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1.2.3简单复合函数的求导法则


* 导数的加减法法则:

? f ( x ) ? g ( x )? ? f ( x) ? g ( x )?
?

?

? f ?( x ) ? g ?( x ) ? f ?( x ) ? g ?( x )

?

* 导数的乘除法法则:

? f

( x ) g ( x )?
?

? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x )

? f ( x) ? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ? ? ? 2 g ( x) ? g ( x) ?

引例
一艘油轮发生泄漏事故,泄出的原油在海面上形 成一个圆形油膜,其面积
S

是半径 r 的函数:
2

S ? f (r ) ? ?r

油膜半径 r 随着时间 t 的增加而扩大,其函数关 系为: r ? ? (t ) ? 2t ? 1 问:油膜面积
S

关于时间 t 的瞬时变化率是多

少?

分析: 油膜面积 S 关于时间 t 的新函数:
S ? f ?? ( t ) ? ? ? ( 2 t ? 1 )
2

由于 f ?? ( t ) ? ? f ( 2 t ? 1 ) ? ? ( 4 t 2 ? 4 t ? 1 ) 所以由导数的运算法则可得:

? f ?? ( t ) ??
?

?

? ? ( 8 t ? 4 ) ? 4? ( 2 t ? 1 )

∵ f ? ( r ) ? 2 ? r , r ? ? ? ?( t ) ? 2 ∴ ? f ?? ( t ) ?? ? 2 ? ( 2 t ? 1 ) ? 2 ? f ?( 2 t ? 1 )? ?( t )

概括
一般地,对函数 y ? f (u ) 和 u ? ? ( x ) ? a x ? b ,

给定 x 的一个值,可得 u 的值,进而确定 y 的值, 这就确定了新函数 y ? f ( a x ? b ) ,它是由 y ? f (u ) 和u ? ? ( x ) ? a x ? b 复合而成的,我们称之为复合函
数,其中 u 是中间变量。 复合函数 y ?
f ( ax ? b) 的导数:

? f ( u )?

?

? f ?(u )? ?( x ) ? af ?( ax ? b)

注意: 复合函数的中间变量可以是任何函数,在高中

阶段我们只讨论 u ? ? ( x) ? ax ? b 的情况。
推广:

复合函数 y ? f ?? ( x ) ? 中,令 u ? ? ( x ) ,则
对x求导

? f ?? ( x )??

?

? f ?(u )? ?( x )

注意:不要写成 f ??? ( x )?!

对? ( x )求导

例1 求函数 y ?

3x ? 1

的导数。

解析

3 例2 求函数 y ? ( 2 x ? 1 ) 的导数。

解析

例3 一个港口的某一观测点的水位在退潮过程中, 水面高度 y 关于时间 t 的函数为:
y ? h (t ) ? 100 2t ? 1

求其在 t ? 3 时的导数,并解释其意义。解析

例4 求下列函数的导数:
(1 ) y ? f ( x )
2

( 2 ) y ? f (sin x )

前面所求的都是具体的复合函数的导数,而此题 中的对应法则 f 是未知的,是抽象的复合函数。它们

的导数如何求得??
解析

复合函数求导法则的注意问题: (1)首先要弄清复合关系,特别要注意中间变量; (2)尽可能地将函数化简,然后再求导; (3)要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用; (4)复合函数求导法则,常被称为“链条法则”,

一环套一环,缺一不可。
例3

动手做一做
1. 求下列函数的导数:
(1 ) y ? ( 5 x ? 2 ) (2) y ? e
1 ? co s x 10

y? ? 50(5 x ? 2)

? ? sin x ? e1?cos x y

2 2. 求曲线 y ? x ? ( 2 x ? 1 ) 在 x ? 6 处的切线方程。

43 x ? y ? 143 ? 0

例4

动手做一做
求下列函数的导数:
1

(1 ) y ? f ( ) x (2) y ? f ( x ? 1 )
2

f ?( ) x
? 2x x ?1
2

×

1

?

? f ?( ) 2 x x

1

1

?( x 2 ? 1 ) ?f

小结
* 复合函数求导公式:? f ?? ( x )?? ? f ?(u )? ?( x ) 关键:分清函数的复合关系,合理选定中间变量。 利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。 * 抽象复合函数的导数: 对于抽象复合函数的求导, 要从其形式上把握其 结构特征,找出中间变量;另外要充分运用复合关
?

系的求导法则。

结束

分析: 利用复合函数的求导法则来求导数时,首先要 弄清复合关系,而选择中间变量是复合函数求导的 关键。
解: 1 令 u ? ? ( x ) ? 3 x ? 1 ,则函数是由 f ( u ) ? u ? u 2 与 u ? ? ( x ) ? 3 x ? 1 复合而成,由复合函数求导法则 可知:
( 3 x ? 1 ) ? ? f ?( u )? ?( x ) ? 1 2 u ?3 ? 3 2 3x ? 1

例2

解: 3 令 u ? ? ( x ) ? 2 x ? 1 ,则函数是由 f ( u ) ? u 与
u ? ? ( x ) ? 2 x ? 1 复合而成,由复合函数求导法则

可知:

?( 2 x ? 1 ) ?
3 2

?

? f ?( u )? ?( x )
2

? 3u ? 2 ? 6( 2 x ? 1)

总结
利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间 变量是复合函数求导的关键。必须正确分析复合函数 是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清

其间的复合关系。要善于把一部分量、式子暂时当作
一个整体,这个暂时的整体,就是中间变量。求导时 需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中 特别要注意中间变量的系数,求导后,要把中间变量 转换成自变量的函数。

概括

分析: 函数 y ? 100 由 f ( x ) ? 100 与 x ? ? (t ) ? 2t ? 1
2t ? 1

复合而成。 解:

x

令 x ? ? (t ) ? 2t ? 1 ,由复合函数求导法则可 以求得:

? ?( t ) ? ? f ?? ( t ) ?? ? f ?( x )? ?( t ) h ? ? 100 x
2

?2 ? ?

200 ( 2t ? 1)
2

∴ h ?( 3 ) ? ?

200 49

(cm / s )
200 49 cm / s

当 t ? 3 时,水面高度下降的速度是



在对法则的运用熟练后,可以不必写中间步骤。 练习

分析: 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪

个变量对哪个变量求导。
而对于抽象复合函数的求导,一方面要从其形式 上把握其结构特征,找出中间变量,另一方面要充

分运用复合关系的求导法则。

解: 2 (1)函数是由 y ? f (u ) 与 u ? ? ( x ) ? x 复合而成的, 由复合函数的求导法则知:
? ? f ?( u )? ?( x ) ? f ?( u ) ? 2 x ? 2 x f ?( x 2 ) y

(2)函数由 y ? f (u ) 与 u ? ? ( x ) ? sin x 复合而成,
由复合函数的求导法则知:
y ? ? f ?( u )? ?( x ) ? f ?( u ) ? co s x ? co s x f ?(sin x )

练习

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