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高考数学难点突破


难点 13 数列的通项与求和 数列是函数概念的继续和延伸, 数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函 数,是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的 研究, 而数列的前 n 项和 Sn 可视为数列{Sn}的通项. 通项及求和是数列中最基本也是最重要 的问题之一,与数列极限及数学归纳法有着密切的联系,是高考对数列问题考查中的热点,

本点的动态函数观点解决有关问题,为其提供行之有效的方法. ●难点磁场 (★★★★★)设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所有的自然数 n, an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项. (1)写出数列{an}的前 3 项. (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程) a 1 a (3)令 bn= ( n +1 + n ) (n∈N*),求 lim (b1+b2+b3+…+bn-n). n →∞ 2 an a n +1 ●案例探究 [例 1]已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,数列{bn}是公比为 q 的(q∈R 且 q≠1) 的等比数列,若函数 f(x)=(x-1)2,且 a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q-1), (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}的前 n 项和为 Sn,对一切 n∈N*,都有 c c1 c1 + + + n =an+1 成立,求 b1 b2 cn n →∞ lim S 2 n +1 . S 2n 命题意图:本题主要考查等差,等比数列的通项公式及前 n 项和公式,数列的极限,以 及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托:本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显,而(2)中条件等式 的左边可视为某数列前 n 项和,实质上是该数列前 n 项和与数列{an}的关系,借助通项与前 n 项和的关系求解 cn 是该条件转化的突破口. 错解分析:本题两问环环相扣,(1)问是基础,但解方程求基本量 a1,b1,d,q,计算 不准易出错;(2)问中对条件的正确认识和转化是关键. 技巧与方法:本题(1)问运用函数思想转化为方程问题,思路较为自然,(2)问借鸡生 蛋构造新数列{dn},运用和与通项的关系求出 dn,丝丝入扣. 解:(1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2,a3=f(d+1)=d2, ∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d, ∵d=2,∴an=a1+(n-1)d=2(n-1);又 b1=f(q+1)=q2,b3=f(q-1)=(q-2)2, ∴ b3 ( q 2) 2 2 =q ,由 q∈R,且 q≠1,得 q=-2, = b1 q2 - -1 ∴bn=bqn 1=4(-2)n (2)令 cn =dn,则 d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*), bn ∴dn=an+1-an=2, ∴ cn 8 - =2,即 cn=2bn=8(-2)n 1;∴Sn= [1-(-2)n]. bn 3 1 ( ) 2n + 2 S 2 n +1 1 ( 2) 2 n +1 S ∴ = = 2 , lim 2 n +1 = 2 2n 1 2n n →∞ S 2 n S 2n 1 ( 2) ( ) 1 2 [例 2]设 An 为数列{an}的前 n 项和,An= 3 (an-1),数列{bn}的通项公式为 bn=4n+3; 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)把数列{an}与{bn}的公共项

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