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高三数学竞赛讲座应用题选讲


高三数学竞赛讲座

-应用题选讲

应用题联系实际,生动地反映了现实世界的数量关系,能否从具体问题中 归纳出数量关系,反映了一个人分析问题、解决问题的实际能力. 列方程解应用题,一般应有审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等几 个步骤.下面从几个不同的侧面选讲一部分竞赛题,体现解应用题的技能和技 巧. 1.合理选择未知元 例 1 .某人骑

自行车从 A 地先以每小时 12 千米的速度下坡后,以每小时 9 千 米的速度走平路到 B 地,共用 55 分钟.回来时,他以每小时 8 千米的速度通 过平路后,以每小时 4 千米的速度上坡,从 B 地到 A 地共用 B 两地相距多少千米? 小时,求 A、

例 2 .若一商人进货价便谊 8%,而售价保持不变,那么他的利润(按进货价 而定)可由目前的 x%增加到(x+10)%,x 等于多少?

例 3 在三点和四点之间,时钟上的分针和时针在什么时候重合?

例 4.从两个重为 m 千克和 n 千克,且含铜百分数不同的合金上,切下重量相 等的两块,把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后,两者的

含铜百分数相等,问切下的重量是多少千克?

2.多元方程和多元方程组 例 5 .A、B、C 三人各有豆若干粒,要求互相赠送,先由 A 给 B、C,所给的 豆数等于 B、C 原来各有的豆数,依同法再由 B 给 A、C 现有豆数,后由 C 给 A、B 现有豆数,互送后每人恰好各有 64 粒,问原来三人各有豆多少粒?

例 6.某工厂有九个车间,每个车间原有一样多的成品,每个车间每天能生产 一样多的成品,而每个检验员检验的速度也一样快,A 组 8 个检验员在两天 之间将两个车间的所有成品(所有成品指原有的和后来生产的成品)检验完 毕后,再去检验另两个车间的所有成品,又用了三天检验完毕,在此五天内,

B 组的检验员也检验完毕余下的五个车间的所有成品, 问 B 组有几个检验员?

3.关于不等式及不定方程的整数解 例 7.把若干颗花生分给若干只猴子,如果每只猴子分 3 颗,就剩下 8 颗;如 果每只猴子分 5 颗,那么最后一只猴子得不到 5 颗,求猴子的只数和花生的 颗数.

例 8.在一次射箭比赛中,已知小王与小张三次中靶环数的积都是 36,且总环 数相等,还已知小王的最高环数比小张的最高环数多(中箭的环数是不超过 10 的自然数) ,则小王的三次射箭的环数从小到大排列是多少?

例 9.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初,每辆汽车乘 了 22 人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正 好能平均分乘到其它各车上,已知每辆汽车最多只能容纳 32 人,求起初有多 少辆汽车?有多少名旅客?

4.应用题中的推理问题 竞赛中常见的应用题不一定是以求解的面目出现,而是一种逻辑推理型.解答 这类题目不仅需要具备较强的分析综合能力,还要善于用准确简练的语言来 表述自己正确的逻辑思维. 例 10.有一种体育竞赛共含 M 个项目,有运动员 A、B、C 参加,在每个项目 中,第一、二、三名分别得 p1、p2、p3 分,其中 p1、p2、p3 为正整数且 p1 >p2>p3,最后 A 得 22 分,B 与 C 均得 9 分,B 在百米赛中取得第一,求 M 的值,并问在跳高中谁取得第二名? 分析 考虑三个得的总分,有方程: M(p1+p2+p3)=22+9+9=40, 又 p1+p2+p3≥1+2+3=6, ① ②

∴6M≤M(p1+p2+p3)=40,从而 M≤6. 由题设知至少有百米和跳高两个项目,从而 M≥2, 又 M|40,所以 M 可取 2、4、5. 考虑 M=2, 则只有跳高和百米, 而 B 百米第一, 但总分仅 9 分, 故必有: 9≥p1+p3, ∴≤8,这样 A 不可能得 22 分. 若 M=4,由 B 可知:9≥p1+3p3,又 p3≥1,所以 p1≤6,若 p1≤5,那么四项最多 得 20 分,A 就不可能得 22 分,故 p1=6.

∵4(p1+p2+p3)=40,∴p2+p3=4. 故有:p2=3,p3=1,A 最多得三个第一,一个第二,一共得分 3× 6+3=21<22, 矛盾. 若 M=5,这时由 5(p1+p2+p3)=40,得: p1+p2+p3=8.若 p3≥2,则: p1+p2+p3≥4+3+2=9,矛盾,故 p3=1. 又 p1 必须大于或等于 5,否则,A 五次最高只能得 20 分,与题设矛盾,所以 p1≥5. 若 p1≥6,则 p2+p3≤2,这也与题设矛盾,∴p1=5,p2+p3=3,即 p2=2,p3=1. A=22=4× 5+2. 故 A 得了四个第一,一个第二; B=9=5+4× 1, 故 B 得了一个第一,四个第三; C=9=4× 2+1, 故 C 得了四个第二,一个第三. 练 习五 1.选择题 (1)打开 A、B、C 每一个阀门,水就以各自不变的速度注入水槽.当所有三 个阀门都打开时, 注满水槽需 1 小时; 只打开 A、 C 两个阀门, 需要 1.5 小时; 如果只打开 B、C 两个阀门,需要 2 小时,若只打开 A、B 两个阀门时,注满 水槽所需的小时数是( ). (A)1.1 (B)1.15 (C)1.2 (D)1.25 (E)1.75

(2)两个孩子在圆形跑道上从同一点 A 出发,按相反方向运动,他们的速度 是每秒 5 英尺和每秒 9 英尺,如果他们同时出发并当他们在 A 点第一次再相 遇的时候结束,那么他们从出发到结束之间相遇的次数是( ). (A)13 (B)25 (C)44 (D)无穷多 (E)这些都不是

(3)某超级市场有 128 箱苹果,每箱至少 120 只,至多 144 只,装苹果只数 相同的箱子称为一组,问其中最大一组的箱子的个数 n,最小是( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)24 (E)25

(4)两个相同的瓶子装满酒精溶液,在一个瓶子中酒精与水的容积之比是 p:1,而在另一个瓶子中是 q:1,若把两瓶溶液混合在一起,混合液中的酒精与 水的容积之比是( ).

(5)汽车 A 和 B 行驶同样的距离,汽车 A 以每小时 u 千米行驶距离的一半 并以每小时 υ 千米行驶另一半,汽车 B 以每小时 u 千米行驶所行时间的一半 并以每小时 υ 千米行驶另一半,汽车 A 的平均速度是每小时 x 千米,汽车 B 的平均速度是每小时 y 千米,那么我们总有( ) (A)x≤y 2.填空题 (1)已知闹钟每小时慢 4 分钟,且在 3 点半时对准,现在正确时间是 12 点, 则过正确时间______分钟,闹钟才指到 12 点上. (2)若 b 个人 c 天砌 f 块砖,则 c 个人用相同的速度砌 b 块砖需要的天数是 ____. (3)某人上下班可乘火车或汽车,若他早晨上班乘火车则下午回家乘汽车; 又假若他下午回家乘火车则早晨上班乘汽车,在 x 天中这个人乘火车 9 次, 早晨乘汽车 8 次,下午乘汽车 15 次,则 x=_______. (4)一个年龄在 13 至 19 岁之间的孩子把他自己的年龄写在他父亲年龄的后 面,从这个新的四位数中减去他们年龄差的绝对值得到 4289,他们年龄的和 为______. (5)一个城镇的人口增加了 1200 人,然后这新的人口又减少了 11%,现在 (B)x≥y (C)x=y (D)x<y (E)x>y

镇上的人数比增加 1200 人以前还少 32 人,则原有人口为_____人. 3.一个四位数是奇数, 它的首位数字小于其余各位数字, 而第二位数字大于其 余各位数字,第三位数字等于首末两位数字之和的二倍,求此四位数. 4.甲乙两人合养了几头羊,而每头羊的卖价又恰为 n 元,两人分钱方法如下: 先由甲拿 10 元,再由乙拿 10 元,如此轮流,拿到最后,剩下不足十元,轮 到乙拿去,为了平均分配,甲应该分给乙多少钱? 5.完成同一工作,A 独做所需时间为 B 与 C 共同工作所需时间的 m 倍,B 独 做所需时间为 A 与 C 共同工作所需时间的 n 倍, C 独做所需时间为 A 与 B 共 同工作所需时间的 x 倍,用 m,n 表示出 x 来. 6.今有一个三位数, 其各位数字不尽相同, 如将此三位数的各位数字重新排列, 必可得一个最大数和一个最小数(例如,427,经重新排列得最大数 742,最 小数 247) ,如果所得最大数与最小数之差就是原来的那个三位数,试求这个 三位数. 7.某煤矿某一年产煤总量中, 除每年以一定数量的煤作为民用、 出口等非工业 用途外,其余留作工业用煤,按照该年度某一工业城市的工业用煤总量为标 准计算,可供这样的三个工业城市用六年,四个这样的城市用五年(当然每 年都要除去非工业用煤的那一个定量) ,问如果只供一个城市的工业用煤,可 以用多少年?

练习五 1.A.C.E.A.

2.①



③16 ④59岁

⑤1000

3.设从首位起,各位数字顺次为a,b,c,d,则a<b,a<c,a <d,且c<d,d<b.又c=2(a+d) .且2≤c≤8,故2≤2(a

+d)≤8.∵d为奇数,a≠0,∵a=1,d=3.这时c=2(a+d) =8,b=9. 4.略. 5.设A、B、C单独完成同一工作所需时间分别为a、b、c,则单位时 间他们可分别完成全部工作的 、 、 ,依题意

有:

由上面三式,可得: 6.设三位数为 于是有 ,重排后最大数为 则最小数为

由于C<A,由上式有10+C-A=z,1

0+(B-1)-B=y, (A-1)-C=x.可求得y=9,x=4,z =5. 7.设该煤矿该年度产煤总量为x,每年非工业用煤量为y,该工业城市该 年工业用煤量为z,并设只供这样一个城市工业用煤可用p年,由题意得方 程组:

① 由①与②得y=2z. ④

② ③

从①、③、④三式中消去x、y、z,得


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