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南京市盐城2012届高三第二次模拟考试(数学)word版


南京市 2012 届高三 3 月第二次模拟考试数学试卷 数学试卷
一.填空题 1.已知集合 A ? { x | x ? 2 x ? 0 , x ? R }, B ? { x | x ? a } ,若 A ? B ? B ,则实数 a 的取值范
2

围是_______________ 2.已知
a ? 3i i ? b ? i ,

其中 a , b ? R , i 为虚数单位,则 a ? b =_____________

3.某单位从 4 名应聘者 A,B,C,D 中招聘 2 人,如果这 4 名应聘者被录用的机会均等,则 A,B 两人中至少有 1 人被录用的概率是________________ 4.某日用品按行业质量标准分为五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5,现从一批该日用品 中 随 机 抽 取 200 件 , 对 其 等 级 系 数 进 行 统 计 分 析 , 得 到 频 率 f 的 分 布 表 如 下 :

则在所抽取的 200 件日用品中,等级系数 X=1 的件数为_______________
? x ? y ? 2, ? 5.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则目标函数 z ? ? 2 x ? y 的取值范 ? y ? 2. ?

围是_________ 6.已知双曲线
x a
2 2

? y

2

? 1 的一条渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,则该

双曲线的离心率 e=_______ 7.已知圆 C 经过直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与坐标轴的两个交点,又经过抛 物线 y ? 8 x 的焦点,则圆 C 的方程为________________
2

8. 设 S n 是 等 差 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 , 若

S3 S6

?

1 3

,则

S6 S7

? _____________

9.已知函数 y ? A sin( ? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |?

?
2

) 的部分图像

如图所示,则 ? 的值为___ 10.在如果所示的流程图中,若输入 n 的值为 11.则输出 A 的值为______ 11.一块边长为 10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁 下,然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面,以它们的

1

公共顶点 P 为顶点,加工成一个如图所示的正四棱锥容器,当 x=6cm 时,该容器的容积为 __________________ cm .
3

12.下列四个命题: (1) ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定; “
2

(2)“若 x ? x ? 6 ? 0 , 则 x ? 2 ”的否命题;
2

(3)在 ? ABC 中, A ? 30 ”是“ sin A ? “
o

1 2

”的充分不必要条件;

(4)“函数 f ( x ) ? tan( x ? ? ) 为奇函数”的充要条件是“ ? ? k ? ( k ? Z ) ”. 其中真命题的序号是____________________(真命题的序号都填上) 13.在面积为 2 的 ? ABC 中, 分别是 AB, 的中点, P 在直线 EF 上, PC ? PB ? BC E,F AC 点 则 的最小值是______________ 14.已知关于 x 的方程 x ? 2 a log 2 ( x ? 2 ) ? a ? 3 ? 0 有唯一解, 则实数 a 的值为________
2 2 2

2

二、解答题 15. (本题满分 14 分) 设向量 a=(2,sinθ),b=(1,cosθ),θ 为锐角 (1)若 a· b=
13 6

,求 sinθ+cosθ 的值;

(2)若 a//b,求 sin(2θ+

?
3

)的值.

16. (本题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD ? 平面 BCE,BE ? EC. (1) 求证:平面 AEC ? 平面 ABE;

2

(2) 点 F 在 BE 上,若 DE//平面 ACF,求

BF BE

的值。

17. (本题满分 14 分) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ,
x a
2 2

椭圆 C:

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

3 2

, 以原点为圆心, 椭

圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1),Q(0,2),设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称 的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T。求证:点 T 在椭 圆 C 上。

18. (本小题满分 16 分) 某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一 个对角线在 l 上的四边形电气线路,如图所示,为充分利用 现有材料, BC,CD 用一根 5 米长的材料弯折而成, BA,AD 边 边 用一根 9 米长的材料弯折而成,要求 ? A 和 ? C 互补,且 AB=BC, (1) 设 AB=x 米,cosA= f ( x ) ,求 f ( x ) 的解析式,并指

出 x 的取值范围.
3

(2) 求四边形 ABCD 面积的最大值。



19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? | e ? bx |, 其中 e 为自然对数的底.
x

(1)当 b ? 1 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)若函数 y=f(x)有且只有一个零点,求实数 b 的取值范围; (3)当 b>0 时,判断函数 y=f(x)在区间(0,2)上是否存在极大值,若存在,求出极 大值及 相应实数 b 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}满足: a 1 ?
a2 ? a3 ? ... ? an ? n
2

?

?

2

?

n ?1

? 2 n ( 其中常数

? ? 0, n ? N )

?

(1)求数列{an}的通项公式;
4

(2)当 ? =4 时,是否存在互不相同的正整数 r,s,t,使得 a r , a s , a t 成等比数列?若存在, 给出 r,s,t 满足的条件;若不存在,说明理由; (3)设 S n 为数列{an}的前 n 项和,若对任意 n ? N ,都有 (1 ? ? ) S n ? ? a n ? 2 ? 恒成
n
?

立,求实数 ? 的取值范围。

数学附加题
1.设矩阵 M ? ?
?1 ?4 2? ? 3?
?1

(1)求矩阵 M 的逆矩阵 M (2)求矩阵 M 的特征值.



2.在平面直角坐标系 xoy 中,判断曲线 C: ? 为参数)是否有公共点,并证明你的结论

? x ? 2 cos ?

? x ? 1 ? 2t (? 为参数) 与直线 l : ? (t ? y ? sin ? ? y ?1? t

5

3.甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛,每人回答一个问题,答对得 10 分,答错得 0 分,假设甲班三名同学答对的概率都是
2 3

,乙班三名同学答对的概率分别是

2 2 1 , , ,且这 3 3 2

六名同学答题正确与否相互之间没有影响. (1)用 X 表示甲班总得分,求随机变量 X 的概率分布和数学期望; (2)记“两班得分之和是 30 分”为事件 A, “甲班得分大于乙班得分”为事件 B,求事件 A,B 同时发生的概率.

4.记 (1 ? (1)求 a n

x 2

)( 1 ?

x 2
2

) ? ? ? (1 ?

x 2
n

) 的展开式中, x 的系数为 a n , x 的系数为 b n ,其中 n ? N
2

*

(2)是否存在常数 p,q(p<q),使 b n ? 你的结论.

1 3

(1 ?

p 2
n

)( 1 ?

q 2
n

) ,对 n ? N , n ? 2 恒成立?证明
*

6

7

8

9

10

11

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13

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15

16


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