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椭圆及其标准方程(第二课时)


2.2.1 椭圆及 其标准方程(2)

椭圆的定义

MF1 ? MF2 ? 2a(2a ? 2c ? 0)

y

y M M
F2 x F 2
M

图形

a b F co 1

o
F 1

x

标准方程 焦点坐标
a,b,c的关系

x2 y2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

a 2 ? b2 +c 2;a ? c ? 0;a ? b ? 0

焦点位置的 判断

看分母的大小,焦点在分母 大的那一项对应的坐标轴上.
例1

例 1⑴已知动点 P 到点 F1 (0, ?2) , F2 (0, 2) 的距离 之和为 12,求动点 P 的轨迹方程. 解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆, 且焦点是 F1 (0, ?2) , F2 (0, 2) ,∴ c ? 2 .
∵ PF1 ? PF2 ? 12 ,∴ 2a ? 12 ,∴ a ? 6 , ∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 36 ? 4 ? 32 2 2 x y ? ? 1. ∴所求的轨迹方程为 32 36

⑵求经过点 ( 2, 3) 且与椭圆 9 x ? 4 y ? 36 有 共 同的焦点的椭圆的标准方程.
2 2

2答案

例 1⑵求经过点 ( 2, 3) 且与椭圆 9 x 2 ? 4 y 2 ? 36 有共 同的焦点的椭圆的标准方程.
解: ⑵∵椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为(0,± 5 ) , x2 y2 则可设所求椭圆方程为: ? =1(m>0)? m m?5 4 9 将 x=2, y=3 代入上式得: ? ?1 m m?5 解得:m=10 或 m=-2(舍去)? x2 y2 ? ∴所求椭圆的方程为: =1. 10 15
注:①这样设不失为一种方法. ②可不可以直接求出 a .

例 2 已知 B、C 是两个定点, BC ? 6 ,且△ABC 的周长 等于 16,求顶点 A 的轨迹方程. 解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(?3,0), C (3,0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x , y )

∵ AB ? AC ? BC ? 16 , ∴ BA ? CA ? 10 .
x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 ? ?1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线,∴ y ? 0 .
x2 y2 ? ? 1( y ? 0) ∴所求的点的轨迹方程为 25 16

例3、如图,在圆 x 2 ? y 2 ? 4上任取一点P作x轴 的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时, 线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?
解:设点M坐标为M(x,y), 点P的坐标为 P(x’,y’),则 ' ? 由题意可得: x ? x
? ' ?y ? 2y
y
P M

x ? y ?4 2 2 2 所以 x ? 4 y ? 4 即 x ? y 2 ? 1 4
因为 这就是点M的轨迹方程,它表示一个椭圆。

'2

'2

o D

x

相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.

例 4:如图,设点 A、 的坐标分别为 (?5,0),(5,0) , B 直线 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜率之积是 4 ? ,求点 M 的轨迹方程. 9
分析:把题目条件直接用 x 、y 表示出来, x 、y 之间的 关系式就显示出来了.

这种求轨迹的方法──直译法

课堂练习:

x2 y2 1.如图,F1,F2 分别为椭圆 2 ? 2 ? 1 a b 的左、 右焦点, P 在椭圆上, 点 △POF2 是面积为 3 的正三角形, 则 b 2 的值是____________.

2 3

y2 x2 2.若方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实 25 ? m 16 ? m 数 m 的取值范围是( B ) 9 (A)(-16,25) (B)( ,25) 2 9 9 9 (C)(-16, )∪( ,25) (D) ( ,+∞) 2 2 2 若表示椭圆呢? C

x2 y 2 例5:已知 F1、F2 是椭圆 ? ? 1 的两个焦点, 100 64 P是椭圆上任一点。 ? (1)若 ?F1 PF2 ? , 求 ?F1 PF2 的面积。
(2)求 | PF1 | ? | PF2 |的最大值。
3

思维挑战题: 已知圆 B: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 16 及点 A(1,0) ,C 为 圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交 2 2 点 P 的轨迹方程. x y

分析条件发现: AP ? BP ? 4

4

?

3

?1

∴点 P 的轨迹是以 A、 为 B 焦点的椭圆.
这种求轨迹方程的方法称为定义法.
动画演示

本课小结: 求轨迹方程的方法有多种: 定义法、直译法、代入法、相关点坐标分析 法等. 具体求轨迹方程时,我们既应严格按一般步骤 去展开过程,又应注意到思考方法的灵活性的尝 试. 通过本课的学习我们还可以看到确定椭圆的 几何条件有多种,这些东西能让我们开拓眼见.


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