实数根,则 1 Δ=1+4m<0,则 m<-4, 所以当 m=-1 时,綈 p 为真. (2)綈 q:?x∈R,使得 x2+x+1>0.(真) 1 3 因为 x2+x+1=(x+2)2+4>0 所以綈 q 为真. 19.(本小题满分 12 分)已知 P={x|a-4<x<a+4},Q={x|x2-4x +3<0},且 x∈P 是 x∈Q 的必要条件,求实数 a 的取值范围. [解析] P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3}. ∵x∈P 是 x∈Q 的必要条件 ∴x∈Q?x∈P,即 Q?P
?a-4≤1 ?a≤5 ? ? ∴? ?? . ? ? ?a+4≥3 ?a≥-1

∴-1≤a≤5. 20.(本小题满分 12 分)如图所示的电路图,设命题 p:开关 K 闭 合,命题 q:开关 K1 闭合,命题 s:开关 K2 闭合,命题 t:开关 K3 闭合.

(1)写出灯泡 A 亮的充要条件; (2)写出灯泡 B 不亮的充分不必要条件; (3)写出灯泡 C 亮的必要不充分条件. [解析] (1)灯泡 A 亮的充要条件是“p∧q”. (2)灯泡 B 不亮的充分不必要条件是“綈 p”或“ 綈 s”; (3)灯泡 C 亮的必要不充分条件是 p 或 t. [点拨] 根据串并联电路的特点,K 控制着整个电路,K1,K2, K3 分别控制着一个支路.只有 K 闭合,灯泡才有可能亮,只有 K1 闭 合,灯泡 A 才有可能亮,只有 K2 闭合,灯泡 B 才有可能亮,只有 K3 闭合,灯泡 C 才有可能亮,据此可以写出有关的充分、必要条件. 21.(本小题满分 12 分)求使函数 f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x +3 的图象全在 x 轴上方成立的充要条件. [解析] 要使函数 f(x)的图象全在 x 轴上方的充要条件是:
2 ? ?a +4a-5>0, ? 或 2 2 ? ?Δ=16?a-1? -4?a +4a-5?×3<0, 2 ? ?a +4a-5=0, ? ?a-1=0. ?

解得 1<a<19 或 a=1,故 1≤a<19.

所以使函数 f(x)的图象全在 x 轴的上方的充要条件是 1≤a<19. 1 22.(本小题满分 14 分)已知 a>0,设命题 p:函数 y=(a)x 为增函 1 1 1 数.命题 q:当 x∈[2,2]时函数 f(x)=x+x >a恒成立. 如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求 a 的取值范围. 1 [解析] 由 y=(a)x 为增函数得,0<a<1. 1 因为 f(x)在[2,1]上为减函数,在[1,2]上为增函数, 1 ∴f(x)在 x∈[2,2]上最小值为 f(1)=2. 1 1 1 1 1 当 x∈[2,2]时,由函数 f(x)=x+x>a恒成立得,2>a,解得 a>2. 1 如果 p 真且 q 假,则 0<a≤2; 如果 p 假且 q 真,则 a≥1. 1 所以 a 的取值范围为(0,2]∪[1,+∞).


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