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2012年浙江省宁波市镇海中学高一实验班选拔考试数学卷


2012 年浙江省宁波市镇海中学高一实验班选拔考试数学卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正 确的,请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内. 1. 分) (5 (2001?东城区)在直角坐标系中,若一点的横坐标与纵坐标互为相反数,则该点一定不 在( ) A.直线 y=﹣

x 上 B.抛物线 y=x2 上 C.直线 y=x 上 D.双曲线 xy=1 上 考点:二次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征;反比例函数图象上点的坐标 特征. 分析:根据相反数的概念及各函数图象上点的坐标特点解答即可. 解答:解:A、y=﹣x 即表示 x 与 y 互为相反数,故本选项正确;
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B、例如(﹣1,1) ,就符合抛物线的解析式 y=x ,故本选项正确; C、当该点坐标为(0,0)时,该点就在直线 y=x 上,故本选项正确; D、因为 xy=1,所以 x 和 y 同号,该点不在双曲线 xy=1 上,故本选项错误. 故选 D. 点评:本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标.根据函数不同特点,都对符号作出 判断即可. 2. 分)以等速度行驶的城际列车,若将速度提高 25%,则相同距离的行车时间可节省 k%,那么 (5 k 的值是( ) A.35 B.30 C.25 D.20 考点:分式方程的应用. 分析:设距离为 S,原来速度为 v.分别表示现在速度、时间、原来的时间,根据“时间可节省 k%” 列方程求解. 解答: 解:设距离为 S,原来速度为 v.则原来行车时间为 ;现在速度为(1+25%)v,时间为
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2



根据题意得

=k%.

解得 k=20. 故选 D. 点评:此题考查列分式方程解应用题,难度在设参数,解字母系数的方程.

3. 分)若﹣1<a<0,则 (5 A. 最小,a 最大
3

一定是( 最小,a 最大 C.

) D. 最小, 最大

B.

最小,a 最大

考点:实数大小比较. 分析:在所给范围内选择一个具体的数,代入后比较即可.
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解答:解:∵若﹣1<a<0, ∴a 可取﹣0.001, 3 那么 a =﹣0.000 000 0001, =﹣0.1, =﹣1000, ∴ 最小,a 最大, 故选 A. 点评:考查实数的大小比较;选择一个合适的具体的数,代入所给代数式比较,可以简化比较的步 骤. 4. 分) (5 (2001?黑龙江)如图,将△ ADE 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时针旋转 90°,得△ ABF, 连接 EF 交 AB 于 H,则下列结论错误的是( )
3

A.AE⊥AF

B.EF:AF=

:1

C.AF2=FH?FE

D.FB:FC=HB:EC

考点:旋转的性质;正方形的性质;相似三角形的判定与性质. 分析:由旋转得到△ AFB≌△AED,根据相似三角对应边的比等于相似比,即可求得. 解答:解:由题意知,△ AFB≌△AED ∴AF=AE,∠FAB=∠EAD,∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°. ∴AE⊥AF,所以 A 正确; ∴△AEF 是等腰直角三角形,有 EF:AF= :1,所以 B 正确; ∵HB∥EC, ∴△FBH∽△FCE, ∴FB:FC=HB:EC,所以 D 正确. ∵△AEF 与△ AHF 不相似,
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∴AF =FH?FE 不正确. 故选 C. 点评:本题利用了正方形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质求解. 5. 分)在△ ABC 中,点 D,E 分别在 AB,AC 上,且 CD 与 BE 相交于点 F,已知△ BDF 的面 (5 积为 10,△ BCF 的面积为 20,△ CEF 的面积为 16,则四边形区域 ADFE 的面积等于( ) A.22 B.24 C.36 D.44 考点:三角形的面积. 分析:可设 S△ ADF=m,根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系,进而用 m 表示出 △ AEF,求出 m 的值,进而可得四边形的面积. 解答:解:如图,连 AF,设 S△ ADF=m, ∵S△ BDF:S△ BCF=10:20=1:2=DF:CF, 则有 2m=S△ AEF+S△ EFC, S△ AEF=2m﹣16,
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2

2

而 S△ BFC:S△ EFC=20:16=5:4=BF:EF, 又∵S△ ABF:S△ AEF=BF:EF=5:4, 而 S△ ABF=m+S△ BDF=m+10, ∴S△ ABF:S△ AEF=BF:EF=5:4=(m+10)(2m﹣16) : , 解得 m=20. S△ AEF=2×20﹣16=24, SADEF=S△ AEF+S△ ADF=24+20=44. 故选 D.

点评:本题主要考查了三角形的面积计算问题,能够利用三角形的性质进行一些简单的计算. 6. 分)某医院内科病房有护士 15 人,每 2 人一班,轮流值班,每 8 小时换班一次,某两人同值 (5 一班后,到下次两人再同班,最长需要的天数是( ) A.30 B.35 C.56 D.448 考点:整数问题的综合运用. 专题:数字问题. 分析:此题可运用排列组合解答,15 人,每 2 人一班,轮流值班,则有 C152=105 种组合,一天是 24 小时,8 小时 1 班,24 除以 3=每天 3 个班 再用 105 除以 3=35 天. 解答:解:由已知护士 15 人,每 2 人一班,轮流值班, 2 得:有 C15 =105 种组合, 又已知每 8 小时换班一次,某两人同值一班后,到下次两人再同班, 所以最长需要的天数是 105÷(24÷8)=35(天) . 故选:B. 点评:此题考查的知识点是整数问题的综合运用,关键是先求出 15 人,每 2 人一班有多少种组合, 再由每 8 小时换班一次,某两人同值一班后,到下次两人再同班求出最长需要的天数.
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二、填空题(本题有 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 2 2 7. 分)已知∠A 为锐角且 4sin A﹣4sinAcosA+cos A=0,则 tanA= 0.5 . (5 考点:锐角三角函数的定义;解一元二次方程-配方法. 专题:计算题. 分析:先根据解一元二次方程的配方法,得出 2sinA﹣cosA=0,再根据 tanA 的定义即可求出其值. 2 解答:解:由题意得: (2sinA﹣cosA) =0, 解得:2sinA﹣cosA=0,2sinA=cosA,
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∴tanA=

=

=0.5.

故答案为:0.5. 点评:本题考查了锐角三角函数的定义及利用配方法解一元二次方程的知识,比较简单,注意锐角 三角函数定义的掌握. 8. 分)在某海防观测站的正东方向 12 海浬处有 A、B 两艘船相会之后,A 船以每小时 12 海浬的 (5 速度往南航行,B 船则以每小时 3 海浬的速度向北漂流.则经过 2 小时后,观测站及 A、B 两船 恰成一个直角三角形.
3

考点:勾股定理的应用. 专题:计算题. 分析:根据题意画出图形, 设经过 x 小时后, 观测站及 A、 两船恰成一个直角三角形, Rt△ OBC、 B 在 Rt△ OCA 和 Rt△ ABO 中分别应用勾股定理,即可求出 x 的值. 解答:解:如下图所示, 设经过 x 小时后,观测站及 A、B 两船恰成一个直角三角形, 则 BC=3x,AC=12x,
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在 Rt△ OBC 中,根据勾股定理得:12 +(3x) =OB ; 2 2 2 在 Rt△ OCA 中,根据勾股定理得:12 +(12x) =AO ; 2 2 2 2 在 Rt△ ABO 中,根据勾股定理得:OB +AO =AB =(15x) ; 2 2 2 2 2 ∴12 +(3x) +12 +(12x) =(15x) , 解得:x=2 或﹣2(舍去) . 即经过 2 小时后,观测站及 A、B 两船恰成一个直角三角形. 故答案为:2.

2

2

2

点评:本题考查勾股定理的实际应用,难度适中,先根据题意画出图形是解题关键. 9. 分)如图,在坐标平面上,沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其长、宽分别为 4、2, (5 则通过 A,B,C 三点的拋物线对应的函数关系式是 y=﹣ x ﹣ x+
2



考点:二次函数综合题. 分析:根据矩形的性质,利用矩形边长得出 A,B,C 三点的坐标,再利用待定系数法求出二次函数 解析式即可. 解答:解:∵沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其长、宽分别为 4、2, ∴A 点的坐标为: (﹣4,2) 点的坐标为: ,B (﹣2,6) 点的坐标为: ,C (2,4) , 2 将 A,B,C 代入 y=ax +bx+c,
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4

解得:



∴二次函数解析式为:y=﹣ 故答案为:y=﹣ x ﹣ x+
2

x ﹣ x+ .

2



点评:此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式,根据矩形边长得出 A,B,C 三点坐标是解决问题的关键. 10. 分)桌面上有大小两颗球,相互靠在一起.已知大球的半径为 20cm,小球半径 5cm,则这 (5 两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 20 cm. 考点:相切两圆的性质. 分析:首先根据题意作图,可得:⊙A 与⊙B 外切,⊙A,⊙B 与 CD 分别相切于 C,D,AC=20cm, BD=5cm,然后过点 B 作 BE⊥AC,又由切线的性质,即可得四边形 ECDB 是矩形,则在 Rt△ AEB 中, 即可求得 BE 的长, 即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离 CD 的长. 解答:解:如图,根据题意得:⊙A 与⊙B 外切,⊙A,⊙B 与 CD 分别相切于 C,D,AC=20cm, BD=5cm, ∴AB=25cm,AC⊥CD,BD⊥CD, ∴∠ACD=∠BDC=90°, 过点 B 作 BE⊥AC, ∴∠BEC=90°, ∴四边形 ECDB 是矩形, ∴BE=CD,EC=BD=5cm, ∴AE=AC﹣EC=15cm,
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在 Rt△ AEB 中,BE= ∴CD=20cm. 故答案为:20.

=

=20(cm) ,

点评:此题考查了外切两圆的性质,切线的性质,以及矩形的性质等知识.此题综合性较强,难度 适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法. 11. 分)物质 A 与物质 B 分别由点 A(2,0)同时出发,沿正方形 BCDE 的周界做环绕运动, (5 物质 A 按逆时针方向以 1 单位/秒等速运动,物质 B 按顺时针方向,以 2 单位/秒等速运动,则两个 物质运动后的第 11 次相遇地点的坐标是 (﹣ ,﹣2) .

5

考点:应用类问题. 专题:规律型. 分析:此题利用行程问题中的相遇问题,由于正方形的边长为 4,物质 B 是物质 A 的速度的 2 倍, 求得每一次相遇的地点,找出规律即可解答. 解答:解:正方形的边长为 4,因为物质 B 是物质 A 的速度的 2 倍,时间相同,物质 A 与物质 B 的 路程比为 1:2,由题意知:
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①第一次相遇物质 A 与物质 B 行的路程和为 16×1,物质 A 行的路程为 16× 行的路程为 16× = ,在 BC 边相遇;

=

,物质 B

②第二次相遇物质 A 与物质 B 行的路程和为 16×2,物质 A 行的路程为 16×2× B 行的路程为 16×2× = ,在 DE 边相遇;

=

,物质

③第三次相遇物质 A 与物质 B 行的路程和为 16×3,物质 A 行的路程为 16×3× B 行的路程为 16×3× =32,在 A 点相遇;

=16,物质

④第四次相遇物质 A 与物质 B 行的路程和为 16×4,物质 A 行的路程为 16×4× B 行的路程为 16×4× = ,在 BC 边相遇;

=

,物质

⑤第五次相遇物质 A 与物质 B 行的路程和为 16×5,物质 A 行的路程为 16×5× B 行的路程为 16×5× = ,在 DE 边相遇;

=

,物质

… 综上可得相遇三次一个循环, 因为 11=3×3+2, 即第 11 次相遇和第二次相遇的地点相同, 所以它们第 11 次相遇在边 DE 上, 点的坐标是 (﹣ ,﹣2) . 故答案为: (﹣ ,﹣2) . 点评:此题属于应用类问题,主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用,通过计算发现 规律就可以解决问题,难度较大. 12. 分)设 C1,C2,C3,…为一群圆,其作法如下:C1 是半径为 a 的圆,在 C1 的圆内作四个相 (5 等的圆 C2(如图) ,每个圆 C2 和圆 C1 都内切,且相邻的两个圆 C2 均外切,再在每一个圆 C2 中, 用同样的方法作四个相等的圆 C3,依此类推作出 C4,C5,C6,…,则 (1)圆 C2 的半径长等于 (用 a 表示) ;
6

(2)圆 Ck 的半径为 (

﹣1 )

k﹣1

a (k 为正整数,用 a 表示,不必证明)

考点:相切两圆的性质;勾股定理;正方形的判定与性质. 专题:规律型. 分析:(1)连接 AB、BC、CD、AD,AC,设小圆的半径是 r,根据圆与圆相切,得到 AC=2a﹣2r, 根据正方形的性质和勾股定理得到 AC=2 r,推出方程 2a﹣2r=2 r,求出即可;
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(2)求出 r=(

﹣1)a,r3=(
k﹣1

﹣1)r=

a,r4=

,得出圆 Ck

的半径为 rk=( ﹣1 ) a 即可. 解答:(1)解:连接 AB、BC、CD、AD,AC, 设小圆的半径是 r, 根据圆与圆相切, ∴AC=2a﹣2r, ∴四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=BC,∠B=90°, 由勾股定理得:AC=2 r, ∴2a﹣2r=2 r, 解得:r=( ﹣1)a, 故答案为: ( ﹣1)a. (2)解:由(1)得:r=( 同理圆 C3 的半径是 r3=( C4 的半径是 r4= … 圆 Ck 的半径为 rk=( ﹣1 ) a, k﹣1 故答案为:rk=( ﹣1 ) a.
k﹣1

﹣1)a, ﹣1)r= , a,

点评:本题主要考查对正方形的性质和判定,勾股定理,相切两圆的性质等知识点的理解和掌握, 能根据计算结果得出规律是解此题的关键. 三、解答题(本题有 4 个小题,共 60 分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.

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13. (12 分)如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,且 AD 是圆 O 的直径,DC 与 AB 的延长线相交于 E 点,OC∥AB. (1)求证:AD=AE; (2)若 OC=AB=4,求△ BCE 的面积.

考点:圆周角定理;等边三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质. 分析:(1) 根据 O 为 AD 中点, OC∥AE, 得到 2OC=AE, 再根据 AD 是圆 O 的直径, 得到 2OC=AD, 从而得到 AD=AE; (2)根据平行四边形的性质得到 BC∥AD,再根据 C 为中点,得到 AB=BE=4,从而求得 BC=BE=4,然后连接 BD,得到∠DBE=90°,进而得到 BE=BC=CE=4,然后求面积即可. 解答:(本小题满分 12 分) 解: (1)∵O 为 AD 中点,OC∥AE, ∴2OC=AE, 又∵AD 是圆 O 的直径, ∴2OC=AD, ∴AD=AE.
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(2)由条件得 ABCO 是平行四边形, ∴BC∥AD, 又 C 为中点,∴AB=BE=4, ∵AD=AE, ∴BC=BE=4, 连接 BD,∵点 B 在圆 O 上, ∴∠DBE=90°, ∴CE=BC=4, 即 BE=BC=CE=4, ∴所求面积为 4 .

点评:本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质及判定,解题的关键正确的应用圆周角定理. 14. (14 分)已知抛物线 y=x +2px+2p﹣2 的顶点为 M, (1)求证抛物线与 x 轴必有两个不同交点; (2)设抛物线与 x 轴的交点分别为 A,B,求实数 p 的值使△ ABM 面积达到最小. 考点:抛物线与 x 轴的交点. 专题:探究型. 分析:(1)先判断出△ 的符号即可得出结论; (2)设 A(x1,0) ,B(x2,0) ,利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式,设顶点 M
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2

8

(a,b) ,再把原式化为顶点式的形式,即可得到 b=﹣(p﹣1) ﹣1,根据二次函数的最值及 三角形的面积公式即可解答. 2 2 解答:解: (1)∵△=4p ﹣8p+8=4(p﹣1) +4>0, ∴抛物线与 x 轴必有两个不同交点. (2)设 A(x1,0) ,B(x2,0) , 2 2 2 2 2 则|AB| =|x2﹣x1| =(x1+x2) ﹣4x1x2=4p ﹣8p+8=4(p﹣1) +4, ∴|AB|=2 .
2 2

2

又设顶点 M(a,b) ,由 y=(x+p) ﹣(p﹣1) ﹣1. 2 得 b=﹣(p﹣1) ﹣1. 当 p=1 时,|b|及|AB|均取最小,此时 S△ ABM= |AB||b|取最小值 1. 点评:本题考查的是抛物线与 x 轴的交点问题,涉及到的知识点为:根的判别式、两点间的距离公 式、二次函数的顶点式及三角形的面积,熟知以上知识是解答此题的关键. 15. (16 分)某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表: 胜一场平一场负一场 3 1 0 积分 奖励(元/每人)1500 700 0 当比赛进行到 12 轮结束(每队均要比赛 12 场)时,A 队共积 19 分. (1)试判断 A 队胜、平、负各几场? (2)若每一场每名参赛队员均得出场费 500 元,设 A 队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和 为 W(元) ,试求 W 的最大值. 考点:一次函数的应用;三元一次方程组的应用. 分析:(1)首先假设 A 队胜 x 场,平 y 场,负 z 场,得出 x+y+z=12,3x+y=19,即可得出 y,z 与 x 的关系,再利用 x≥0,y≥0,z≥0,得出即可; (2)根据图表奖金与出场费得出 W=(1500+500)x+(700+500)y+500z,进而得出即可. 解答:解: (1)设 A 队胜 x 场,平 y 场,负 z 场,
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可得: 依题意,知 x≥0,y≥0,z≥0,且 x、y、z 均为整数,



解得: ≤x≤



∴x 可取 4、5、6 ∴A 队胜、平、负的场数有三种情况: 当 x=4 时,y=7,z=1; 当 x=5 时,y=4,z=3; 当 x=6 时,y=1,z=5. (2)∵W=(1500+500)x+(700+500)y+500z=﹣600x+19300
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当 x=4 时,W 最大,W 最大值=﹣600×4+19300=16900(元) 答:W 的最大值为 16900 元. 点评:此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用等知识,利用已知得出 x+y+z=12, 3x+y=19,进而得出 y,z 与 x 的关系是解题关键. 16. (18 分)已知:矩形 ABCD(字母顺序如图)的边长 AB=3,AD=2,将此矩形放在平面直角坐 标系 xOy 中,使 AB 在 x 轴正半轴上,而矩形的其它两个顶点在第一象限,且直线 y= x﹣1 经过这 两个顶点中的一个. (1)求出矩形的顶点 A、B、C、D 的坐标; 2 (2)以 AB 为直径作⊙M,经过 A、B 两点的抛物线,y=ax +bx+c 的顶点是 P 点. ①若点 P 位于⊙M 外侧且在矩形 ABCD 内部,求 a 的取值范围; ②过点 C 作⊙M 的切线交 AD 于 F 点,当 PF∥AB 时,试判断抛物线与 y 轴的交点 Q 是位于直线 y= x﹣1 的上方?还是下方?还是正好落在此直线上?并说明理由.

考点:二次函数综合题. 分析:(1)首先建立平面直角坐标系,由矩形 ABCD 中,AB=3,AD=2,设 A(m,0) (m>0) ,
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则有 B(m+3,0) ;C(m+3,2) ,D(m,2) ;然后若 C 点过 y= x﹣1 与 C 点不过 y= x﹣1 分析,即可求得矩形的顶点 A、B、C、D 的坐标; 2 (2)⊙M 以 AB 为直径,即可求得 M 点的坐标,又由 y=ax +bx+c 过 A(2,0)和 B(5,0) 两点,利用待定系数法即可求得二次函数的图象,然后顶点同时在⊙M 内和在矩形 ABCD 内 部,即可求得 a 的取值范围; ②首先设切线 CF 与⊙M 相切于 Q,交 AD 于 F,设 AF=n,n>0;由 AD、BC、CF 均为⊙M 切线,求得 CF 与 DF 的长;在 Rt△ DCF 中,由勾股定理求得 n 的值,可得 F 的坐标,然后 由当 PF∥AB 时,求得抛物线的解析式与抛物线与 y 轴的交点 Q 的坐标,则可得 Q 在直线 y= x﹣1 下方. 解答:解: (1)如图,建立平面直角坐标系, ∵矩形 ABCD 中,AB=3,AD=2, 设 A(m,0) (m>0) ,则有 B(m+3,0) ;C(m+3,2) ,D(m,2) ; 若 C 点过 y= x﹣1;则 2= (m+3)﹣1, m=﹣1 与 m>0 不合; ∴C 点不过 y= x﹣1;

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若点 D 过 y= x﹣1,则 2= m﹣1,m=2, ∴A(2,0) ,B(5,0) ,C(5,2) ,D(2,2) ; (2)①∵⊙M 以 AB 为直径, ∴M( ,0) , 由于 y=ax +bx+c 过 A(2,0)和 B(5,0)两点, ∴ ∴
2 2

, ,

∴y=ax ﹣7ax+10a 2 2 (也可得:y=a(x﹣2) (x﹣5)=a(x ﹣7x+10)=ax ﹣7ax+10a) ∴y=a(x﹣ ) ﹣ a; ∴抛物线顶点 P( ,﹣ a) ∵顶点同时在⊙M 内和在矩形 ABCD 内部, ∴ <﹣ a<2, ∴﹣ <a<﹣ . ②设切线 CF 与⊙M 相切于 Q,交 AD 于 F,设 AF=n,n>0; ∵AD、BC、CF 均为⊙M 切线, ∴CF=n+2,DF=2﹣n;在 Rt△ DCF 中, ∵DF +DC =CF ; 2 2 2 ∴3 +(2﹣n) =(n+2) , ∴n= , ∴F(2, ) ∴当 PF∥AB 时,P 点纵坐标为 ; ∴﹣ a= , ∴a=﹣ ; ∴抛物线的解析式为:y=﹣ x + x﹣5, 抛物线与 y 轴的交点为 Q(0,﹣5) , 又直线 y= x﹣1 与 y 轴交点(0,﹣1) ; ∴Q 在直线 y= x﹣1 下方.
2 2 2 2 2

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点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,矩形的性质,勾股定理的应用以及点与函数的 关系等知识.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.

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