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3.1《平面向量基本定理》教案(新人教A版必修4)


第二章 平面向量
本章内容介绍 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的, 是近代数学中重要和基本的数学概念 之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平 移) 、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而 把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富

的实际背景.在本章中, 学生将了解向量丰富的实际背景, 理解平面向量及其运算的意义, 学习平面向量的线性运算、 平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量 语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念,并说明了向量与数量的区别,然后介绍 了向量的一些基本概念. (让学生对整章有个初步的、全面的了解.)

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 第 4 课时 §2.3.1 平面向量基本定理
教学目的: (1)了解平面向量基本定理; (2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解 决实际问题的重要思想方法; (3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点:平面向量基本定理. 教学难点:平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程: 一、 复习引入:

1.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a

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(1)|λ a |=|λ || a |; (2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ a = 0 2.运算定律 结合律:λ (μ a )=(λ μ) a ;分配律:(λ +μ) a =λ a +μ a , λ ( a + b )=λ a +λ b

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3. 向量共线定理

向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ ,使

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? ? b =λ a .
二、讲解新课: 平面向量基本定理:如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 探究: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e 2 唯一确定的数量 三、讲解范例: 例 1 已知向量 e1 , e 2 例 2 如图 求作向量?2.5 e1 +3 e 2 .

?

2使

? a =λ 1 e1 +λ 2 e 2 .

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ABCD 的两条对角线交于点 M,且 AB = a ,

?

? ? ? AD = b ,用 a , b 表示 MA , MB , MC 和 MD
例 3 已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任

意一点,求证: OA + OB + OC + OD =4 OE 例4 (1) 如图,OA ,OB 不共线,AP =t AB (t?R)用 OA ,

OB 表示 OP .

OB (2)设 OA、 不共线,点 P 在 O、A、B 所在的平面内,且
??? ? ??? ??? ? ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB(t ? R) .求证:A、B、P 三点共线.
例 5 已知 a=2e1-3e2,b= 2e1+3e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问是否存在这样的 实数 ?、? , 使d ? ? a ? ? b 与 c 共线. 四、课堂练习: 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( )

??? ?? ? ?

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A.e1、e2 一定平行 B.e1、e2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知矢量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

3.已知向量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 .

4.已知 a、b 不共线,且 c =λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若 c 与 b 共线,则 λ1=

5.已知 λ1>0, 2>0, 1、 2 是一组基底, a =λ1e1+λ2e2, a 与 e1_____, 与 e2_________(填 λ e e 且 则 a 共线或不共线). 五、小结(略) 六、课后作业(略) : 七、板书设计(略) 八、课后记:

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