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2015-2016学年广东省广州六中、广雅中学、执信中学等六校高三(上)第一次联考数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年广东省广州六中、 广雅中学、 执信中学等六校高三 (上) 第一次联考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={2,3,4},B={1,4},则(?UA)∪B 为( A.{1} B.{1,5} C.

{1,4} D.{1,4,5}
2



2.若 是 z 的共轭复数,且满足 ?(1﹣i) =4+2i,则 z=( A.﹣1+2i B.﹣1﹣2i C.1+2i D.1﹣2i



3.已知 p、q 是简单命题,则“p∧q 是真命题”是“≦p 是假命题”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件



4.设等比数列{an}的公比 q= ,前 n 项和为 Sn,则 A.5 B.7 C.8 D.15

=(



5.下列四个函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上为增函数的是( A.y=x ﹣2x B.y=x C.y=ln
2 3



D.y=|x|+1

6. 已知双曲线的渐近线方程为 y=± A. ﹣ =1 B. ﹣ =1

x, 焦点坐标为 (﹣ C. ﹣ =1 D.

, 0) , ( ﹣

, 0) , 则双曲线方程为 ( =1



7.函数 f(x)=sin(ωx+ 的单调减区间( A.[﹣ ,0] ) B.[0,

) (ω>0)相邻两个对称中心的距离为

,以下哪个区间是函数 f(x)

] C.[



] D.[



]

8.曲线 y=lnx﹣2x 在点(1,﹣2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是( A. B. C.1 D.2



9. 在边长为 2 的正方体内部随机取一点, 则该点到正方体 8 个顶点得距离都不小于 1 得概率为 (



A.

B.

C.

D.1﹣

10.一个空间几何体的三视图如图,其中正视图是边长为 2 的正三角形,俯视图是边长分别为 1,2 的矩形,则该几何体的侧面积为( )

A.

+4

B.

+6

C.2

+4

D.2

+6 )

11.执行如图所示的程序框图若输出的 n=9,则输入的整数 p 的最小值是(

A.50

B.77

C.78
2

D.306

12.已知抛物线 y =x 上一定点 B(1,1)和两个动点 P、Q,当 P 在抛物线上运动时,BP⊥PQ,则 Q 点的纵坐标的取值范围是 .

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.已知平面向量 =(2,1) , =(m,2) ,且 ∥ ,则 3 +2 = .

14.已知等差数列{an}满足 a1+a5+a9=24,则 log2(2a6﹣a7)=



15.设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最小值为



16.已知定义在 R 上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2) ,且当 x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减, 给出以下四个命题: ①f(2)=0; ②x=﹣4 为函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[8,10]单调递增; ④若方程 f(x)=m 在[﹣6,﹣2]上的两根为 x1,x2,则 x1+x2=﹣8. 上述命题中所有正确命题的序号为 .

三、解答题:第 17 到 21 题为必做题,从第 22、23、24 三个小题中选做一题,满分 60 分. 17.已知△ ABC 的三内角 A,B,C 所对三边分别为 a,b,c,且 sin(A﹣ (1)求 tanA 的值; (2)若△ ABC 的面积 S=24,b=10,求 a 的值. 18.2015 年 7 月 16 日,电影《捉妖记》上映,上映至今全国累计票房已超过 20 亿,某影院为了解 观看此部电影的观众年龄的情况,在某场次的 100 名观众中随机调查了 20 名观众,已知抽到的观众 年龄可分成 5 组:[20,25) ,[25,30) ,[30,35) ,[35,40) ,[40,45) ,根据调查结果得出年龄情 况残缺的频率分布直方图如图所示. (1)根据已知条件,补充画完整频率分布直方图,并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均 数; (2)现在从年龄属于[25,30)和[40,45)的两组中随机抽取 2 人,求他们属于同一年龄组的概率. )= .

19.如图所示的长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,O 为 AC 与 BD 的 交点,BB1= ,M 是线段 B1D1 的中点. (1)求证:BM∥平面 D1AC; (2)求三棱锥 D1﹣AB1C 的体积.

20.已知函数 f(x)=

经过点(0,3) ,且在该点处的切线与 x 轴平行

(1)求 a,b 的值; (2)若 x∈(t,t+2) ,其中 t>﹣2,讨论函数 y=f(x)的单调区间.

21.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半

径的圆与直线 x﹣y+ =0 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设点 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另 一点 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点.

请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分, 作答时请写清题号. 选 修 4-1:几何证明选讲 22.已知△ ABC 中,AB=AC,D 是△ ABC 外接圆劣弧 E. (1)求证:AD 的延长线平分∠CDE; (2)若∠BAC=30°,△ ABC 中 BC 边上的高为 1+ ,求△ ABC 外接圆的面积. 上的点(不与点 A,C 重合) ,延长 BD 至

选修 4-4:坐标系与参数方程

23. (2015 秋?广州校级月考)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半 轴重合,且长度单位相同.直线 l 的极坐标方程为:ρ= 参数 α∈[0,2π]. (1)求点 P 轨迹的直角坐标方程; (2)求点 P 到直线 l 距离的最大值. ,点 P(2cosα,2sinα+2) ,

选修 4-5:不等式选讲 24. (2014 秋?临川区校级期中)设函数 f(x)=|x﹣a|+3x,其中 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤﹣1},求 a 的值.

2015-2016 学年广东省广州六中、广雅中学、执信中学等六校 高三(上)第一次联考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={2,3,4},B={1,4},则(?UA)∪B 为( A.{1} B.{1,5} C.{1,4} D.{1,4,5} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. )

【分析】由全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={2,3,4}先求出 CUA={1,5},再由 B={1,4},能 求出(CUA)∪B. 【解答】解:∵全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={2,3,4}, ∴CUA={1,5}, ∵B={1,4}, ∴(CUA)∪B={1,4,5}. 故选:D. 【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
2

2.若 是 z 的共轭复数,且满足 ?(1﹣i) =4+2i,则 z=( A.﹣1+2i B.﹣1﹣2i C.1+2i D.1﹣2i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可. 【解答】解: ?(1﹣i) =4+2i,
2



可得 ?(﹣2i)=4+2i, 可得 =(2+i)i=﹣1+2i. z=﹣1﹣2i. 故选:B. 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,考查计算能力. 3.已知 p、q 是简单命题,则“p∧q 是真命题”是“≦p 是假命题”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】命题的否定;复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】规律型.

【分析】由 p∧q 为真命题,知 p 和 q 或者同时都是真命题,由?p 是假命题,知 p 是真命题.由此可 知“p∧q 是真命题”是“≦p 是假命题”的充分不必要条件. 【解答】解:∵p∧q 为真命题, ∴p 和 q 或者同时都是真命题, 由?p 是假命题,知 p 是真命题. ∴“p∧q 是真命题”推出“≦p 是假命题”, 反之不能推出. 则“p∧q 是真命题”是“≦p 是假命题”的充分而不必要条件. 故选 A. 【点评】本题考查复合命题的真假判断,解题时要认真审题,仔细求解.

4.设等比数列{an}的公比 q= ,前 n 项和为 Sn,则

=(



A.5 B.7 C.8 D.15 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用等比数列的通项公式与前 n 项和公式即可得出.

【解答】解:S3=

=

,a3=

=





=7.

故选:B. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. 5.下列四个函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上为增函数的是( A.y=x ﹣2x B.y=x C.y=ln
2 3



D.y=|x|+1

【考点】函数单调性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】逐一分析四个函数的奇偶性,单调性,判断是否满足既是偶函数又在(0,+∞)上为增函 数,可得答案. 2 【解答】解:函数 y=x ﹣2x 为非奇非偶函数; 3 函数 y=x 为奇函数; 函数 y=ln 的定义域为(﹣1,1) ,

函数 y=|x|+1 既是偶函数又在(0,+∞)上为增函数, 故选:D 【点评】本题考查的知识点是函数的单调性,函数的奇偶性,熟练掌握各种基本初等函数的图象和 性质是解答的关键.

6. 已知双曲线的渐近线方程为 y=± A. ﹣ =1 B. ﹣ =1

x, 焦点坐标为 (﹣ C. ﹣ =1 D.

, 0) , ( ﹣

, 0) , 则双曲线方程为 ( =1



【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设双曲线的方程是 ,即 .又焦点坐标为(﹣ ,0) , ( ,0) ,

故 λ+2λ=6,由此可知 λ=2,代入可得答案. 【解答】解:∵双曲线的渐近线方程为 y=± ∴设双曲线的方程是 又焦点坐标为(﹣ ,0) , ( 故 λ+2λ=6,∴λ=2, ∴双曲线方程为 ﹣ =1. ,即 ,0) ,

x, .

故选:C. 【点评】本题考查双曲线的性质和应用,正确设出方程是关键.

7.函数 f(x)=sin(ωx+ 的单调减区间( A.[﹣ ,0] ) B.[0,

) (ω>0)相邻两个对称中心的距离为

,以下哪个区间是函数 f(x)

] C.[



] D.[



]

【考点】正弦函数的对称性. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由周期求得 ω,再根据正弦函数的减区间求得函数 f(x)的单调减区间. 【解答】解:根据 f(x)=sin(ωx+ 可得 = 令 2kπ+ = ) (ω>0)相邻两个对称中心的距离为 ) . ≤x≤kπ+ ,k∈Z, ,

,∴ω=2,f(x)=sin(2x+ ≤2kπ+ ,求得 kπ+

≤2x+

故选:C. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质,正弦函数的减区间,属于基础题. 8.曲线 y=lnx﹣2x 在点(1,﹣2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是( A. B. C.1 D.2 )

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】计算题;导数的概念及应用. 【分析】根据求导公式求出函数的导数,把 x=1 代入求出切线的斜率,代入点斜式方程并化简,分 别令 x=0 和 y=0 求出切线与坐标轴的交点坐标,再代入面积公式求解. 【解答】解:由题意得 y′= ﹣2,则在点 M(1,﹣2)处的切线斜率 k=﹣1, 故切线方程为:y+2=﹣(x﹣1) ,即 y=﹣x﹣1, 令 x=0 得,y=﹣1;令 y=0 得,x=﹣1, ∴切线与坐标轴围成三角形的面积 S= = ,

故选 A. 【点评】试题主要考查导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式,考查考生的计算能力. 9. 在边长为 2 的正方体内部随机取一点, 则该点到正方体 8 个顶点得距离都不小于 1 得概率为 ( A. B. C. D.1﹣ )

【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】根据题意,求出满足条件的点 P 所组成的几何图形的体积是多少, 再将求得的体积与整个正方体的体积求比值即可. 【解答】解:符合条件的点 P 落在棱长为 2 的正方体内, 且以正方体的每一个顶点为球心,半径为 1 的 球体外; 根据几何概型的概率计算公式得, P= =1﹣ .

故选:D. 【点评】本题考查了几何概型中的体积类型的应用问题,基本方法是:分别求得构成事件 A 的区域 体积和试验的全部结果所构成的区域体积,两者求比值,即得概率. 10.一个空间几何体的三视图如图,其中正视图是边长为 2 的正三角形,俯视图是边长分别为 1,2 的矩形,则该几何体的侧面积为( )

A. +4 B. +6 C.2 +4 D.2 +6 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥,计算出各个侧面的面积,相加可得答案. 【解答】解:由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥,

其直观图如下图所示:

则△ SAD 是边长为 2 的正三角形,其面积为: , ∵AB⊥平面 SAD,可得:△ SAB 是两直角边长为 1 和 2 的直角三角形, 故△ SAB 的面积为 1, 同理,△ SCD 的面积也为 1, 又由△ SAD 的高 SO= ,OE=AB=1,可得 SE=2, 故△ SBC 是底边长 2,高为 2 的等腰三角形,故△ SBC 的面积为 2, 综上所述,几何体的侧面积为 +4, 故选:A 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状. 11.执行如图所示的程序框图若输出的 n=9,则输入的整数 p 的最小值是( )

A.50 B.77 C.78 D.306 【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】模拟程序框图的运行过程,即可得出输入的 P 的最小值. 【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下; n=1,S=0,输入 P,S=0+2=2,n=2,S≤P, 2 S=2+2 =6,n=3,S≤P, 3 S=﹣6+2 =2,n=4,S≤P, 4 S=2+2 =18,n=5,S≤P,

S=﹣18+2 =14,n=6,S≤P, 6 S=14+2 =78,n=7,S≤P, 7 S=﹣78+2 =50,n=8,S≤P, 8 S=50+2 =306,n=9,S>P, 终止循环,输出 n=9; 所以 P 的最小值为 78. 故选:C. 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结 论,是基础题目. 12.已知抛物线 y =x 上一定点 B(1,1)和两个动点 P、Q,当 P 在抛物线上运动时,BP⊥PQ,则 Q 点的纵坐标的取值范围是 (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) . 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先假设 P,Q 的坐标,利用 BP⊥PQ,可得 别式大于等于 0,即可求得 Q 点的纵坐标的取值范围. 【解答】解:设 P(t ,t) ,Q(s ,s) ∵BP⊥PQ,∴
2 2 2 2

5

=0,从而可得方程,再利用方程根的判

=0,
2 2

即(t ﹣1,t﹣1)?(s ﹣t ,s﹣t) )=0 2 即 t +(s+1)t+s+1=0 ∵t∈R,P,Q 是抛物线上两个不同的点 2 ∴必须有△ =(s+1) ﹣4(s+1)≥0. 2 即 s ﹣2s﹣3≥0, 解得 s≥3 或 s≤﹣1. ∴Q 点的纵坐标的取值范围是(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) . 【点评】本题重点考考查取值范围问题,解题的关键是利用 别式大于等于 0 进行求解. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.已知平面向量 =(2,1) , =(m,2) ,且 ∥ ,则 3 +2 = (14,7) . 【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【专题】计算题;平面向量及应用. 【分析】根据平面向量平行的坐标表示,求出 m 的值,再计算 3 +2 即可. 【解答】解:∵向量 =(2,1) , =(m,2) ,且 ∥ , ∴1?m﹣2×2=0, 解得 m=4, ∴ =(4,2) ; =0 构建方程,再利用方程根的判

∴3 +2 =(6,3)+(8,4)=(14,7) . 故答案为: (14,7) . 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与向量平行和线性运算问题,是基础题目. 14.已知等差数列{an}满足 a1+a5+a9=24,则 log2(2a6﹣a7)= 【考点】等差数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 3 .

【分析】由等差数列的性质结合已知条件求得 2a6﹣a7=a5=8,由此利用对数性质能求出 log2(2a6﹣ a7)的值. 【解答】解:∵等差数列{an}满足 a1+a5+a9=24, ∴a5=8, ∴2a6﹣a7=2(a1+5d)﹣(a1+6d)=a1+4d=a5=8, ∴log2(2a6﹣a7)=log28=3. 故答案为:3. 【点评】本题考查对数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.

15.设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最小值为 4 .

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方 程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得 A(1,1) ,

化目标函数 z=3x+y 为 y=﹣3x+z, 由图可知,当直线 y=﹣3x+z 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最小值为 3×1+1=4.

故答案为:4. 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 16.已知定义在 R 上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2) ,且当 x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减, 给出以下四个命题: ①f(2)=0; ②x=﹣4 为函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[8,10]单调递增; ④若方程 f(x)=m 在[﹣6,﹣2]上的两根为 x1,x2,则 x1+x2=﹣8. 上述命题中所有正确命题的序号为 ①②④ . 【考点】命题的真假判断与应用;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质. 【专题】计算题. 【分析】根据 f(x)是定义在 R 上的偶函数,及在 f(x+4)=f(x)+f(2) ,中令 x=﹣2 可得 f(﹣ 2)=f(2)=0,从而有 f(x+4)=f(x) ,故得函数 f(x)是周期为 4 的周期函数,再结合 y=f(x) 单调递减、奇偶性画出函数 f(x)的简图,最后利用从图中可以得出正确的结论. 【解答】解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , 可得 f(﹣2)=f(2) , 在 f(x+4)=f(x)+f(2) ,中令 x=﹣2 得 f(2)=f(﹣2)+f(2) , ∴f(﹣2)=f(2)=0, ∴f(x+4)=f(x) ,∴函数 f(x)是周期为 4 的周期函数,又当 x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减, 结合函数的奇偶性画出函数 f(x)的简图,如图所示. 从图中可以得出: ②x=﹣4 为函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[8,10]单调递减; ④若方程 f(x)=m 在[﹣6,﹣2]上的两根为 x1,x2,则 x1+x2=﹣8. 故答案为:①②④.

【点评】本题考查函数奇偶性的性质,函数奇偶性的判断,考查学生的综合分析与转化能力,属于 难题. 三、解答题:第 17 到 21 题为必做题,从第 22、23、24 三个小题中选做一题,满分 60 分. 17.已知△ ABC 的三内角 A,B,C 所对三边分别为 a,b,c,且 sin(A﹣ (1)求 tanA 的值; )= .

(2)若△ ABC 的面积 S=24,b=10,求 a 的值. 【考点】解三角形. 【专题】综合题;解三角形. 【分析】 (1)利用差角的正弦公式,即可求 tanA 的值; (2)若△ ABC 的面积 S=24,b=10,可求 c,利用余弦定理求 a 的值. 【解答】解: (1)∵sin(A﹣ ∴ (sinA﹣cosA)= , )= ,

∴sinA﹣cosA= , ∴sinAcosA= ,

∴sinA= ,cosA= , ∴tanA= ; (2)∵△ABC 的面积 S=24,b=10, ∴24= ∴c=6, ∴a= =8. ,

【点评】本题考查差角的正弦公式、三角形的面积公式,考查余弦定理的运用,考查学生分析解决 问题的能力,属于中档题. 18.2015 年 7 月 16 日,电影《捉妖记》上映,上映至今全国累计票房已超过 20 亿,某影院为了解 观看此部电影的观众年龄的情况,在某场次的 100 名观众中随机调查了 20 名观众,已知抽到的观众 年龄可分成 5 组:[20,25) ,[25,30) ,[30,35) ,[35,40) ,[40,45) ,根据调查结果得出年龄情 况残缺的频率分布直方图如图所示. (1)根据已知条件,补充画完整频率分布直方图,并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均 数; (2)现在从年龄属于[25,30)和[40,45)的两组中随机抽取 2 人,求他们属于同一年龄组的概率.

【考点】频率分布直方图.

【专题】应用题;概率与统计. 【分析】 (1)根据频率分布直方图,利用频率= ,计算出对应的频率,补充完整频率分布

直方图,再计算观看此部电影的观众年龄平均数即可; (2)求出年龄在[25,30)和[40,45)内的频率与频数,用列举法求出对应的基本事件数, 计算概率即可. 【解答】解: (1)根据频率分布直方图,年龄在[25,30)的频率为 1﹣(0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.2, ∴年龄在[25,30)的小矩形的高为 =0.04,

补充画完整频率分布直方图如图所示, ∴估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为 22.5×0.01×5+27.5×0.04×5+32.5×0.07×5+37.5×0.06×5+42.5×0.02×5=33.5; (2)年龄在[25,30)内的频率为 0.2,对应的人数为 20×0.2=4,记为 a、b、c、d; 年龄在[40,45)内的频率为 0.02×5=0.1,对应的人数为 20×0.1=2,记为 E、F; 现从这 6 人中随机抽取 2 人,基本事件是 ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF,共 15 种, 属于同一年龄组的基本事件是 ab、ac、ad、bc、bd、cd、EF,共 7 种, 所以,所求的概率是 P= .

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了用列举法求古典概型的概率问题,是基 础题目. 19.如图所示的长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,O 为 AC 与 BD 的 交点,BB1= ,M 是线段 B1D1 的中点. (1)求证:BM∥平面 D1AC; (2)求三棱锥 D1﹣AB1C 的体积.

【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (Ⅰ) 由四边形 D1OBM 是平行四边形得 D1O∥BM, 由线面平行的判定得到 BM∥平面 D1AC (Ⅱ)由 OB1⊥D1O,AC⊥D1O,得到 D1O⊥平面 AB1C,确定 D1O 为三棱锥 D1﹣AB1C 的高,同 时确定△ AB1C 为底. 【解答】解: (Ⅰ)连接 D1O,如图, ∵O、M 分别是 BD、B1D1 的中点,BD1D1B 是矩形, ∴四边形 D1OBM 是平行四边形, ∴D1O∥BM. (2 分) ∵D1O?平面 D1AC,BM?平面 D1AC,∴BM∥平面 D1AC. (4 分) (Ⅱ)连接 OB1,∵正方形 ABCD 的边长为 2, ∴
2 2



,OB1=2,D1O=2,
2

则 OB1 +D1O =B1D1 ,∴OB1⊥D1O. (6 分) 又∵在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AC⊥BD,AC⊥D1D,且 BD∩D1D=D, ∴AC⊥平面 BDD1B1,又 D1O?平面 BDD1B1, ∴AC⊥D1O,又 AC∩OB1=O, (10 分) ∴D1O⊥平面 AB1C,即 D1O 为三棱锥 D1﹣AB1C 的高. (12 分) ∵ ∴ ,D1O=2 .14(5 分)

【点评】本题主要考查平面图形中的线线关系,培养学生平面与空间的转化能力,熟练应用线面平 行和线面垂直的判定定理.

20.已知函数 f(x)=

经过点(0,3) ,且在该点处的切线与 x 轴平行

(1)求 a,b 的值; (2)若 x∈(t,t+2) ,其中 t>﹣2,讨论函数 y=f(x)的单调区间. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【专题】分类讨论;导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】 (1)由 f(0)=3,可得 b=3,求出导数,求得切线的斜率,可得 a=﹣3;

(2)求出导数,对 t 讨论,①当﹣2<t<﹣1 时,②当﹣1≤t<0 时,③当 t≥0 时,令导数大于 0, 得增区间;由导数小于 0,可得减区间. 【解答】解: (1)∵ 经过点(0,3) ,

∴b=3,∴





由条件

,∴a=﹣3;

(2)由(1)

,导函数



①当﹣2<t<﹣1 时,x∈(t,﹣1) ,f′(x)<0,f(x)递减; x∈(﹣1,0) ,f′(x)>0,f(x)递增; x∈(0,t+2) ,f′(x)<0,f(x)递减, ②当﹣1≤t<0 时,x∈(t,0) ,f′(x)>0,f(x)递增; x∈(0,t+2) ,f′(x)<0,f(x)递减; ③当 t≥0 时,x∈(t,t+2) ,f′(x)<0,f(x)递减. 综上:①当﹣2<t<﹣1 时,f(x)递减区间为(t,﹣1)和(0,t+2) ,递增区间为(﹣1,0) ; ②当﹣1≤t<0 时,f(x)递减区间为(0,t+2) ,f(x)递增区间为(t,0) ; ③当 t≥0 时,f(x)递减区间为(t,t+2) . 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间,注意运用分类讨论的思想方法,考查运 算能力,属于中档题.

21.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半

径的圆与直线 x﹣y+ =0 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设点 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另 一点 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】计算题;分类讨论;方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)利用椭圆的离心率 e,以及圆心(0,0)到直线 x﹣y+ 的距离求出 a,b,即可求

解椭圆的方程. (2)设直线 PB 的方程为 y=k(x﹣4)联立

,设点 B(x1,y1) ,E(x2,

y2) ,通过韦达定理求出直线方程,即可求出定点坐标. 【解答】解: (1)由题意知 e= = ,∴ = ,即 a =
2

…(2 分)

又∵圆心(0,0)到直线 x﹣y+

的距离为

,∴b=



∴a=2,故椭圆的方程为:

…(4 分)

(2)由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y=k(x﹣4)
2 2 2 2

联立

,得(4k +3)x ﹣32k x+64k ﹣12=0①…(6 分)

设点 B(x1,y1) ,E(x2,y2) ,则 A(x1,﹣y1) ,直线 AE 的方程为

令 y=0,得 x=

,…(8 分)

再将 y1=k(x1﹣4) ,y2=k(x2﹣4)代入 整理得 x= ②…(10 分)

由①得 x1+x2=

,x1x2=



代入②整理得 x=1, 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点(1,0)…(12 分) . 【点评】本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用,椭圆的标准方程的求法,考查分析问题解决问 题的能力. 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分, 作答时请写清题号. 选 修 4-1:几何证明选讲 22.已知△ ABC 中,AB=AC,D 是△ ABC 外接圆劣弧 E. (1)求证:AD 的延长线平分∠CDE; (2)若∠BAC=30°,△ ABC 中 BC 边上的高为 1+ ,求△ ABC 外接圆的面积. 上的点(不与点 A,C 重合) ,延长 BD 至

【考点】与圆有关的比例线段.

【专题】选作题;推理和证明. 【分析】 (1)要证明 AD 的延长线平分∠CDE,即证明∠EDF=∠CDF,转化为证明∠ADB=∠CDF, 再根据 A,B,C,D 四点共圆的性质,和等腰三角形角之间的关系即可得到. (2)求△ ABC 外接圆的面积.只需解出圆半径,故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心, 再连接 OC,根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径,可得到外接圆面积. 【解答】 (1)证明:如图,设 F 为 AD 延长线上一点,A? B? C? D 四点共圆. ∴∠CDF=∠ABC, 又 AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF 对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF, 即 AD 的延长线平分∠CDE,…(4 分) (2)解:设 O 为外接圆圆心,连接 AO 比延长交 BC 于 H,交⊙O 于点 M,连接 OC, ∵AB=AC, ∴ = ,

∴AH⊥BC. ∴∠OAC=∠OAB= ∠BAC= ×30°=15°, ∴∠COH=2∠OAC=30°, 设圆半径为 r, 则 OH=OC?cos30°= r, ,

∵△ABC 中 BC 边上的高为 1+ ∴AH=OA+OH=r+ r=1+ ,

解得:r=1, ∴△ABC 的外接圆的面积为:π(10 分)

【点评】此题主要考查圆内接多边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形的外接圆 的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想与方程思想的应用. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (2015 秋?广州校级月考)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半 轴重合,且长度单位相同.直线 l 的极坐标方程为:ρ= 参数 α∈[0,2π]. ,点 P(2cosα,2sinα+2) ,

(1)求点 P 轨迹的直角坐标方程; (2)求点 P 到直线 l 距离的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;轨迹方程. 【专题】计算题;转化思想;综合法;坐标系和参数方程. 【分析】 (1)设点 P(x,y) ,则 ,由此能求出点 P 的轨迹的直角坐标方程.

(2)由已知得 .从而直线 l 的直角坐标方程为 ,求出圆 心到直线的距离,得点 P 所在的圆与直线 l 相离,由此能求出点 P 到直线 l 距离的最大值. 【解答】解: (1)设点 P(x,y) ,∵P(2cosα,2sinα+2) , ∴ ,且参数 α∈[0,2π],
2 2

所以点 P 的轨迹的直角坐标方程为 x +(y﹣2) =4.…(3 分) (2)∵ρ= ,∴ =5,



,即



∴直线 l 的直角坐标方程为 .…(6 分) 2 2 由(1)知点 P 的轨迹方程为 x +(y﹣2) =4,是圆心为(0,2) ,半径为 2 的圆. 圆心到直线的距离 d= =4,

点 P 所在的圆与直线 l 相离,…(9 分) ∴点 P 到直线 l 距离的最大值 4+2=6.…(10 分) 【点评】本题考查极坐标方程与普通方程的互化,考查点到直线距离的最大值的求法,灵活利用极 坐标方程与普通方程的互化公式是解决问题的关键. 选修 4-5:不等式选讲 24. (2014 秋?临川区校级期中)设函数 f(x)=|x﹣a|+3x,其中 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤﹣1},求 a 的值. 【考点】绝对值不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】 (1)将 f(x)>3x+2 化简,解绝对值不等式; (2)解不等式 f(x)≤0 用 a 表示,同一个不等式的解集相等,得到 a. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=|x﹣1|+3x,>3x+2,可化为|x﹣1|>2. 由此可得 x>3 或 x<﹣1. 故不等式 f(x)>3x+2 的解集为{x|x>3 或 x<﹣1}. (Ⅱ) 由 f(x)≤0 得:|x﹣a|+3x≤0 此不等式化为不等式组: 或 .

即 a≤x≤ ,或 x≤﹣ ,因为 a>0,所以不等式组的解集为{x|x≤﹣ },由题设可得﹣ =﹣1,故 a=2

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及参数的求解.


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