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安徽五年高考圆锥曲线试题汇编


安徽五年高考 4、过点(1,0)且与直线 x﹣2y﹣2=0 平行的直线方程是( A、x﹣2y﹣1=0 B、x﹣2y+1=0 C、2x+y﹣2=0 D、x+2y﹣1=0 2 12、抛物线 y =8x 的焦点坐标是 _________ 。



17、椭圆 E 经过点 A(2,3) ,对称轴为坐标轴,焦点 F 1 , F2 在 x 轴上,离心

率 e ? (Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )求∠ F1AF2 的角平分线所在直线的方程。

1 。 2

(3) 双曲线 2 x ? y ? 8 的实轴长是(
2 2

) (D) 4 2 )

(A)2

(B) 2 2
2

(C)4
2

(4)若直线 3x ? y ? a ? 0 过圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心,则 a 的值为( (A)-1 (B) 1 (C)3 (D)-3

(17) (本小题满分 13 分)

l1 : y ? k1x ? 1 , l2 : y ? k2 x ?1 ,其中实数 k1, k2 满足 k1k2 ? 2 ? 0 .
(Ⅰ)证明 l1 与 l2 相交; (Ⅱ)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2 x2 ? y 2 ? 1 上. 9. (2012?安徽) 若直线 x﹣y+1=0 与圆 (x﹣a) +y=2 有公共点, 则实数 a 取值范围是 ( A.[﹣3,﹣1] B.[﹣1,3] C.[﹣3,1] D. (﹣∞,﹣3]U[1,+∞) )

14. 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,若|AF|=3,则|BF|= 20.如图,F1、F2 分别是椭圆 C: (a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,

2

B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠ F1AF2=60°. (Ⅰ )求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ )已知△ AF1B 的面积为 40 ,求 a,b 的值.

1

6. (2013 安徽, 文 6)直线 x+2y-5+ 5 =0 被圆 x +y -2x-4y=0 截得的弦长为(
2 2

).

A.1

B.2

C.4

D. 4 6

x2 y 2 21.(2013 安徽,文 21)(本小题满分 13 分)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦距为 4, a b 且过点 P( 2 , 3 ).
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆 C 上一点.过点 Q 作 x 轴的垂线,垂足为 E.取点 A(0, 2 2 ), 连接 AE.过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,作直线 QG. 问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 3.抛物线 y ? A. y ? ?1

1 2 x 的准线方程是( 4
B. y ? ?2
2

) C. x ? ?1
2

D. x ? ?2

6. 过点 P 的直线 l 与圆 x ? y ? 1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 (? 3,?1 ) ( )

(0, ] A. 6

?

(0, ] B. 3

?

C. [0, ]

?

6

D. [0, ]

?

3

21(本小题满分 13 分)

E: 设F 1 , F2 分别是椭圆

x2 y ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E a 2 b2

2

于 A, B 两点, | AF 1 |? 3| BF 1| (1) 若 | AB |? 4, ?ABF2 的周长为 16,求 | AF2 | ; (2) 若 cos ?AF2 B ?

3 ,求椭圆 E 的离心率. 5

2

答案:17、解: (Ⅰ )设椭圆 E 的方程为 + =1 ,b =a ﹣c =3c ,∴ ,解得:c=2,∴ 椭圆 E 的方程为
2 2 2 2

由 e= ,得

将 A(2,3)代入,有

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,所以直线 AF1 的方程为 y= (x+2) , 即 3x﹣4y+6=0,直线 AF2 的方程为 x=2,由椭圆 E 的图形知,∠ F1AF2 的角平分线所在直 线的斜率为正数 设 P(x,y)为∠ F1AF2 的角平分线所在直线上任一点,则有 若 3x﹣4y+6=5x﹣10,得 x+2y﹣8=0,其斜率为负,不合题意,舍去. 于是 3x﹣4y+6=5x﹣10,即 2x﹣y﹣1=0. 所以,∠ F1AF2 的角平分线所在直线的方程为 2x﹣y﹣1=0 =|x﹣2|

BD

C 3/2
解: (Ⅰ )∠ F1AF2=60°? a=2c? e= = .

(Ⅱ )设|BF2|=m,则|BF1|=2a﹣m, 2 2 2 在三角形 BF1F2 中,|BF1| =|BF2| +|F1F2| ﹣2|BF2||F1F2|cos120° ? (2a﹣m) =m +a +am.? m=
2 2 2


3

△ AF1B 面积 S= |BA||F1F2|sin60° ? ? a=10, ∴ c=5,b=5 . 4 21. 解:(1)因为焦距为 4,所以 a -b =4.又因为椭圆 C 过点 P( 2 , 3 ),所以
2 2

=40

2 3 ? ?1, a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1. 8 4 (2)由题意,E 点坐标为(x0,0).设 D(xD,0),则 AE =(x0, ?2 2 ), AD =(xD, ?2 2 ). 再由 AD⊥AE 知, AE · AD =0,即 xDx0+8=0. 8 由于 x0y0≠0,故 xD= ? . x0
故 a =8,b =4,从而椭圆 C 的方程为
2 2

因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,所以点 G ? 故直线 QG 的斜率 kQG=

?8 ? ,0? . ? x0 ?

y0 8 x0 ? x0

?

x0 y0 . x0 2 ? 8

又因 Q(x0,y0)在椭圆 C 上,所以 x02+2y02=8.① 从而 kQG= ?

x0 . 2 y0
x0 ? 8? ? x ? ? .② 2 y0 ? x0 ?

故直线 QG 的方程为 y ? ?

将②代入椭圆 C 方程,得 2 2 2 2 (x0 +2y0 )x -16x0x+64-16y0 =0.③ 再将①代入③,化简得 x2-2x0x+x02=0. 解得 x=x0,y=y0,即直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点.

4

练习:6.[2014· 福建卷] 已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程是( ) A.x+y-2=0 B.x-y=2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 17.[2014· 湖北卷] 已知圆 O:x2+y2=1 和点 A(-2,0),若定点 B(b,0)(b≠-2)和常 数 λ 满足:对圆 O 上任意一点 M,都有|MB|=λ|MA|,则 (1)b=________; (2)λ=________. 5.[2014· 浙江卷] 已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4, 则实数 a 的值是( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 6.[2014· 安徽卷] 过点 P(- 3,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点,则直线 l 的倾 斜角的取值范围是( ) π A.?0, ? 6? ? π C.?0, ? 6? ? π B.?0, ? 3? ? π D.?0, ? 3? ?

7.[2014· 北京卷] 已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0).若 圆 C 上存在点 P,使得∠APB=90°,则 m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 x+y-7≤0, ? ? 11. ,[2014· 福建卷] 已知圆 C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω :?x-y+3≥0,若圆 ? ?y≥0. 心 C∈Ω ,且圆 C 与 x 轴相切,则 a2+b2 的最大值为( ) A.5 B.29 C.37 D.49 6. [2014· 湖南卷] 若圆 C1: x2+y2=1 与圆 C2: x2+y2-6x-8y+m=0 外切, 则 m=( A.21 B.19 C.9 D.-11

)

16.[2014· 全国卷] 直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1,3), 则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于________. 12. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设点 M(x0, 1), 若在圆 O: x2+y2=1 上存在点 N, 使得∠OMN =45°,则 x0 的取值范围是( ) 1 1? A. [-1,1] B. ? ?-2,2? 2 2 C. [- 2, 2] D. ?- , ? 2? ? 2 14. [2014· 山东卷] 圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 圆 C 截 x 轴所 得弦的长为 2 3,则圆 C 的标准方程为________.
5

14. [2014· 重庆卷] 已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相交于 A,B 两点,且 AC⊥BC,则实数 a 的值为________. x2 y2 14.[2014· 江西卷] 设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,过 F2 作 x a b 轴的垂线与 C 相交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D.若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率 等于________. x2 y2 8.[2014· 重庆卷] 设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左右焦点,双曲线 a b 上存在一点 P 使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 15 C.4 D. 17 10.[2014· 北京卷] 设双曲线 C 的两个焦点为(- 2,0),( 2,0),一个顶点是(1,0), 则 C 的方程为________. x2 y2 x2 y2 8. [2014· 广东卷] 若实数 k 满足 0<k<5, 则曲线 - =1 与曲线 - =1 的( 16 5-k 16-k 5 )

A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 8.[2014· 湖北卷] 设 a,b 是关于 t 的方程 t2cos θ +tsin θ =0 的两个不等实根,则过 x2 y2 A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线 2 - 2 =1 的公共点的个数为( ) cos θ sin θ A.0 B.1 C.2 D.3 x2 y2 17. [2014· 浙江卷] 设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两条渐 a b 近线分别交于点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.
1 .设抛物线 C:y 4x 的焦点为 F,直线 L 过 F 且与 C 交于 A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则 L 的
2=

方程为 A.y=x-1 或 y=-x+1 B.y= (X-1)或 y=(x-1)





C.y=

(x-1)或 y=2

(x-1)

D.y= (x-1)或 y=- (x-1)

2. 、 已知抛物线 C : y

? 8x 与点 M ? ?2,2? ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两
( )

点,若 MA MB ? 0 ,则 k ?

A.

1 2

B.

2 2
2

C. 2

D. 2

3. 、已知点 A(2,0),抛物线 C:x =4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相

交于点 N,则|FM|:|MN|= A.2: B.1:2 C.1: D.1:3





6

4 .

O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y 2 ? 4 2 x 的焦点, P 为 C 上一点,若 | PF |? 4 2 ,则

?POF 的面积为
A. 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 4





5 . (设椭圆

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , P 是 C 上 的 点 a 2 b2
( )

,则 C 的离心率为 PF , ? PF 2 ? F 1 F 2 1 F 2?3 0 ?

A.

B. x 4
2 2

C.

D. ( )

6. 、如图 F1.F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点

A.B 分别是 C1.C2 在第二.四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是

(第 9 题图)

( 3 C. 2 6 2



A. 2

B. 3

D.

x2 y 2 7. 、已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F F , C与过原点的直线相交于 A, B a b
两点,连接了 AF , BF ,若 AB ? 10, B F ? 8, cos ? ABF ? A.

3 5

B.

5 7

C.

4 5

4 ,则 C 的离心率为 5 6 D. 7





8. 椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c .若直线y?3(x?c)与椭圆 ? 的 a2 b2

一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于__________

7

练习:
一、选择题 9 .已知 0 ? ? ?

π x2 y2 y2 x2 ,则双曲线 C1 : 2 ? ? 1 与 C2 : ? 2 ?1的 2 2 4 sin ? cos ? cos ? sin ? A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等





10 .从椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1 , A 是椭圆 a 2 b2

与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB / / OP ( O 是坐标原点),则 该椭圆的离心率是 A. ( B. )

2 4
2=

1 2

C.

2 2

D.

3 2

11 .设抛物线 C:y 4x 的焦点为 F,直线 L 过 F 且与 C 交于 A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则 L 的

方程为 A.y=x-1 或 y=-x+1 B.y= (X-1)或 y=(x-1)





C.y=

(x-1)或 y=-

(x-1)

D.y= (x-1)或 y=- (x-1)

12 .

O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y 2 ? 4 2 x 的焦点, P 为 C 上一点,若 | PF |? 4 2 ,

8

则 ?POF 的面积为



A. 2
13 .已知双曲线 C :

B. 2 2

C. 2 3

D. 4

x2 y 2 5 ,则 C 的渐近线方程为 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 a b 2
B. y ? ?





A. y ? ?
14 .双曲线 x
2

1 x 4

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x ( )

? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于
B.

A.

1 2

2 2

C.1

D. 2

15 .已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于

1 ,则 C 的方程是 2
D.





A.

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? ?1 4 3

16 .抛物线 y

2

? 8x 的焦点到直线 x ? 3 y ? 0 的距离是
B. 2 C. 3 D. 1





A. 2 3 D
17 . (设椭圆

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , P 是 C 上 的 点 a 2 b2
( )

,则 C 的离心率为 PF , ? PF 2 ? F 1 F 2 1 F 2?3 0 ?

A.
、 、

B.
10

C.


D. 已 知

F1 ? ?1

?

, F2的两个焦点 0 过 ? ? 是椭圆

且垂直于 ,C 轴的直线交于 1 2


F,


A、B两点, 且 AB ? 3, 则 C 的方程为
A.

x2 ? y2 ? 1 2

B.

x2 y 2 ? ?1 3 2

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4

18. 、 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F F , C与过原点的直线相交于 A, B a 2 b2

9

两点,连接了 AF , BF ,若 AB ? 10, B F ? 8, cos ? ABF ? A.

3 5

B.

5 7

C.

4 5

4 ,则 C 的离心率为 5 6 D. 7
0





19. 、 设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相较于点 O 、 所成的角为 60 的直线 A1B1 和

A2 B2 ,使 A1B1 ? A2 B2 ,其中 A1 、 B1 和 A2 、 B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,
则该双曲线的离心率的取值范围是 zhangwlx A. ( ( )

2 3 , 2] 3
2

B. [

2 3 , 2) 3

C. (

2 3 , ??) 3

D. [

2 3 , ??) 3

20. 、已知抛物线 C : y

? 8x 与点 M ? ?2,2? ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B
( )

两点,若 MA MB ? 0 ,则 k ?

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

21. 、双曲线 x

2

?

y2 ? 1 的离心率大于 2 的充分必要条件是 m
B. m ? 1 C. m ? 1 D. m ? 2





A. m ?

1 2

22. 、直线 x ? 2 y ? 5 ?

5 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为
B.2
2





A.1

C .4

D. 4 6

23. 、 已知点 A(2,0),抛物线 C:x =4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相

交于点 N,则|FM|:|MN|= A.2: B.1:2 C.1: D.1:3





1 2 x2 x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 24. 、抛物线 C1 : y ? 2p 3
于第一象限的点 M,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线,则 p = ( )

A.

3 16

B.

3 8

C.
10

2 3 3

D.

4 3 3

25. 、如图 F1.F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点

x 4

2 2





A.B 分别是 C1.C2 在第二.四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是

(第 9 题图)

( 3 C. 2 6 2



A. 2 .
二、填空题 26. 设 F1,F2 是双曲线 C,

B. 3

D.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点.若在 C 上存在一点 P.使 PF1⊥PF2, a 2 b2

且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为_______.
27.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为________. 16 9

28.已知 F 为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1的左焦点, P, Q 为 C 上的点,若 PQ 的长等于虚轴长的 9 16

2 倍,点 A?5,0? 在线段 PQ 上,则 ?PQF 的周长为____________.

29设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ?

π .若 AB ? 4 , BC ? 2 ,则 ? 的两个 4

焦点之间的距离为_______.
2

30.若抛物线 y 31. 椭圆 ? :

? 2 px 的焦点坐标为(1,0)则 p =____;准线方程为_____.

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c .若直线y?3(x?c)与椭圆 ? a2 b2

的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于__________
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点, 且双曲线的离 a 2 b2
11

32.已知抛物线 y 2 ? 8 x 的准线过双曲线

心率为 2, 则该双曲线的方程为______.

1 答案:6.D 17.(1)- 2

1 (2) 5.B 2

6.D

4 7.B 11.C 6.C16. 3
2 2

4 12.A 16. 3 5 2

12.A14.(x-2)2+(y-1)2=4 14.0 或 6 8.D 10.x -y =1

8.D 8.A 17.

x2 y2 21. , ,[2014· 山东卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 a b 3 4 10 ,直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为 . 2 5 (1)求椭圆 C 的方程. (2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点(A, B 不是椭圆 C 的顶点). 点 D 在椭圆 C 上, 且 AD⊥AB,直线 BD 与 x 轴 y 轴分别交于 M,N 两点. (i)设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2,证明存在常数 λ 使得 k1=λk2,并求出λ 的 值; (ii)求△OMN 面积的最大值. x2 y2 1 20.[2014· 陕西卷] 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率为 ,左右焦点 a b 2 分别为 F1(-c,0),F2(c,0). (1)求椭圆的方程; 1 (2)若直线 l: y=- x+m 与椭圆交于 A, B 两点, 与以 F1F2 为直径的圆交于 C, D 两点, 2 |AB| 5 3 且满足 = ,求直线 l 的方程. |CD| 4

x y 18.[2014· 天津卷] 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A, a b 3 上顶点为 B.已知|AB|= |F1F2|. 2 (1)求椭圆的离心率;
12

2

2

图 15

(2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过点 F2 的直 线 l 与该圆相切于点 M,|MF2|=2 2,求椭圆的方程. x2 y2 21. , ,[2014· 山东卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 a b 3 4 10 ,直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为 . 2 5 (1)求椭圆 C 的方程. (2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点(A, B 不是椭圆 C 的顶点). 点 D 在椭圆 C 上, 且 AD⊥AB,直线 BD 与 x 轴 y 轴分别交于 M,N 两点. (i)设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2,证明存在常数 λ 使得 k1=λk2,并求出λ 的 值; (ii)求△OMN 面积的最大值. a2-b2 3 = ,可得 a2=4b2. a 2 椭圆 C 的方程可简化为 x2+4y2=a2. 21.解:(1)由题意知, 将 y=x 代入可得 x=± 因此 2× 5a . 5

2 5a 4 10 = ,即 a=2,所以 b=1, 5 5

x2 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 (2)(i)设 A(x1,y1)(x1y1≠0),D(x2,y2),则 B(-x1,-y1). y1 因为直线 AB 的斜率 kAB= ,且 AB⊥AD, x1 x1 所以直线 AD 的斜率 k=- . y1 设直线 AD 的方程为 y=kx+m, 由题意知 k≠0,m≠0. y=kx+m, ? ?2 由?x 消去 y,得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0, 2 + y = 1 , ? ?4 8mk 所以 x1+x2=- , 1+4k2 因此 y1+y2=k(x1+x2)+2m= 由题意知 x1≠-x2, y1+y2 1 y1 所以 k1= =- = . 4k 4x1 x1+x2 所以直线 BD 的方程为 y+y1= y1 (x+x1). 4x1 2m . 1+4k2

令 y=0,得 x=3x1,即 M(3x1,0). y1 可得 k2=- . 2x1 1 1 所以 k1=- k2,即 λ=- . 2 2
13

1 因此,存在常数 λ=- 使得结论成立. 2 y1 (ii)直线 BD 的方程 y+y1= (x+x1), 4x1 3 ? 3 令 x=0,得 y=- y1,即 N? ?0,-4y1?. 4 由(i)知 M(3x1,0), 1 3 所以△OMN 的面积 S= ×3|x1|× |y1|= 2 4 9 |x ||y |. 8 1 1
2 x1 |x1| 2 因为|x1||y1|≤ +y2 =|y1|= 时,等号成立, 1=1,当且仅当 4 2 2

9 此时 S 取得最大值 , 8 9 所以△OMN 面积的最大值为 . 8 x2 y2 1 20.[2014· 陕西卷] 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率为 ,左右焦点 a b 2 分别为 F1(-c,0),F2(c,0). (1)求椭圆的方程; 1 (2)若直线 l: y=- x+m 与椭圆交于 A, B 两点, 与以 F1F2 为直径的圆交于 C, D 两点, 2 |AB| 5 3 且满足 = ,求直线 l 的方程. |CD| 4

图 15 b= 3, ?a=2, ? ?c 1 ? 20.解: (1)由题设知? = , 解得?b= 3, a 2 ? ? ?b =a -c , ?c=1,
2 2 2

x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)由题设,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1, 2|m| ∴圆心(0,0)到直线 l 的距离 d= . 5 由 d<1,得|m|< 5 ,(*) 2

14

∴|CD|=2 1-d2=2

4 2 1- m2= 5-4m2. 5 5

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?y=-2x+m, 由? 得 x -mx+m -3=0, x y ? 4 + 3 =1
2 2 2 2

1

由根与系数的关系得 x1+x2=m,x1x2=m2-3, ∴|AB|= 由
2 ?1+?-1? ?[m2-4(m2-3)]= 15 4-m2. 2 ? ? 2? ?

|AB| 5 3 = ,得 |CD| 4

4-m2 =1, 5-4m2

3 解得 m=± ,满足(*). 3 1 3 ∴直线 l 的方程为 y=- x+ 或 2 3 1 3 y=- x- . 2 3 x2 y2 6 20. [2014· 四川卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F(-2, 0), 离心率为 . a b 3 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 O 为坐标原点,T 为直线 x=-3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P,Q.当四 边形 OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积. c 6 20.解:(1)由已知可得, = ,c=2,所以 a= 6. a 3 x2 y2 2 2 2 又由 a =b +c ,解得 b= 2,所以椭圆 C 的标准方程是 + =1. 6 2 m-0 (2)设 T 点的坐标为(-3,m),则直线 TF 的斜率 kTF= =-m. -3-(-2) 1 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= ,直线 PQ 的方程是 x=my-2. m 当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式. x=my-2, ? ?2 2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? ? 6 + 2 =1, 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 4m 所以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , m +3 m +3 -12 x1+x2=m(y1+y2)-4= 2 . m +3 → → 因为四边形 OPTQ 是平行四边形,所以OP=QT,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2). -12 x1+x2= 2 =-3, m +3 所以 4m y1+y2= 2 =m. m +3 解得 m=± 1.

? ? ? ? ?

15

此时,四边形 OPTQ 的面积 1 S 四边形 OPTQ=2S△OPQ=2× ·|OF|·|y1-y2|= 2 2 m ? -2 ? 4 2 2 -4· 2 =2 3. m + 3 ? ? m +3 x2 y2 18.[2014· 天津卷] 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A, a b 3 上顶点为 B.已知|AB|= |F1F2|. 2 (1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过点 F2 的直 线 l 与该圆相切于点 M,|MF2|=2 2,求椭圆的方程. 3 18.解:(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0).由|AB|= |F1F2|,可得 a2+b2=3c2.又 b2 2 c2 1 =a2-c2,则 2= , a 2 2 所以椭圆的离心率 e= . 2 (2)由(1)知 a2=2c2,b2=c2, x2 y2 故椭圆方程为 2+ 2=1. 2c c → → 设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c),有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c). → → 由已知,有F1P·F1B=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又 c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 因为点 P 在椭圆上,所以 x2 y2 0 0 + =1.② 2c2 c2 4 c 2 由①和②可得 3x0 +4cx0=0.而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=- c,代入①得 y0= ,即 3 3 4c c? 点 P 的坐标为? ?- 3 ,3?. 4 c - c+0 +c 3 3 2 2 设圆的圆心为 T(x1 ,y1) ,则 x1= =- c , y1= = c ,进而圆的半径 r = 2 3 2 3 5 (x1-0)2+(y1-c)2= c. 3 2 2 2 2 5 c+ c? +?0- c? =8+ c2, 由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2.又|MF2|=2 2,故有? ? 3? ? 3? 9 2 解得 c =3, x2 y2 所以所求椭圆的方程为 + =1. 6 3

2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 9:圆锥曲线
一、选择题 33 . ( 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 文 ) ) 已知 0 ?? ?

x2 y2 π , 则 双 曲 线 C1 : ? ?1 与 4 sin 2 ? cos2 ?
( )

y2 x2 ? ?1的 cos2 ? sin 2 ? A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C2 :

C.离心率相等
16

D.焦距相等

【答案】D 34 . (2013 年高考四川卷(文) )从椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足 a 2 b2

A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点 , B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点 , 且 恰为左焦点 F 1,

AB / / OP ( O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是
A.

( D.



2 4

B.

1 2

C.

2 2

3 2

【答案】C 35 . (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )设抛物线 C:y 4x 的焦点为 F,直线 L 过 F 且与 C 交于 A, B
2=

两点.若|AF|=3|BF|,则 L 的方程为 A.y=x-1 或 y=-x+1 B.y= (X-1)或 y=(x-1)





C.y=

(x-1)或 y=-

(x-1)

D.y= (x-1)或 y=- (x-1)

【答案】C 36 . (2013 年高考课标Ⅰ卷 (文) )O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y ? 4 2 x 的焦点, P 为 C
2

上一点,若 | PF |? 4 2 ,则 ?POF 的面积为 A. 2
【答案】C 37 . (2013 年高考课标Ⅰ卷 (文) ) 已知双曲线 C :

( D. 4



B. 2 2

C. 2 3

x2 y 2 5 , ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 a b 2
( )

则 C 的渐近线方程为 A. y ? ?
【答案】C 38 . ( 2013 年高考福建卷(文) )双曲线 x
2

1 x 4

B. y ? ?

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于
C.1 D. 2





A.

1 2

B.

2 2

【答案】B 39 . (2013 年高考广东卷 (文) ) 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于

1 , 2
( )

则 C 的方程是

17

A.

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 4 2

D.

x2 y2 ? ?1 4 3

【答案】D 40 . (2013 年高考四川卷(文) )抛物线 y
2

? 8x 的焦点到直线 x ? 3 y ? 0 的距离是
C. 3 D. 1





A. 2 3
【答案】D

B. 2

x2 y 2 41 . ( 2013 年高考课标 Ⅱ卷(文) ) 设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a b

F1 , F2 , P 是 C 上的点 PF2 ? F1F2 , ?PF1F2 ? 30? ,则 C 的离心率为
A.
【答案】D 42 . ( 2013 年 高 考 大 纲 卷 ( 文 ) )





B.

C.

D.





F1 ? ?1

F2 ? 是椭圆 , ? , ?0

的两个焦点 1 ,C 0 过 且垂直于 , x 2 F 轴的直线交于
( )

A、B两点, 且 AB ? 3, 则 C 的方程为
A.

x2 ? y2 ? 1 2

B.

x2 y 2 ? ?1 3 2

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4

【答案】C 43 . ( 2013 年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 ) )已知椭圆

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 焦 点 为 a 2 b2
A ,F B , F若
( D. )

F

F , C与过原点的直线相交于

A, B 两 点 , 连 接 了

4 AB ? 10, B F ? 8, cos ? ABF ? ,则 C 的离心率为 5 3 5 4 A. B. C. 5 7 5
【答案】B

6 7

44. (2013 年高考重庆卷(文) )设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相较于点 O 、所

成的角为 60 的直线 A1B1 和 A2 B2 ,使 A 1、 B 1 和 A2 、 B2 分别是这 1B 1 ? A 2 B2 ,其中 A
0

对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 zhangwlx A. (





2 3 , 2] 3

B. [

2 3 , 2) 3

C. (

2 3 , ??) 3

D. [

2 3 , ??) 3

18

【答案】A 45. (2013 年高考大纲卷(文) )已知抛物线 C : y
2

? 8x 与点 M ? ?2, 2? ,过 C 的焦点且斜率
( )

为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点,若 MA MB ? 0 ,则 k ?

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

【答案】D

y2 46. (2013 年高考北京卷(文) )双曲线 x ? ? 1 的离心率大于 2 的充分必要条件是 m
2





A. m ?

1 2

B. m ? 1

C. m ? 1

D. m ? 2

【答案】C 47 . ( 2013 年上海高考数学试题(文科) ) 记椭圆

x2 ny 2 ? ? 1 围成的区域 ( 含边界 ) 为 4 4n ? 1
上时, x? y 的最大值分别是 ( )

?n ? n ? 1,2,
M1 , M 2 ,
A.0
【答案】D

? , 当 点 ? x, y ? 分 别 在 ?1, ?2 ,
n ??

,则 lim M n ? B.

1 4

C.2

D. 2 2

48. (2013 年高考安徽(文) )直线 x ? 2 y ? 5 ?

5 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦
( )

长为 A.1
【答案】C 49. (2013 年高考江西卷(文) )已知点 A(2,0),抛物线 C:x =4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线
2

B.2

C .4

D. 4 6

C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|:|MN|= A.2:
【答案】C

( D.1:3



B.1:2

C.1:

1 2 x2 x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 50( .2013 年高考山东卷 (文) ) 抛物线 C1 : y ? 2p 3
的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线, 则p= A. ( B. )

3 16

3 8

C.
19

2 3 3

D.

4 3 3

【答案】D 51. (2013 年高考浙江卷(文) )如图 F1.F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点

x 4

2 2





A.B 分别是 C1.C2 在第二.四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是

(第 9 题图)

( 3 C. 2 6 2



A. 2
【答案】 二、填空题

B. 3 D.

D.

52. (2013 年高考湖南(文) )设 F1,F2 是双曲线 C,

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点.若在 C a 2 b2

上存在一点 P.使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为____ 3 ? 1 _______.
【答案】

3 ?1
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为________. 16 9

53. (2013 年高考陕西卷(文) )双曲线 【答案】

5 4

x2 y 2 ? ? 1的左焦点, P, Q 为 C 上的点, 54. (2013 年高考辽宁卷 (文) ) 已知 F 为双曲线 C : 9 16
若 PQ 的 长 等 于 虚 轴 长 的 2 倍 , 点 A?5,0? 在 线 段 PQ 上 , 则 ?PQF 的 周 长 为 ____________. 【答案】44
55. (2013 年上海高考数学试题 (文科) ) 设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ?

π . 4

若 AB ? 4 , BC ? 2 ,则 ? 的两个焦点之间的距离为_______.

【答案】

4 6 3
2

56. (2013 年高考北京卷(文) )若抛物线 y

? 2 px 的焦点坐标为(1,0)则 p =____;准线方程

20

为_____. 【答案】2, x ? ?1
57. (2013 年高考福建卷(文) )椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , a2 b2

焦距为 2c . 若直线 y?3(x?c) 与 椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 , 则该椭圆的离 心率等于__________
【答案】

3 ?1
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a 2 b2

58. (2013 年高考天津卷(文) )已知抛物线 y 2 ? 8 x 的准线过双曲线

一个焦点, 且双曲线的离心率为 2, 则该双曲线的方程为______.
【答案】 x
2

?

y2 ?1 3

21


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