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2014高考理科数学全国二卷试题及答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标全国Ⅱ卷)
第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,学科网只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 M={0,1,2} ,N= ?x | x2 ? 3x ? 2≤0? ,则 M ? N =( A. {1} B. {2} C. {0,1} ) D. {1,2} ) A D

2.设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? ( A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 3.设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a ? b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=(

A

2

) D. 1

B

A. 5

B.

5

C. 2

5.某地区空气质量监测资料表明, 一天的空气质量为优良的概率是 0.75, 连续两天为优良的概率是 0.6, 已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是 某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛 坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A.

17 27

B. 5

9

C. 10

27

D.

1 3

C ) D ) D

7.执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

? x ? y ? 7≤0 ? 9.设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 5≥0 ?
A. 10 B. 8 C. 3 D. 2 10.设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为( ) A.

) B





D

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

D. 9

4

11.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别 是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成 的角的余弦值为( ) C A. 1

10

B. 2

5

C.

30 10

D.

2 2

1

2 12.设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ?? ? ? m ,则 m 的取值范围 m 2

是( A.

? ??, ?6? ? ? 6, ??



C

B.

? ??, ?4? ? ? 4, ??

C.

? ??, ?2? ? ? 2, ??

D. ? ??, ?1? ? ? 4, ? ?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,学科网每个试题考生必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题 13. ? x ? a ? 的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案)
10

14.函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________.

1 2
1

15.已知偶函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递减, f ? 2? ? 0 .若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是____.(-1,3) 16.设点 M ( x0 ,1) , 若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N, 使得∠OMN=45°, 则 x0 的取值范围是____.[-1,1] 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分 18. 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

?

2

?

a1

a2

an

2

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

2

19. (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份 1 2 3 4 5 6 7 年份代号 t 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 人均纯收入 y (Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况, 并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: b ?
?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

2

? ? ? y ? bt ,a

20. (本小题满分 12 分)
2 y2 设 F1 , F2 分别是椭圆 x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点, M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, 直线 MF 1

a

b

与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a,b.

3

21. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大 值; (Ⅲ)已知 1.4142 ?

2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如图,P 是 O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与 O 相 交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交 O 于点 E.证明: (Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ)AD ? DE=2 PB 2 23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系, 半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,

? ?. ? ?? ?0, ?
? 2?
(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程, 确定 D 的坐标. 24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0)

a (Ⅰ)证明: f ? x ? ≥2; (Ⅱ)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围.

4


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