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幂函数习题精选精讲1


幂函数
  函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学学习的始终,而幂函数是其中的一部分内容,这部分内容虽然少而简单,却包含了一些重要的数学思想.下面剖析几例,以拓展同学们的思维.
  一、分类讨论的思想
  例1 已知函数的图象与两坐标轴都无公共点,且其图象关于y轴对称,求n的值,并画出函数的图象.
  解:因为图象与y轴无公共点

,故,又图象关于y轴对称,则为偶数,由,得,又因为,所以.
  当时,不是偶数;
  当时,为偶数;
  当时,为偶数;
  当时,不是偶数;
  当时,为偶数;
  所以n为,1或3.
  此时,幂函数的解析为或,其图象如图1所示.








  二、数形结合的思想
  例2 已知点在幂函数的图象上,点,在幂函数的图象上.
  问当x为何值时有:(1);(2);(3).
  分析:由幂函数的定义,先求出与的解析式,再利用图象判断即可.
  解:设,则由题意,得,
  ∴,即.再令,则由题意,得,
  ∴,即.在同一坐标系中作出
  与的图象,如图2所示.由图象可知:
  (1)当或时,;
  (2)当时,;
  (3)当且时,.
  小结:数形结合在讨论不等式时有着重要的应用,注意本题中的隐含条件.
  三、转化的数学思想
  例3 函数的定义域是全体实数,则实数m的取值范围是(  ).
  A.
  B.
  C.
  D.
  解析:要使函数的定义域是全体实数,可转化为对一切实数都成立,即且.
  解得. 故选(B)
幂函数中的三类讨论题
  所谓分类讨论,实质上是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略. 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧,做到确定对象的全体,明确分类的标准,不重、不漏的分类讨论.在幂函数中,分类讨论的思想得到了重要的体现,可根据幂函数的图象和性质,依据幂函数的单调性分类讨论,使得结果得以实现.
  类型一:求参数的取值范围
  例1 已知函数为偶函数,且,求m的值,并确定的解析式.
  分析:函数为偶函数,已限定了必为偶数,且,,只要根据条件分类讨论便可求得m的值,从而确定的解析式.
  解:∵是偶函数,∴应为偶数.
  又∵,即,整理,得,∴,∴.
  又∵,∴或1.
  当m=0时,为奇数(舍去);当时,为偶数.
  故m的值为1,.
  评注:利用分类讨论思想解题时,要充分挖掘已知条件中的每一个信息,做到不重不漏,才可为正确解题奠定坚实的基础.
  类型二:求解存在性问题
  例2 已知函数,设函数,问是否存在实数,使得在区间是减函数,且在区间上是增函数?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.
  分析:判断函数的单调性时,可以利用定义,也可结合函数的图象与性质进行判断,但要注意问题中符号的确定,要依赖于自变量的取值区间.
  解:∵,则.
  假设存在实数,使得满足题设条件,
  设,则
  .
  若,易知,,要使在上是减函数,则应有恒成立.
  ∵,,∴.而,
  ∴..
  从而要使恒成立,则有,即.
  若,易知,要使在上是增函数,则应有恒成立.
  ∵,,
  ∴,而,∴.
  要使恒成立,则必有,即.
  综上可知,存在实数,使得在上是减函数,且在上是增函数.
  评注:本题是一道综合性较强的题目,是幂函数性质的综合应用.判断函数的单调性时,可从定义入手,也可根据函数图象和性质进行判断,但对分析问题和解决问题的能力要求较高,这在平时要注意有针对性的训练.
  类型三:类比幂函数性质,讨论函数值的变化情况
  例3 讨论函数在时随着x的增大其函数值的变化情况.
  分析:首先应判定函数是否为常数函数,再看幂指数,并参照幂函数的性质讨论.
  解:(1)当,即或时,为常函数;
  (2)当时,或,此时函数为常函数;
  (3)即时,函数为减函数,函数值随x的增大而减小;
  (4)当即或时,函数为增函数,函数值随x的增大而增大;
  (5)当即时,函数为增函数,函数值随x的增大而增大;
  (6)当,即时,函数为减函数,函数值随x的增大而减小.
  评注:含参数系数问题,可以说是解题中的一个致命杀手,是导致错误的一个重要因素.这应引起我们的高度警觉.
幂函数习题
  幂函数这一知识点,表面上看内容少而且容易,实质上则不然.它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想,是培养同学们数学思维能力的良好载体.下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用.
  例1 若,试求实数m的取值范围.
  错解(数形结合):由图1可知
  解得 ,且.
  剖析:函数虽然在区间和上分别具有单调性,但在区间上不具有单调性,因而运用单调性解答是错误的.
  正解(分类讨论):
  (1)
  解得;
  (2)此时无解;
  (3), 解得.
  综上可得.
  现在把例1中的指数换成3看看结果如何.
  例2 若,试求实数m的取值范围.
  错解(分类讨论):由图2知,
  (1)1, 解得;
  (2)此时无解;
  (3), 解得 .
  综上可得 .
  剖析:很明显,此解法机械地模仿例1的正确解法,而忽视了函数间定义域的不同.由此,使我们感受到了幂函数的定义域在解题中的重要作用.
  正解(利用单调性):由于函数在上单调递增,所以,解得.
  例2正确解法深化了对幂函数单调性的理解,激活了同学们的思维.下面再对和两个问题与解法进行探究.
  例3若,试求实数m的取值范围.
  解:由图3,,解得 .



  例4 若,试求实数m的取值范围.
  解析:作出幂函数的图象如图4.由图象知此函数在上不具有单调性,若分类讨论步骤较繁,把问题转化到一个单调区间上是关键.考虑时,.于是有,即.
  又∵幂函数在上单调递增,
  ∴, 解得,或m>4.
  上述解法意识到幂函数在第一象限的递增性,于是巧妙运用转化思想解题,从而避免了分类讨论,使同学们的思维又一次得到深化与发展.
  解题点悟:通过以上探究,我们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象又有了较深刻的认识,同时对于形如(是常数)型的不等式的解法有了以下体会:
  (1)当,解法同例1
  (2)当,解法同例2
  (3)当,解法同例3
  (4)当,解法同例4.
  编者点评:本文通过对一典型例题的多种变换,使我们对幂函数的性质及图象都有了较深刻的认识,其中例4解题过程中虽涉及了含绝对值不等式的解法,超出了我们的所学范围,但它其中蕴含的这种“转化”的思想,一方面拓宽了我们的解题思路,同时也体现了对知识的灵活应用能力,当然此题还可用分类讨论的方法解决,同学们不妨一试.

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