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5.4同角三角函数的基本关系


5.4同角三角函数的基本关系

一、温故知新
y

问题1. 如图1,设 ? 是一个任意角, 它的终边 与单位圆交于 P( x, y ) , 那么由三角函数的定义可知:

(x,y)

P
1

?
O

M

>A(1,0) x

sin ? ?

y

cos? ?

x

tan? ?

y x ( x ? 0)

图1

; ; 问题2. 有上述结果并结合图形,你有什么新的发现?

角? 的终边与单位圆的交点为P(x , y). 2 2 y 则 r ? y ? x ?1 P 1 sin ? ? y ? cos? ? x y -1 O 1 x tan ? ? x
容易得到
-1

sin 2 ? ? cos2 ? ? y 2 ? x 2 ? r 2 ? 1 y sin ? tan ? ? ? x cos ?

探索新知

在初中,我们学过以下两个三角公式:
sin ? ? cos ? ? 1
2 2

在初中, 公式中的角 为锐角!

sin ? ? tan ? cos ?

对任意角 这些公式 是否成立?

下面我们来推导出这两个公式

动脑思考

探索新知

y O r

r? x ?y
2

2

sin2?

x P(x,y)

y 2 x 2 ? ? ( sin? ) ? ( cos? ) r r ∵ y2 ? x2 ? r2, ∴ sin2? ? cos2? ?1 ??R
cos2?

y sin ? ? ; r x cos ? ? ; r y tan ? ? ; x

y    sin ? y r ? ? ? tan ? x cos ? x r

巩固知识 典型例题
例 1 已知 sin ? ?
4 ,且 ? 是第二象限的角, 求 cos? 和 tan? 5

知道正弦函数值,可以利用平方关系,求出余弦函数值; 然后利用商数关系,求出正切函数值.
解 由 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,可得 cos? ? ? 1 ? sin2 ? . 又因为 ? 是第二象限的角,故 cos ? ? 0 .所以
4 3 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? ; 5 5

开平方运算,
必须要明确 角所在象限

4 sin ? 4 tan ? ? ? 5 =? . cos ? ? 3 3 5

4 已知 sin ? ? , 且? 是第二象限的角, 5 求角? 的余弦和正切值.

解: 由 sin2?+ cos2?=1,得 cos? ? ? 1 ? sin 2 ? 因为?是第二象限角,所以 cos ? ? 0 sin ? 4 3 从而 cos ? ? ? , tan ? ? ?? . cos ? 3 5 你试试 已知 sin ? ? ? 3 ,且? 是第四象限的角, 5 求角? 的余弦和正切值.

归纳小结 自我反思

本次课学习 哪些内容?

你会解决 哪些新问题?

体会到哪些 学习方法?

再 见


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