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甘肃省肃南裕固族自治县第一中学2017届高三10月月考文数试题含解析


甘肃省肃南县第一中学 2016 年 10 月考试 高三数学(文)试卷 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.【题文】已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2?, B ? ?x | 0 ? x ? 3? ,则 A ? B ? () A.? ?1,3? 【答案】A 【解析】 试题分析:利用数轴可知 A ? B ? (?1,3) . 考点:集合运算. 【结束】 2.【题文】若复数 z 满足, ? 3 ? 4i ? z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为() A.-4 D. B. ? B.? ?1,0? C.? 0, 2 ? D.? 2,3?

4 5

C.4

4 5

【答案】D 【解析】 试题分析:由已知, z ? 考点:虚数运算. 【结束】 3.【题文】直线 x sin ? ? y? 2 ? 0 的倾斜角的取值范围是() A. ?0, ? ? B. ?0,

| 4 ? 3i | 5(3 ? 4i ) 3 ? 4i 4 ? ? ,故虚部为 . 3 ? 4i 25 5 5

? ? ? ? 3? ? ? ,? ? ? 4? ? ? ? 4 ?

C. ? 0,

? ?? ? 4? ?

D. ?0,

? ? ? ?? ? ? ,? ? ? ?? 2 ? ? 4?

【答案】B 【解析】 试题分析:由题得直线斜率为 k ? ? sin ? ,由 sin ? ? [?1,1] ,得 k ? [?1,1] ,可由正切曲线

知直线倾斜角的取值范围是 ?0, 考点:直线倾斜角. 【结束】

? ? ? ? 3? ? ? ,? ? . ? 4? ? ? ? 4 ?

4.【题文】若 a ? 2, b ? 1 ,且 a 与 b 的夹角为 60°,当 a ? xb 取得最小值时,实数 x 的值 为() A.2 D.-1 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 : (a ? xb) 2 ? 4 ? 2xa ? b ? x 2 ? x 2 ? 2x ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 3 , 可 知 当 x ? 1 时 , B.-2 C.1

?

?

?

?

?

?

| a ? xb | 取得最小值.
考点:向量数量积. 【结束】 5. 【题文】 一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示 (单位:m ) , 则该几何体的体积为 ()

A. D.

7 3 m 3

B.

9 3 m 2

C.

7 3 m 2

9 3 m 4

【答案】C 【解析】 试题分析:由三视图可知,该几何体为三个小正方体及一个三棱柱(半个正方体)组成,故 体积为 3 ?

1 7 3 ? m . 2 2

考点:三视图. 【方法点睛】 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系, 遵循“长对正, 高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视

图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视 图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图; 2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度; 3、画出整体,然后再根据三视 图进行调整. 【结束】 6.【题文】已知 ?ABC 的面积为 2,在 ?ABC 所在的平面内有两点 P、Q ,满足

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? PA ? PC ? 0, QA ? 2BQ ,
则 ?APQ 的面积为() A. D.1 【答案】C 【解析】 试题分析: 由已知, 点 P, Q 分别为 AC 的中点,AB (靠近 B ) 的三等分点, 故 AP ?

1 3

B.

1 2

C.

2 3

1 AC , 2

AQ ? S ?APQ ? 2 . 3

2 1 AB , 又 ?ABC 面 积 S ? ? AB ? AC ? s i n A ? 2 , 可 知 , ?APQ 的 面 积 3 2 1 1 ? ? AQ ? AP ? sin A ? S 2 3

考点:平面向量线性运算. 【结束】 7.【题文】执行右图所示的程序框图(其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数) ,则输出的 S 值为 ()

A.7 D.4 【答案】A 【解析】

B.6

C.5

试题分析: S ? 0, n ? 1 ; S ? 1, n ? 2 ; S ? 2, n ? 3 ; S ? 3, n ? 4 ; S ? 5, n ? 5 ; S ? 7 , 此时 n ? 5 ? 4 ,输出 S . 考点:程序框图. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图,属于容易题 . 解决程序框图问题时 一定注意以下几点: (1)不要混淆处理框和输入框; (2)注意区分程序框图是条件分支结构 还是循环结构; (3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构; ( 4)处理循环结构的问题时 一定要正确控制循环次数; (5)要注意各个框的顺序. 【结束】 8.【题文】已知函数 f ? x ? ? ? 的实数根,则 实数 a 的取值范围为() A. ? ??,0? D. ?0, ??? 【答案】C 【解析】 B. ?0,1? C. ? ??,1?

? 2? x ? 1, ? x ? 0 ? ? ,若方程 f ? x ? ? x ? a 有且只有两个不相等 ? ? f ? x ? 1? , ? x ? 0 ?

试题分析:函数 f ? x ? ? ?

? 2? x ? 1, ? x ? 0? ? 的图象如图所示,当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的图象 ? ? f ? x ? 1? , ? x ? 0 ?

与函数 y ? x ? a 的图象有两个交点,即方程 f ? x ? ? x ? a 有且只有两个不相等实数根,故 a 的取值范围为 ? ??,1? .

考点:分段函数的应用. 【思路点睛】本题主要考查函数与方程的综合运用,分段函数解析式求法及其图象的作法.由 题知 f ( x) 为分段函数,当 x ? 0 时,由 f ( x) ? f ( x ? 1) 可知当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,当

0 ? x ? 1 时函数为减函数,当 x ? 0 时,函数为减函数,而方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个
不相等实根即函数 f ( x) 的图象与函数 y ? x ? a 的图象有两个交点,在同一坐标系中画出

f ( x) 的图象与函数 y ? x ? a 的图象,利用数形结合,易求满足条件实数 a 的取值范围.
【结束】 9.【题文】过双曲线 C : 点分别为 A、B , 双曲线左顶点为 M ,若 ?AMB ? 120 ,则该双曲线的离心率为()
0

x2 y 2 2 2 2 ? 2 ? 1? a, b ? 0 ? 的左焦点 F 作圆 x ? y ? a 的两条切线,切 2 a b

A. 2 D.2 【答案】D 【解析】

B. 3

C.3

? 试题分析:作图,∵ OA ? FA , ?AMO ? 60 , OM ? OA ,∴ ?AMO 为等边三角形,∴

OA ? OM ? a , 在 直 角 三 角 形 OAF 中 , OF ? c , ∴ 该 双 曲 线 的 离 心 率

e?

c OF 1 ? ? ? 2. a OA sin 30 ?

考点:双曲线简单性质. 【结束】 10.【题文】设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 A.1 D. B.-1

a6 9 S ? ,则 11 ? () a5 11 S9
C.2

1 2

【答案】A 【解析】

S11 a ? a11 11 S11 9 9 a S 9 试题分析:由等差数列性质可知 6 ? 即为 1 ? ? ? ? ,可得 11 ? 1 . S9 a5 11 S9 a1 ? a9 S 9 11 11 9
考点:等差数列的性质. 【结束】 11.【题文】在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90 , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个
0

三等分点,则

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CP? CB ? CP? CA =()
A.0 D.4 【答案】D 【解析】 B.

9 4

C. ?

9 4

试 题 分 析 : 如 图 , ∵ AC ? BC ? 1 , 点 P 是 斜 边 AB 上 的 一 个 三 等 分 点 , ∴

2 4 A(2,0), B (0,2), P ( , ) 3 3



4 2 P( , ) 3 3





2 4 4 2 CP ? CB ? CP ? CA ? CP ? (CB ? CA) ? ( , ) ? (2,2) ? 4 或 ? ( , ) ? (2,2) ? 4 . 3 3 3 3

考点:向量运算. 【结束】 12. 【题文】 设 F 为抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点,A, B, C 为该抛物线上三点, 若 FA ? FB ? FC ? 0 , 则

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? FA ? FB ? FC 的值为()
A.36 D.12 【答案】B 【解析】 B.24 C.16

B( x2 , y2 ) , 试题分析: 设 A( x1 , y1 ) , 抛物线焦点坐标为 F (4,0) , 准线方程 x ? ?4 , C( x3 , y3 ) ,

??? ? ??? ? ??? ? ? FA ? FB ? FC ? 0 ,∴点 F 为 ?ABC 重心,则 x1 ? x2 ? x3 ? 12 , y1 ? y 2 ? y3 ? 0 ,而
| FA |? x1 ? (?4) ? x1 ? 4 , | FB |? x2 ? (?4) ? x2 ? 4 , | FC |? x3 ? (?4) ? x3 ? 4 ,
∴ FA ? FB ? FC ? 12 ? 12 ? 24 . 考点:抛物线简单几何性质. 【结束】 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. )

??? ?

??? ?

??? ?

13.【题文】已知 ? ? ? 【答案】 ? 【解析】

3 ?? ? , ? ? ,sin ? ? ,则 tan ? ? __________. 5 ?2 ?

3 4

试题分析:由已知, cos ? ? ? 考点:同角关系式. 【结束】

4 3 ,则 tan ? ? ? . 5 4

14.【题文】已知 a ? b ,且 ab ? 1 ,则

a 2 ? b2 的最小值是___________. a ?b

【答案】 2 2 【解析】

a 2 ? b2 (a ? b) 2 ? 2ab 2 2 ? ? a ?b? ? 2 2 ,当且仅当 a ? b ? 试题分析: 时取 a?b a?b a ?b a ?b
得等号. 考点:基本不等式. 【方法点睛】本题主要考查基本不等式,属于容易题.在用基本不等式求最值时,应具备三个 条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各 项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.若使用基本不等 式时,等号取不到,可以通过导数,利用单调性求最值. 【结束】 15.【题文】若等比数列 ?an ? 的第 5 项是二项式 ? x ? __________. 【答案】 【解析】

? ?

1 ? ? 展开式的常数项,则 a3a7 ? 3x ?

6

25 9

1 2 5 5 1 ? ? 2 试题分析:二项式 ? x ? ? 展开式的常数项为 C 6 ? (? 3 ) ? 3 ,即 a 5 ? 3 ,所以 a3a7 ? 3x ? ?
2 a5 ?

6

25 . 9

考点:二项式定理. 【结束】
2 16. 【题文】 已知函数 f ? x ? ? ln x ? 2 , 若 f x ? 4 ? 2, 则实数 x 的取值范围____________.

x

?

?

【答案】 ? 5, ?2 ? 2, 5 【解析】

?

? ?

?
? ?

2 试题分析:由已知,函数 f ( x) 在 (0,??) 单调递增,且 f (1) ? 2 ,故 f x ? 4 ? 2 即为

f ( x 2 ? 4) ? f (1) ,则 0 ? x 2 ? 4 ? 1 ,解得 x ? ? 5, ?2 ? 2, 5 .
考点:函数的性质. 【方法点睛】函数单调性的常见的命题角度有:1、求函数的值域或最值;2、比较两个函数 值或两个自变量的大小;3、解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为 然后根据函数的单调性去掉“ f ”, 转化为具体的不等式 (组) , f ( g ( x)) ? f (h( x)) 的形式, 此时要注意 g ( x) 与 h( x) 的取值应在外层函数的定义域内;4、求参数的取值范围或值. 【结束】 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.【题文】 (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? 2cos2 x ? 2 3 sin x? cos x ? m .其中 m, x ? R . (1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2)当 x ? ?0,

?

? ?

?

? ?? ?1 7? 时,求实数 m 的值,使函数 f ? x ? 的值域恰为 ? , ? ,并求此时 f ? x ? 在 ? ? 2? ?2 2?

R 上的对称
中心. 【答案】 (1) T ? ? ; (2)对称中心为 ? 【解析】 试题分析: (1)化简函数关系式 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

? k? ? 3 ? k ?? Z . ? , ?, ? 2 12 2 ?

?
6

) ? 1 ? m ,则最小正周期 T ? ? ; (2)

1 ? m? ? ? ? ? ?? 2 当 x ? ?0, ? 时, f ( x) 值域为 [m,3 ? m] ,可知 ? 满足题意,由 2 x ? ? k? ,解 6 ? 2? ?3 ? m ? 7 ? 2 ?
得函数 f ( x) 对称中心为 ?

? k? ? 3 ? k ?? Z . ? , ?, ? 2 12 2 ?

试题解析: (1)最小正周期 T ? ? ; (2) m ?

1 ? k? ? 3 ? ,对称中心为 ? ? , ?. 2 ? 2 12 2 ?

考点:三角函数图象的性质. 【结束】 18.【题文】 (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? AB ? 2, BC ? 3, ?ABC ? 900 ,平面 PAB ? 平 面 ABC , D 、

E 分别为 AB 、 AC 中点.

(1)求证: DE / / 平面 PBC ; (2)求证: AB ? PE ; (3)求二面角 A ? PB ? E 的大小. 【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析; (3) 60 . 【解析】 试题分析: (1)由 DE / / BC ,可证; (2)由 PD ?AB , DE ? AB ,得 AB ? 平面 PDE , ∴ AB ? PE ; (3) 以 D 为原点建立空间直角坐标系, 求平面 PBE 的法向量 n1 ? 3, 2, 3 , 又平面 PAB 的法向量为 n2 ? ? 0,1,0 ? ,设二面角的 A ? PB ? E 大小为 ? ,则
?

??

?

?

?? ?

cos ? ? cos ? n1 , n2 ??

1 ,所以 ? ? 600 . 2

试题解析: (1)∵ D 、 E 分别为 AB 、 AC 中点, ∴ DE / / BC . ∵ DE ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC , ∴ DE / / 平面 PBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 (2) 连结 PD , ∵ PA ? PB ,∴ PD ? AB , ∵ DE / / BC, BC ? AB , DE ? AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 又∵ PD ? DE ? D , ∴ AB ? 平面 PDE , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 ∵ PE ? 平面 PDE , ∴ AB ? PE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 (3)∵平面 PAB ? 平面 ABC ,平面 PAB ? 平面 ABC ? AB, PD ? AB, PD ? 平面

ABC . . . . .8 分
如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系

∴ B ?1, 0, 0 ? , P 0, 0, 3 , E ? 0,

?

?

? ?

3 ? ,0? , 2 ?

∴ PB ? 1, 0, ? 3 , PE ? ? 0,

??? ?

?

?

??? ?

? ?

3 ? ,? 3? . 2 ?

设平面 PBE 的法向量 n1 ? ? x, y, z ? ,

??

? x ? 3z ? 0 ? ∴ ?3 ,令 z ? 3 , y ? 3 z ? 0 ? ?2 ?? 得 n1 ? 3, 2, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分

?

?

∵ DE ? 平面 PAB , ∴平面 PAB 的法向量为 n2 ? ? 0,1,0 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 设二面角的 A ? PB ? E 大小为 ? ,

?? ?

?? ?? ? n1 ?n2 ?? ?? ? 1 由图知, cos ? ? cos n1 , n2 ? ?? ?? ? ? ,所以 ? ? 600 ,即二面角的 A ? PB ? E 大小为 n1 ?n2 2
60°. . .12 分 考点:空间位置关系证明、空间向量的应用. 【结束】 19.【题文】 (本小题满分 12 分)为了参加 2013 年市级高中篮球比赛,该市的某区决定从四 所高中学校选 出 12 人组成男子篮球队代表所在区参赛,队员来源人数如下表: 学校 人数 学校甲 学校乙 4 4 学校丙 学校丁 2 2

该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言. (1)求这两名队员来自同一学校的概率; (2)设选出的两名队员中来自学校甲的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . 【答案】 (1) 【解析】 试题分析: ( 1) P ? A ? ?
2 2 2 2 C4 ? C4 ? C2 ? C2 7 (2)依题 ? 的可能取值为 0,1,2 ,分别计 ? ; 2 C12 33

7 2 ; (2) ? 的分布列见解析, E? ? . 3 33

算各变量的概率,可得分布列及均值.
2 2 2 2 C4 ? C4 ? C2 ? C2 7 试题解析: (1) P ? A? ? ? . 2 C12 33

(2) ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

14 16 33 33 2 E? ? . 3

1 11

考点:概率分布列. 【结束】 20.【题文】 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 上的点 P 满足

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 ? 3, 0 、 F2 a 2 b2

?

?

?

3, 0 ,椭圆

?

?PF1F2 ? 900 ,且 ?PF1F2 的面积为 S?PF1F2 ?
(1)求椭圆 C 的方程;

3 . 2

(2) 设椭圆 C 的左、 右顶点分别为 A 、B , 过点 Q ?1,0 ? 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M 、N 两点,直线

AN 与直线 x ? 4 的交点为 R ,证明:点 R 总在直线 BM 上.
【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)由已知,可求 c ?

x2 ? y 2 ? 1; (2)证明见解析. 4

3 , a ? 2 ,故方程为

x2 ? y 2 ? 1; (2)当直线 l 不与 x 轴 4

x ? 1? ? y ?k ? ? 2 垂直时, 设直线 l 的方程为 y ? k ? x ?1? , M ? x, y ? 、N ? x2 , y2 ? , R ? 4, y0 ? , 由? x 得 2 ? y ? 1 ? ? 4

?1 ? 4k ? x
2

2

? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 ,由 A, N , R 共线,得 y0 ?

6 y2 ,又 x2 ? 2

??? ? ???? ? BR ? ? 2, y0 ? , BM ? ? x1 ? 2, y1 ? ,则

? x1 ?1?? x2 ? 2? ? 3? x2 ?1?? x1 ? 2? ? ?2x1x2 ? 5? x1 ? x2 ? ? 8 ,代入可得结论.

试题解析: (1)由题意知: F1F2 ? 2c ? 2 3 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分
0 ∵椭圆上的点 P 满足 ?PF 1F 2 ? 90 ,且 S ?PF1F2 ?

3 , 2

∴ S?PF1F2 ? ∴ PF1 ?

1 1 3 , F1F2 ?PF1 ? ? 2 3 ? PF1 ? 2 2 2
F1 F2 ? PF1 ?
2 2

1 , PF2 ? 2

7 . 2

∴ 2a ? PF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 1 ? PF 2 ? 4, a ? 2 . 又∵ c ? 3 ,∴ b ? a ? c ? 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分
2 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4分 4

(2)由题意知 A? ?2,0?、B ? 2,0? , ①当直线 l 与 x 轴垂直时, M ? 1,

? ? ?

? 3? 3? 3 ,则 AN 的方程是: y ? ? 、 N 1, ? ? x ? 2? , ? ? ? ? 2 ? 2 ? 6 ? ? ?

BM 的方程是: y ? ?

3 ? x ? 2 ? ,直线 AN 与直线 x ? 4 的交点为 R 4, ? 3 , 2

?

?

∴点 R 在直线 BM 上. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 (2)当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ?1? , M ? x, y ? 、

N ? x2 , y2 ? , R ? 4, y0 ? ,
? y ? k ? x ? 1? ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 ?1 ? 4k ? x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ? 4
∴ x1 ? x2 ?

8k 2 1 ? 4k
2

, x1 x2 ?

4k 2 ? 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 1 ? 4k 2

??? ? ???? 6 y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 AR ? ? 6, y0 ? , AN ? ? x2 ? 2, y2 ? , A, N , R 共线,∴ y0 ? x2 ? 2
分 又 BR ? ? 2, y0 ? , BM ? ? x1 ? 2, y1 ? ,需证明 B, M , R 共线,

??? ?

???? ?

需证明 2 y1 ? y0 ? x1 ? 2? ? 0 ,只需证明 2k ? x1 ? 1? ? 若 k ? 0 ,显然成立,若 k ? 0 ,即证明

6k ? x2 ? 1? ? x1 ? 2? ? 0 , x2 ? 2

? x1 ?1?? x2 ? 2? ? 3? x2 ?1?? x1 ? 2? ? ?2x1x2 ? 5? x1 ? x2 ? ? 8
? ?2 ? 4k 2 ? 4 ? 1 ? 4k 2 ? 5 ? 8k 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分 ? 8 ? 0 成立. 1 ? 4k 2

∴ B, M , R 共线,即点 R 总在直线 BM 上. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 考点:直线与圆锥曲线的位置关系. 【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的 方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问 题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法 之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意直线斜率不存在的 情况及不要忽视判别式的作用. 【结束】 21.【题文】 (本小题满分 12 分)

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 已知函数 f ? x ? ? ? ,其中 a 是实数,设 A? x1, f ? x1 ?? , B ? x2 , f ? x2 ?? 为该 ? ln x, x ? 0
函数图象上的 点,且 x1 ? x2 . (1)指出函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若函数 f ? x ? 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (3)若函数 f ? x ? 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

1; 【答案】 (1)f ? x ? 在 ? ??, ?1? 上单调递减, 在 ? ?1,0? 上单调递增; (2) (3) ? ?1? ln 2, ??? .
【解析】 试题分析: (1)求导,令导函数 f ' ( x) ? 0 及 f ' ( x) ? 0 可求; (2)由导数几何意义,可得切 线的斜率,由切线互相垂直,可得 f ' ( x1 ) f ' ( x2 ) ? ?1,即 (2 x1 ? 2)(2 x2 ? 2) ? ?1 ,可得

1 x 2 ? x1 ? [?(2 x1 ? 2) ? (2 x 2 ? 2)] , 再利用基本不等式的性质即可得出; (3) 当 x1 ? x2 ? 0 2
或 0 ? x1 ? x2 时,∵ f ' ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ,故不成立,∴ x1 ? 0 ? x2 ,分别写出切线的方程,根 据两条直线重合的充要条件即可得出,再利用导数即可得出. 试题解析: (1) f ? x ? 在 ? ??, ?1? 上单调递减,在 ? ?1,0? 上单调递增; (2)1; (3) ? ?1 ? ln 2, ??? 考点:导数的应用. 【方法点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用: (一)函数单调性的讨论:运用导数知识 来讨论函数单调性时, 首先考虑函数的定义域, 再求出 f ' ( x) , 有 f ' ( x) 的正负, 得出函数 f ( x) 的单调区间; (二)函数的最值(极值)的求法:由确认的单调区间,结合极值点的定义及自 变量的取值范围,得出函数 f ( x) 极值或最值. 【结束】 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请 写清题号. 22.【题文】 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 为 ? O 的直径, BC 切 ? O 于点 B , AC 交 ? O 于点 P ,CE ? BE ,点 E 在

BC 上,求
证: PE 是 ? O 的切线.

【答案】证明见解析. 【解析】 试题分析:连接 BP, OP ,由条件得出

?BPC ? 180? ? ?PBC ? ?C ? 180? ? ?BAC ? ?C ? ?ABC ? 90? , 故 PE ? BE ? CE ,
再由 OB ? OP ,得 PE 是圆 O 的切线.

试题解析:根据已知得出 ?FBD ? ?4 ? 900 是解题关键,根据 AB 为 ? O 的直径, BC 切

? O 于点 B ,那么利用角的关系可知 PE 是 ? O 的切线.
考点:平面几何证明. 【结束】 23.【题文】 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知动点 P, Q 都在曲线 C : ?

? x ? 2cos t ( ? 为参数)上,对应参数分别为 t ? ? 与 ? y ? 2sin t

t ? 2? ? 0 ? ? ? 2? ? ,
M 为 PQ 的中点.
(1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 【答案】 (1) ?

? x ? cos ? ? cos 2? ( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? ) ; (2) ? y ? sin ? ? sin 2?

d ? 2 ? 2 cos? (0 ? ? ? 2? ) ,轨迹经过原点.
【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 由 题 , 得 P?2 c ? o s

,? ? 2Q s? i n

?,

2 ?c? o,s 则 2

, 2 s i n 2

M ? c o?s?

c? o s 2? ? , s i? ,可得参数方程; n ? s i n 2(2)由两点距离公式可得 M 点到坐标原

点的距离为 2 ? 2 cos? (0 ? ? ? 2? ) ,由此 M 的轨迹过坐标原点. 试题解析: (1)由题意有, P ? 2cos ? ,2sin ? ? , Q ? 2cos 2? ,2sin 2? ? ,因此

? x ? cos ? ? cos 2? ( ? 为参 M ? cos? ? cos 2? ,sin ? ? sin 2? ? , M 的轨迹的参数方程为 ? ? y ? sin ? ? sin 2?
数, 0 ? ? ? 2? ) . (2) M 点到坐标原点的距离为 d ?

x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? ? 0 ? ? ? 2? ? ,当 a ? ? 时,

d ? 0 ,故 M 的轨迹过坐标原点.
考点:坐标系与参数方程. 【结束】 24.【题文】 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 a ? R ,设关于 x 的不等式 2x ? a ? x ? 3 ? 2x ? 4 的解集为 A . (1)若 a ? 1 ,求 A ; (2)若 A ? R ,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) A ? ?x | x ? 0, x ? 2? ; (2) a ? ?2 . 【解析】 试题分析: (1)分 x ? ?3 、 ?3 ? x ?

1 1 、 x ? 讨论集合 A ; (2)分 x ? ?2 、 x ? ?2 讨论 2 2

a 的取值范围.
试题解析: (1)当 x ? ?3 时,原不等式化为 ?3 x ? 2 ? 2 x ? 4 ,得 x ? ?3 , 当 ?3 ? x ? 当x? 分 (2)当 x ? ?2 时, 2x ? a ? x ? 3 ? 0 ? 2x ? 4 成立, 当 x ? ?2 时, 2x ? a ? x ? 3 ? 2x ? a ? x ? 3 ? 2x ? 4 ,

1 ,原不等式化为 4 ? x ? 2 x ? 4 ,得 3 ? x ? 0 , 2

1 时,3x ? 2 ? 2 x ? 4 ,得 x ? 2 ,综上, A ? ?x | x ? 0, x ? 2? . . . . . . . . . . . . . . . . .5 2

a ?1 , 3 a ?1 所以 a ? 1 ? ?2 或 a ? 1 ? ,得 a ? ?2 , 3
得 x ? a ?1 或 x ? 综上, a 的取值范围为 a ? ?2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 考点:绝对值不等式. 【结束】



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