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解析函数的概念


§2.1 解析函数的概念
1 复变函数的导数
定义: 函数w ? f ( z ), z ? D; z 0 , z 0 ? ?z ? D

?w f ( z 0 ? ?z ) ? f ( z 0 ) 极限 lim ? lim ?z ?0 ?z ?z ?0 ?z
存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0



dw 导数,记作 f ?( z0 )或 dz
应该注意:上述定义中 ?z

.
z ? z0

? 0 的方式是任意的。

例 2.1.1 用导数的定义证明公式: ( z n )? ? nz n ?1 (n 为正整数)
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【证明】设 f ( z ) ? z ,故
n

f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? ( z ? ?z ) n ? z n n(n ? 1) n ? 2 ? ?z[nz ? z ?z ? ??? ? (?z ) n ?1 ] 2 f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? lim ? nz n ?1 ?z ?0 ?z
n ?1

例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?

f ( z ? ?z ) ? f ( z ) [解] 这里 lim ?z ?0 ?z ( x ? ?x) ? 2( y ? ?y )i ? x ? 2 yi ?x ? 2?yi ? lim ? lim ?z ?0 ?z ?0 ?x ? ?yi ?x ? ?yi ?x ? 2?yi ?x ? lim ? 1. 取?z ? ?x ? 0, lim ?z ?0 ?x ? ?yi ?z ?0 ?x ?x ? 2?yi 2?y 取?z ? i?y ? 0, lim ? lim ? 2. ?z ?0 ?x ? ?yi ?z ?0 ?y 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.
(即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.)

例3 讨论 w ? f ( z ) ? z

2

的可导性。
2 2

z ? ?z ? z ?w f ( z ? ?z ) ? f ( z ) 解: ? ? ?z ?z ?z

?w ? ?z ? 0 (?z ? 0) ? f ?(0) ? 0 z ? 0: ?z ?w ?z?z z ? 0 : 取?z ? ?x ? 0 ? ?z ?w ?z?z 取?z ? i?y ? 0 ? ?z
所以 w ? f ( z ) ? z 在复平面上除原点外处处不可导。
2

?z ( z ? ?z )( z ? ?z ) ? z z ? z ? ?z ? z ? ?z ?z

可导和可微,连续的关系 我们知道:若复变函数在某点连续,则该函数在 该点极限一定存在,反之不一定成立.那么可导与连 续有何关系? 若函数在某点可导,必在该点连续.但反之不一定 成立.

如上例f (z) = x +2yi ,显然在复平面上处处连 续.但在复平面处处不可导.

定义2.1.2 复变函数的微分 复变函数的微分概念在形式上与一元实变函数的微分 概念类似。 设函数w ? f (z)在 z 0可导,则由导数的定义可得
?w ? f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) ? f ?( z0 )?z ? ? (?z)?z

其中 lim0 ? (?z) ? 0。因此,? (?z )?z 是 ?z 的高阶无穷小量, ?z ? 而 f ?( z0 )?z 是函数w ? f ( z)的改变量?w 的线性部分. 我们称f ?( z0 )?z为函数w ? f ( z)在点 z 0的微分, 记作
dw ? f ?( z0 )?z

如果函数在点 z 0 的微分存在,则称函数在点 z 0 可微。

容易证明: 可导

可微 ? ;可导 ? 连续。

如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在D内可导.

2.1.5.求导法则 当 f ( z ), g ( z ) 都是复变数的可导函数时, 可以证明下列求导公
式与法则成立:

(1) [ f ( z ) ? g ( z )]? ? f ? ( z ) ? g ?( z ); (2) [ f ( z ) ? g ( z )]? ? f ?( z ) g ( z ) ? f ( z ) g ?( z ); f ( z) f ?( z ) g ( z ) ? f ( z ) g ?( z ) (3) [ ]? ? , ( g ( z ) ? 0 ); 2 g ( z) g ( z) (4) {f [ g ( z)]}? ? f ?(w ) g ?( z); 其中 w ? g ( z ) ; (5) 若 z ? ? (w ) 是函数 w ? f ( z ) 的反函数,且 f ?( z ) ? 0, 则 dz 1 ? ? ?(w ) ? ; dw f ?[? (w )]

2. 解析函数的概念 定义

f f ( z )在z 0 解析: ( z )在z0的某邻域内可导.
z 0 称为解析点, 否则称为奇点 。

f f ( z )在区域D内解析: ( z )在D内处处解析.
函数在一点解析

? 在该点可导。反之不一定成立。
2

在区域内: 解析 ? 可导 . 例如 f (z) =

z2

在整个复平面上解析; ? f ( z ) ? z w

仅在原点可导,故在整个复平面上不解析;

f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。

例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.

dw 1 解: ? ? ? z ? 0 ? , 故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析; dz z2 z = 0 是它的一个奇点。
解析函数的性质:
(1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数;
(2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数;

(3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析; 所 有解析点的集合必为开集。

问题:对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y),
如何判别其解析(可导)性?

f 换句话说: ( z )的解析 ?可导? 与u, v的偏导数之间有什么关系?

?? ?

设函数 w ? f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y)在D内解析,

即存在 f ?( z ) ? a ? ib . 于是 ?w ? f ? z ? ?z ? ? f ? z ?
? ? a ? ib ? ?z ? ? ?z (? ? 0,当?z ? 0) ? (a ? ib)?z ? (?1 ? i? 2 )?z
? (a ? ib)(?x ? i?y) ? (? 1 ? i? 2 )(?x ? i?y)

? i ?? b?x ? a?y ? ? ? ? 2 ?x ? ?1?y ? ? ? ?u ? x, y ? ? i?v ? x, y ? ? ?

? ??a?x ? b?y ? ? ?? 1?x ? ? 2 ?y ??

??u ? ux ?x ? u y ?y ? o ? ? ? ? ?? a?x ? b?y ? ? ??1?x ? ? 2?y ?? ? ? ? ?? ? ?v ? vx ?x ? v y ?y ? o ? ? ? ? ?? b?x ? a?y ? ? ?? 2?x ? ?1?y ?? ? ? ?

??u ? ux ?x ? u y ?y ? o ? ? ? ? ?? a?x ? b?y ? ? o ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?v ? vx ?x ? v y ?y ? o ? ? ? ? ?? b?x ? a?y ? ? o ? ? ?? ? ? ?

? ux ? vy ? a , ?? ? f ?( z ) ? ux ? ivx ? vy ? iu y . v x ? ?u y ? b . ?
?u ?v ?v ?u 称 ? , ?? 为Cauchy-Riemann方程 ?x ?y ?x ?y

即w ? f ( z ) ? u ( x, y ) ? iv( x, y )在D内一点? x,y ? 解析 ? u(x,y) 与 v(x,y) 在该点可微, 并且满足
柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。

? ? ? 设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y)? D 可微,
并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。 于是

?u ? u x ?x ? u y ?y ? ?1?x ? ? 2 ?y ?v ? vx ?x ? v y ?y ? ? 3?x ? ? 4 ?y
(?x,?y?0时,?k?0, (k=1,2,3,4))

?

C ? R ? u x ? ivx ? ?x ? ? i vx ? iu x ? ?y
2

? ? ux ? ivx ? ?x ? ? u y ? iv y ? ?y ? (?1 ? i? 3 )?x ? (? 2 ? i? 4 )?y
? (?1 ? i? 3 )?x ? (? 2 ? i? 4 )?y

f ( z ? ?z) ? f ( z) ? ?u ? i?v

? ? ux ? ivx ? (?x ? i?y ) ? (?1 ? i? 3 )?x ? (? 2 ? i? 4 )?y,

f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ?x ?y ? ux ? ivx ? (?1 ? i? 3 ) ? (? 2 ? i? 4 ) . ?z ?z ?z ?x ?y f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ?u ?v ( ? 1, ? 1) f ?( z ) ? lim ? ?i . z ?0 ?z ?z ?z ?x ?x
即函数 f (z)在点 z = x + iy 处可导. 由 z 的任意性可知:

w ? f ( z ) ? u( x, y) ? iv( x, y)在D内解析.
定理1 函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定义域D内解析的 充要条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在D内可微, 并满足CauchyRiemann方程. 定理2 函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该 点满足Cauchy-Riemann方程 。

解析 ?可导? ? u , v 可微且满足C-R方程
则f ( z ) ? u ? iv在 z ? x ? iy 处可导.
例题1 已知 f ? z ? ? x 2 ? y 2 ? i 2 xy ? u ? iv ,求 f ? ? z ?
解: ? ? z ? ? u x ? ivx ? 2 x ? i 2 y ? 2 ? x ? iy ? ? 2 z f

若 推论 : u, v在( x, y)处一阶偏导数连续且满足C ? R方程,

? v y ? iu y ? 2 x ? i ? ?2 y ? ? 2 ? x ? iy ? ? 2 z
例题2
判断下列函数在何处可导, 在何处解析:

1)w ? z ;

2)w ? z Re( z)

解: 由w ? z ? x ? iy , 得 u?x, v??y, 所以 1)

ux ? 1, u y ? 0, vx ? 0, v y ? ?1 ? ux ? v y u y ? ?vx
故 w ? z 在复平面内处处不可导, 处处不解析;
2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以

ux ? 2 x , u y ? 0, vx ? y , v y ? x
当且仅当 x = y = 0时, u x ? v y , u y ? ?vx , 因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.

例题3

f ( z ) ? u ? iv是区域D内的解析函数, 且 f ?( z ) ? 0 ? u ( x, y ) ? C1 , v( x, y ) ? C2 ? C1 , C2为任意常数?
是区域内的正交 曲线族。

(正交:两曲线在交点处的切线垂直 ) ux u 证: ( x, y ) ? C1在( x, y )处切线的斜率ku ? ? , uy

? ux ku k v ? ? ? ? u ? y

vx v( x, y ) ? C 2 在( x, y )处切线的斜率k v ? ? vy

? ? vx ?? ? ?? v ?? y

? ? vy ?C ? R? ? ? ? u ? ? y

? ? uy ?? ?? v ?? y

? ? ? ?1, 得证。 ? ?

例如 f ? z ? ? z 2 ? x 2 ? y 2 ? i 2 xy , f ? ? z ? ? 2 z ? 0 ? z ? 0 ? . 两族分别以直线y=?x和坐标轴 为渐近线的等轴双曲线

x2?y2 = c1, 2xy = c2 互相正交。
?8?10 y ?6 ?4 ?2 u=0 2 4 6 1

v
10 v=10 8 6 4 2 ?2 ?4 ?6 ?8 ?10

8

?1

?1

1

x

?10

10

u

?10

函数解析与可导、连续、极限的关系
由解析函数定义可知,函数在区域内解析 与在区域内可导是等价的. 但是,函数在一点处解 析和在一点处可导是不等价的两个概念. 就是说, 函数在一点处可导,不一定在该点处解析. 但函数 在一点解析,则一定在该点可导(而且在该点及 其邻域均可导). 函数在一点处解析比在该点处可 导的要求要严格得多.

区域解析?区域可导 在某点解析?该点可导?该点连续? 该点极限存在,反之均不一定成立。

复变函数在某点解析

某点可导

某点极限存在

某点连续

关于上节课的几个概念

考虑只有一个点的集合E:{A} ? A不是聚点,是孤立点, 是边界点
? ?

所以E是闭集。 闭集包含它的全部聚点,但可能有些集 合没有聚点。(任意有限个点的集合)

?

作业
P26: 1, 2(1)(2),4。 P30: 1(1)(2),4,6,7,8。


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