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2014年最新编辑 利用均值不等式求最值的方法


2014 年最新编辑 均值不等式 利用均值不等式求最值的方法 a ?b 是一个重要的不 ? ab (a ? 0,b ? 0, 当且仅当 a=b 时等号成立) 2 等式,利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目,可以直接利用公式求解。但是有些题 目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑 1. 凑系数 例 1. 当 0 ? x ? 4

时,求y?x(8?2)的最大值。 解析:由 0 ? x ? 4 知, 8 ? 2 x ? 0 ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定 值 , 此 题 为 两 个 式 子 积 的 形 式 , 但 其 和 不 是 定 值 。 注 意 到2 x ? (8 ? 2 x ) ? 8 为 定 值 , 故 只 需 将 上 一 个 系 数 即 可 。 y?x(8?2)凑 将y?x(8?凑 2) 上一个系数即可。 1 1 2x ? 8 ? 2x 2 y ? x (8 ? 2 x ) ? [2 x· (8 ? 2 x )] ? ( ) ?8 2 2 2 当且仅当 2 x ? 8 ? 2 x ,即 x=2 时取等号。 所以当 x=2 时,y?x(8?2的 ) 最大值为 8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均 值不等式求最大值。 2. 凑项 例 2. 已知 x ? 5 1 ,求函数 f ( x ) ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5 解析:由题意知 4 x ? 5 ? 0 ,首先要调整符号,又 (4 x ? 2) · 对 4 x ? 2 进行凑项才能得到定值。 ∵x ? 1 不是定值,故需 4x ? 5 5 ,5 ? 4 x ? 0 4 ∴ f ( x) ? 4 x ? 2 ? 1 1 ? ? (5 ? 4 x ? )?3 4x ? 5 5 ? 4x ? ?2 (5 ? 4 x ) · 当且仅当 5 ? 4 x ? 1 ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 5 ? 4x 1 ,即 x ? 1 时等号成立。 5 ? 4x 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 3. 分离 x 2 ? 7 x ? 10 例 3. 求 y ? ( x≠ ? 1) 的值域。 x ?1 解析:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其 分离。 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? 1) 2 ? 5( x ? 1) ? 4 4 y? ? ? ( x ? 1) ? ?5 x ?1 x ?1 x ?1 当 x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 时 y ? 2 ( x ? 1) · 4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号) 。 x ?1 当 x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 时 y ? 5 ? 2 ( x ? 1) · ∴y? 4 ? 1 (当且仅当 x=-3 时取“=”号) 。 x ?1 x 2 ? 7 x ? 10 ( x≠-1) 的值域为 ( ??,1] ?[9 , ? ?) 。 x ?1 A ? B( A ? 0,m ? 0) ,g(x)恒正 g( x) 评注:分式函数求最值,通常化成 y ? mg ( x ) ? 或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 二、整体代换 例 4. 已知 a ? 0,b ? 0,a ? 2b ? 1 ,求 t ? 解法 1:不妨将 1 1 ? 的最小值。 a b 1 1 ? 乘以 1,而 1 用 a

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