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椭圆中的几个重点题目(技巧性强)


1、椭圆 G :

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,M 是椭圆上的一点,且满 a 2 b2

足 F1M ? F2 M ? 0 . (Ⅰ)求离心率的取值范围; (Ⅱ)当离心率 e 取得最小值时,椭圆上的点到焦点的最近距离为 4( 2 ? 1) . ①求此时椭圆 G 的

方程; ②设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与椭圆 G 相交于不同的两点 A、B,Q 为 AB 的中点,问 A、 B 两点能否关于过点 P (0, ? 明理由. 解: (1)设 M(x,y) ,则 由 ………………1 分

3 ) 、Q 的直线对称?若能,求出 k 的取值范围;若不能,请说 3

又 M 在椭圆上,∴

…………………………2 分



,………………3 分

又 0≤x2 ≤a2 ,∴

,………………4 分







………………5 分

?a ? c ? 4 2 ? 1 ?a ? 4 2 ? (2)①依题意得: ? c ∴ ? 2 ? ? ?b ? 4 2 ?a
∴椭圆方程是: ………………7 分

?

?

②.设 l:y=kx+m,由 而△>0 可得 m2 <32k2 +16………………9 分 又 A、B 两点关于过点 ∴ 、Q 的直线对称 ………10 分

,设 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,则



………………11 分



又 k≠0,∴ ∴需求的 k 的取值范围是

或 或 ………………12 分

2、本小题满分 13 分)如图,设 A 是圆 x2 ? y 2 ? 6 上的动点,点 B 是 A 在 x 轴上投影,M 为 AB 上一点,且 | MB |?

3 | AB | .当 A 在圆上运动时,点 M 的轨迹为曲线 G . 过点 3
5? 的直线 l 交曲线 G 于 C , D 两点. 6

(m, 0) (m ? 6) 且倾斜角为
(1)求曲线 G 的方程;

(2)若点 F 是曲线 G 的右焦点且 ?CFD ? [

? ?

, ] ,求 m 的取值范围. 3 2

. 解: (1)设点 M 的坐标是 ( x, y ) , A 的坐标是 ( xA , yA ) ,因为点 B 是 A 在 x 轴上投影, M为 AB 上一点,且 | MB |?

3 | AB | ,所以 xA ? x ,且 yA ? 3 y ,∵A 在圆 x2 ? y 2 ? 6 3

上,∴ x2 ? ( 3 y)2 ? 6 ,整理得

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 . 即 G 的方程是 ? ? 1. 6 2 6 2

(2)如下图,直线 l 交曲线 G 于 C , D 两点,且 ?CFD ? [

? ?

, ]. 3 2

由题意得直线 l 的方程为 y ? ?

3 ( x ? m) (m ? 6) . 3

? x2 y 2 ? ?1 ? ?6 2 由? ,消去 y 得 2 x 2 ? 2mx ? m2 ? 6 ? 0 . ? y ? ? 3 ( x ? m) ? 3 ?
由 ? ? 4m2 ? 8(m2 ? 6) ? 0 解得 ?2 3 ? m ? 2 3 . 又 m ? 6 ,? 6 ? m ? 2 3 . 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? m, x1 x2 ?

m2 ? 6 , 2

? y1 y2 ? [?

3 3 1 m m2 . ( x1 ? m)] ? [? ( x2 ? m)] ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3 3 3 3 3

FC ? ( x1 ? 2, y1 ), FD ? ( x2 ? 2, y2 ) .
? FC ? FD ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ?
又由椭圆方程可知 y ?
2

4 m?6 m2 2(m2 ? 3m) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ?4? . 3 3 3 3

6 ? x2 , 3

| FC |? ( x1 ? 2)2 ? y12 ? ( x12 ? 4 x1 ? 4) ? | FD |? ( x2 ? 2) ? y2
2 2 2

6 ? x12 2 2 ? ( x1 ? 3)2 ? (3 ? x1 ) , 3 3 3

6 ? x22 2 2 ? ( x2 ? 4 x2 ? 4) ? ? ( x2 ? 3)2 ? (3 ? x2 ) , 3 3 3

?| FC | ? | FD |?

2 2 1 (3 ? x1 )(3 ? x2 ) ? [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] ? (m 2 ? 6m ? 12) , 3 3 3

2 2 (m ? 3m) FC ? FD 2(m2 ? 3m) 3 ? cos ?CFD ? ? ? 2 . | FC | ? | FD | 1 (m2 ? 6m ? 12) m ? 6m ? 12 3
因 ?CFD ? [

[来源 : 学科 网 ZXXK ]

? ?

1 2(m2 ? 3m) 1 , ] ,? cos ?CFD ? [0, ],? 0 ? 2 ? , 3 2 2 m ? 6m ? 12 2

2 ? ? ?2(m ? 3m) ? 0 ?m ? 0或m ? 3 ,故 1 ? 5 ? m ? 0 或 3 ? m ? 1 ? 5 , ?? 2 ,? ? m ? 2 m ? 4 ? 0 1 ? 5 ? m ? 1 ? 5 ? ? ? ?

又 6 ? m ? 2 3 ,故 3 ? m ? 1 ? 5 . 3、如图,已知直线 l 与抛物线 x ? 4 y 相切于点 P(2,1),且与 x 轴交于点 A,O 为坐标原
2

点,定点 B 的坐标为(2,0). (I) 若动点 M 满足 AB ? BM ? 2 | AM |? 0 ,求点 M 的轨迹 C; (II)若过点 B 的直线 l ′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹 C 交于不同 的两点 E、F(E 在 B、F 之间) ,试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.

.解: (I) 由 x 2 ? 4 y得y ? 1 x 2 , ? y? ?
4

1 x. ∴直线 2

l 的斜率为 y ? | x ?2 ? 1 ,

故 l 的方程为 y ? x ? 1 ,∴点 A 坐标为(1,0) 设 M ( x, y ) 则 AB ? (1,0), BM ? ( x ? 2, y), AM ? ( x ? 1, y) ,
2? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 0.

由 AB ? BM ? 2 | AM |? 0 得 ( x ? 2) ? y ? 0 ?
2 整理,得 x ? y 2 ? 1.

2

∴点 M 的轨迹为以原点为中心,焦点在 x 轴上,长轴长为 2 2 ,短轴长为 2 的椭圆 (II)如图,由题意知直线 l 的斜率存在且不为零,设 l 方程为 y=k(x-2)(k≠0)① 将①代入

x2 ? y 2 ? 1 ,整理,得 2

(2k 2 ? 1) x 2 ? 8k 2 ? x ? (8k 2 ? 2) ? 0 ,
由△>0 得 0<k2 <
?

1 . 2
8k 2

设 E(x1 ,y1 ),F(x2 ,y2 ) 令? ?

x ? x2 ? , 则? ? 1 2k 2 ? 1 ② ? 2 ? x x ? 8k ? 2 . 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?

S ?OBE | BE | , 则? ? ,由此可得 S ?OBF | BF |

BE ? ? ? BF, ? ?

x1 ? 2 , 且0 ? ? ? 1. x2 ? 2
?4 , 2k 2 ? 1

由②知 ( x1 ? 2) ? ( x 2 ? 2) ?

(x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ?

2 . 2k 2 ? 1

?

? 2k 2 ? 1 4? 1 ? ,即k 2 ? ? 2 (1 ? ? ) 8 (1 ? ? )2 2

0 ? k2 ? 又

1 4? 1 1 ,? 0 ? ? ? , 2 (1 ? ? ) 2 2 2 0 ? ? ? 1,

解得3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2.

? 3 ? 2 2 ? ? ? 1 .∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是(3-2 2 , 1)
4、已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(?2, 0) 、 B(2, 0) 、 C ?1, 三点. (1)求椭圆 E 的方程: (2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、 B 的任意一点, F (?1, 0), H (1, 0) ,当 ?DFH 内切圆 的面积最大时。求内切圆圆心的坐标; (3) 若直线 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与椭圆 E 交于 M 、N 两点, 证明直线 AM 与直线 BN 的 交点在定直线上并求该直线的方程. 【解析】 : (1)设椭圆方程为 mx 2 ? ny2 ? 1(m ? 0, n ? 0) 将 A(?2, 0) 、 B(2, 0) 、 C (1, ) 代入椭圆 E 的方程,得

? 3? ? ? 2?

3 2

? 4m ? 1, x2 y 2 1 1 ? E m ? , n ? ? ? 1 (3 分) 解得 . ∴椭圆 的方程 ? 9 4 3 4 3 m ? n ?1 ? ? 4
(2) | FH |? 2 ,设 DFH 边上的高为 S
DFH

1 ? ? 2? h ? h 2

当点 D 在椭圆的短轴顶点

h 最大为 3 , 时, 所以 S
的周长为定值 6.所以

DFH

的最大值为 3 . 设 DFH 的内切圆的半径为 R , 因为 ?DFH

1 3 R ? 6 ? S ?DFH ,所以 R 的最大值为 .所以内切圆圆心的坐标 2 3

(0, ? 为

,3 ) 3

-------------7 分

(3)将直线 l : y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 E 的方程

x2 y 2 ? ? 1 并整理.得 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 .设直线 l 与椭圆 E 的交点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,
由根系数的关系,得 x1 ? x 2 ?

8k 2 4(k 2 ? 3) , x x ? .-----------9 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

直线 AM 的方程为: y ?

y1 ( x ? 2) ,它与直线 x ? 4 的交点坐标为 x1 ? 2

p(4,

6 y1 2 y2 ), 同理可求得直线 BN 与直线 x ? 4 的交点坐标为 Q(4, ) .--11 分 x1 ? 2 x2 ? 2

下面证明 P 、 Q 两点重合,即证明 P 、 Q 两点的纵坐标相等:

y1 ? k ( x1 ?1), y2 ? k ( x2 ?1)
? 6 y1 2 y2 6k ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 2) ? 2k ( x2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)



? 8(k 2 ? 3) 40k 2 ? 2k ? ? ? 8? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2k[2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 8] ? ?0 ? ? ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
因此结论成立.综上可知.直线 AM 与直线 BN 的交点住直线 x ? 4 上.------13 分

如图所示,设抛物线 C1 : y2 =4mx(m>0)的准线与 x 轴交于 F1 ,焦点为 F2 ;以 F1 , F2 为焦点,离心率 e=
1 的椭圆 C2 与抛物线 C1 在 x 轴上方的交点为 P,延长 P F2 2

交抛物线于点 Q,M 是抛物线 C1 上一动点,且 M 在 P 与 Q 之间运动. (1)当 m=1 时,求椭圆 C2 的方程; (2)当△P F1 F2 的边长恰好是三个连续的自然数时,求△MPQ 面积的最大值.

解:(1)当 m=1 时, y2 =4x,则 F1 (-1,0), F2 (1,0), 设椭圆方程为 则 c=1,又 e=
x2 y2 + =1(a>b>0), a2 b2

c 1 = , a 2

所以 a=2, b2 =3,

所以椭圆 C2 的方程为

x2 y2 + =1. 4 3

(2)设 P( x p , y p )( x p >0, y p >0),Q( xQ , yQ )( xQ >0, yQ <0), 因为 c=m,e=
c 1 = ,则 a=2m, b2 =3 m 2 a 2

故椭圆方程为

y2 x2 + =1, 4m 2 3m 2

? x2 y2 ? ?1 ? 由 ? 4m 2 3m 2 ,得 3 x 2 +16mx-12 m 2 =0, ? y 2 ? 4m x ?
即(x+6m)(3x-2m)=0,得 x p = 代入抛物线方程得 y p =
2 m 2 6m , ), 3 3 5m , 3 5m 7m = ,| F1 F2 |=2m, 3 3 2m , 3

2 6 m, 3

即 P(

|P F2 |= x p +m=

|P F1 |=2a-|P F2 |=4m-

因为△P F1 F2 的边长恰好是三个连续的自然数, 所以 m=3, 此时抛物线方程为 y2 =12x,P(2,2 6 ), 直线 PQ 方程为 y=-2 6 (x-3).
? ? y ? ?2 6 ( x ? 3) 联立错误!未找到引用源。 ? 2 , ? ? y ? 12x

得 2 x 2 -13x+18=0, 即(x-2)(2x-9)=0, 9 所以 xQ = , 2 代入抛物线方程得 yQ =-3 6 ,

即 Q(

9 ,-3 6 ), 2

9 25 ∴|PQ|=错误!未找到引用源。 (2 ? ) 2 ? (2 6 ? 3 6 ) 2 = . 2 2
设 M(
t2 ,t)到直线 PQ 的距离为 d,t∈(-3 6 ,2 6 ), 12

|
则 d=错误!未找到引用源。 ∵t∈(-3 6 ,2 6 ) ∴当 t=-

6 2 t ?t ?6 6 | 75 6 6 6 = |(t+ )2- |, 2 30 2 24 ? 1

75 5 6 6 6 时,dmax= × = , 2 4 2 30

25 1 5 6 125 6 即△MPQ 面积的最大值为 × × = . 2 2 4 16


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