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1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)


1.5 函数

y ? A sin(?x ? ?)

的图象(一)

在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移 y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系 等都是形如y= Asin(ωx+ ?) 的函数(其中A,ω,

? 都是常数).

下图是某次实验测得的交流电的电流y

随时间x 变化的图象.
y
6
4 2

y
6 4 2

o
-2 -4 -6

2

4

6

8

x

o
-2 -4 -6

0.01

0.02

0.03

0.04

x

思考:交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有

何关系?

答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很 相似,从解析式来看, 函数y = sinx就是函数 y = Asin(ωx +φ)在A = 1, ω = 1, φ = 0时的情况.

1. 通过对三角函数图象的动态演示进一步让学生了 解三角函数图象各种变换的实质和内在规律. (重点) 2. 通过对函数y = Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的 探讨,让学生进一步掌握三角函数图象各种变换的内 在联系.(重点、难点)

课堂探究

探索φ对 y ? sin(x ? φ ), x ? R 的图象的影响.
? 作函数 y ? sin x 及 y ? sin(x ? ) 的图象. 3

探究一:
x

? y ? sin x 与 y ? sin(x ? ) 3

0 0
?

?
2

? 0
2? 3

3? 2

2?

y ? sin x

1
?
6

-1
7? 6
3? 2

0
5? 3
2?

x

?
3

X ? x?

?
3
?
3 )

0
0

?
2

?
0

y ? sin( x ?

1

-1

0

y 1
o

y ? sin( x ?

?
3

)

yy y ? y y ? y ? y sin ? y ? y sin ? y sin ? sin ? sin ? sin ? sin x sin sin x sin x x x x x x x x

? ?? ?
2

3

? 6

? 2 ? 2 3

? 7?

3? 5? 6 2 3

2?

x

-1

规律一、φ对y=sin(x+φ)的图象的影响 一般地,函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象,可

以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当
φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位

长度而得到.
思考:函数y ? f (x)与y ? f (x ? b)的图象有何关系?

探究二:
x
X ? x?

? ? y ? sin(x ? ) 与 y ? sin(2x ? ) 3 3
?
?
3

?
3

?

0
3 )

?

6

2? 3

7? 6

5? 3

2

?
0
?
3

3? 2

2?

y ? sin( x ?

?

0
?

1
?
12

-1
7? 12
3? 2

0
5? 6
2?

x
X ? 2x ?
y ? sin(2 x ?

?
6

?
3
?
3 )

0 0

?

2

? 0

1

-1

0

y
3 2 1

2? 3
12 6

?

?
3

?

?
6

O ? ?

? 3

7? 12

5? 6

7? 6

-1

-2
-3

y=sin(2x +

?

y=sin(x+ )① 3
3

?

5? 3

x

)②

规律二、ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
一般地,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作 是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短 (当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1/ω倍

(纵坐标不变)而得到的.

1.已知函数 y ? sin( x ? ) 的图象为C,为了得到函数
x ? y ? sin( ? ) 3 4

?

4

的图象,只要把C上所有的点( A )

A.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的1/3,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的1/3,横坐标不变

? ? 2.把y ? sin(2x ? )的图象向右平移 个单位长度, 这时图象 3 6 所表示的函数为( D ) ? A. y ? sin(2x ? ) 2 ? B. y ? sin(2x ? ) 6 3 C. y ? sin(2x ? ) 2 D. y ? sin 2x

x ? x 3.要得到函数y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 的图象( C ) 2 6 2 ? A.向右平移 个单位长度 6 ? B.向左平移 个单位长度 6 ? C.向右平移 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3

? 4.作出函数 y ? sin(2x ? )和 y ? sin(2x ? ? ) 在一个周期 3 4

上的简图.
y 1
? 8
? y ? sin( 2 x ? ) 3

?

O

?1

? 6

? 2
? y ? sin( 2 x ? ) 4

7 ? 8

?
7? 6

x

1.作正弦函数y=Asin(?x+?) 的图象的方法: (1)利用变换关系作图; (2)用“五点法”作图.

2.“五点法”作图时,一般是令ωx+?取 ? 0, ,π, 3? , 2π,算出相应的x的值,再列表, 描点作图.
2

2

3.函数图象变换主要是平移与伸缩变换,要注意 平移与伸缩的多少与方向.


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