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三角函数公式大全及推导


锐角三角函数公式 ........................................ 2 倍角公式 ................................................ 3 三倍角公式 .............................................. 3 三倍角公式推导 .......................................... 3 辅助角公式 .............................................. 4 降幂公式 ................................................ 4 推导公式 ................................................ 4 半角公式 ................................................ 7 三角和 .................................................. 7 两角和差 ................................................ 8 和差化积 ................................................ 8 积化和差 ................................................ 9 诱导公式 ................................................ 9 诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限 ................ 10 万能公式 ............................................... 10 其它公式 ............................................... 10

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锐角三角函数公式
sin α =∠α 的对边 / 斜边

cos α =∠α 的邻边 / 斜边

tan α =∠α 的对边 / ∠α 的邻边

cot α =∠α 的邻边 / ∠α 的对边

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倍角公式
Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

(注:SinA^2 是 sinA 的平方 sin2(A) )

三倍角公式
sin3α =4sinα ·sin(π/3+α )sin(π/3-α )

cos3α =4cosα ·cos(π/3+α )cos(π/3-α )

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

三倍角公式推导
sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

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辅助角公式
Asinα +Bcosα =(A^2+B^2)^(1/2)sin(α +t),其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα +Bcosα =(A^2+B^2)^(1/2)cos(α -t),(此括号内不是文章内容, 来自学习方法网,阅读请跳过),tant=A/B

降幂公式
sin^2(α )=(1-cos(2α ))/2=versin(2α )/2

cos^2(α )=(1+cos(2α ))/2=covers(2α )/2

tan^2(α )=(1-cos(2α ))/(1+cos(2α ))

推导公式
tanα +cotα =2/sin2α

tanα -cotα =-2cot2α
4 / 12

1+cos2α =2cos^2α

1-cos2α =2sin^2α

1+sinα =(sinα /2+cosα /2)^2

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

=3sina-4sin³a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa

=4cos³a-3cosa

sin3a=3sina-4sin³a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(√3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
5 / 12

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos³a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(√3/2)²]

=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

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半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

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三角和
sin(α +β +γ )=sinα ·cosβ ·cosγ +cosα ·sinβ ·cosγ +cosα ·cosβ ·sinγ -sinα ·sin β·sinγ

cos(α +β +γ )=cos α ·cosβ ·cosγ -cosα · sinβ ·sin γ -sin α ·cosβ ·sin γ -sin α ·sin β·cosγ

tan( α + β + γ )=(tan α +tan β +tan γ -tan α · tan β · tan γ )/(1-tan α · tan β -tan β·tanγ -tanγ ·tanα )

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两角和差
cos(α +β)=cosα ·cosβ-sinα ·sinβ

cos(α -β)=cosα ·cosβ+sinα ·sinβ

sin(α ±β)=sinα ·cosβ±cosα ·sinβ

tan(α +β)=(tanα +tanβ)/(1-tanα ·tanβ)

tan(α -β)=(tanα -tanβ)/(1+tanα ·tanβ)

和差化积
sinθ +sinφ = 2 sin[(θ +φ )/2] cos[(θ -φ )/2]

sinθ -sinφ = 2 cos[(θ +φ )/2] sin[(θ -φ )/2]

cosθ +cosφ = 2 cos[(θ +φ )/2] cos[(θ -φ )/2]

cosθ -cosφ = -2 sin[(θ +φ )/2] sin[(θ -φ )/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

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积化和差
sinα sinβ = [cos(α -β)-cos(α +β)] /2

cosα cosβ = [cos(α +β)+cos(α -β )]/2

sinα cosβ = [sin(α +β)+sin(α -β)]/2

cosα sinβ = [sin(α +β)-sin(α -β)]/2

诱导公式
sin(-α ) = -sinα

cos(-α ) = cosα

tan (—a)=-tanα

sin(π/2-α ) = cosα

cos(π/2-α ) = sinα

sin(π/2+α ) = cosα

cos(π/2+α ) = -sinα

sin(π-α ) = sinα

cos(π-α ) = -cosα
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sin(π+α ) = -sinα

cos(π+α ) = -cosα

tanA= sinA/cosA

tan(π/2+α )=-cotα

tan(π/2-α )=cotα

tan(π-α )=-tanα

tan(π+α )=tanα

诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象 限 万能公式
sinα =2tan(α /2)/[1+tan^(α /2)]

cosα =[1-tan^(α /2)]/1+tan^(α /2)]

tanα =2tan(α /2)/[1-tan^(α /2)]

其它公式
(1)(sinα )^2+(cosα )^2=1
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(2)1+(tanα )^2=(secα )^2

(3)1+(cotα )^2=(cscα )^2

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα )^2,第二个除(cosα )^2 即可

(4)对于任意非直角三角形,总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:

A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证,当 x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
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(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

(9)sinα +sin(α +2π/n)+sin(α +2π*2/n)+sin(α +2π*3/n)+……+sin[α +2π *(n-1)/n]=0

cosα +cos(α +2π/n)+cos(α +2π*2/n)+cos(α +2π*3/n)+……+cos[α +2π *(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α )+sin^2(α -2π/3)+sin^2(α +2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

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