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数列求和常用方法


明大教育习题
数列求和方法 1、直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

?na1 (q ? 1) ? n (2)等比数列的求和公式 S n ? ? a1 (1 ? q ) (切记:公比含参数时一定要讨论) (

q ? 1) ? ? 1? q
2、错位相减法:比如 ?an ? ,?bn ? , a1b1 ? a2b2 ? .....? anbn . 3、裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式:

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? 2) 2 n n ? 2
n ? n!? (n ? 1)!?n!

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

4、分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。 5、累加法。 7、累乘法 8、其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等等 总结:运用等比数列前 n 项和公式时,要注意公比 q ? 1或q ? 1讨论。 2、错位相减法求和 例 1.已知数列 1,3a,5a 2 ,....., (2n ? 1)a n?1 (a ? 0) ,求前 n 项和。 思路分析:已知数列各项是等差数列 1,3,5,…2n-1 与等比数列 a , a, a ,?, a 用错位相减法求和。 解: S n ? 1 ? 3a ? 5a 2 ? .....? (2n ? 1)a n?1
0 2 n ?1

对应项积,可

?1? ?2?

aS n ? a ? 3a 2 ? 5a 3 ? ......? (2n ? 1)a n

?1? ? ?2?: (1 ? a)S n ? 1 ? 2a ? 2a 2 ? 2a 3 ? ......? 2a n?1 ? (2n ? 1)a n
-1-

明大教育习题
当a ?1 时, (1 ? a)S n ? 1 ? 当 a ?1 时, S n ? n 2

2a(1 ? a n?1 ) ? (2n ? 1) n (1 ? a) 2

Sn ?

1 ? a ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n?1 (1 ? a) 2

1 2 3 n 练习:求 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 变式 1: a a a a

? n(n ? 1) (a ? 1) ? ? 2 答案: S n ? ? a(a n ? 1) ? n(a ? 1) ? (a ? 1) ? a n (a ? 1) 2 ?

0

2.已知正项等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 12, 且 2a1 , a2 , a3 ? 1 成等比数列. (1)求 {a n } 的通项公式; (2)记 bn ?

an 3n

的前 n 项和为 Tn

-2-

明大教育习题
2、裂项相消法求和

? 1 ? 例 2.求数列 ? ? 的前 n 的和 S n . ? n(n ? 1) ?

? 1 ? 变式 2:1.求数列 ? ? 的前 n 的和 S n . ? n(n ? 2) ?

2.求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,...,

1 n ? n ?1

,前 n 项和.

3.求和 S n ?

2 2 2 ? ? .....? 思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

-3-

明大教育习题
3.分组求和法: 例 3.数列 1 ,3 ,5 ,7

1 2

1 4

1 8

1 ,…的前 n 项和 S n . 16

变式 3:已知等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 a 3 =5, S15 =225. (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)设 bn ? 2a n ? 2 n ,求数列{ b n }的前 n 项和 Tn .

4.累加法 例 4.已知数列 {a n } 的首项 a1 ? 1, a n?1 ? a n ? 2n , (1)求 a 4 ; 解:由 a n?1 ? a n ? 2n ,得 a 2 ? a1 ? 2 ? 1 a3 ? a 2 ? 2 ? 2

(2)求 a n

a 4 ? a3 ? 2 ? 3 ........ a n ?1 ? a n ? 2 ? 2 ? (n ? 2)
左右两边分别相加: a n ? a1 ? ?2 ? 2(n ? 1)?(n ? 1) / 2

a n ? a n ?1 ? 2 ? (n ? 1)

an ? n 2 ? n ? 1

-4-

明大教育习题
变式 4.已知数列 {a n } 的首项 a1 ? 1, an?1 ? an ? 3n ? 2 ,求 a n

5.累乘法: 例 5.已知数列 {a n } 的首项 a1 ? 1, 且 解:

a n ?1 ? 2n , (1)求 a 4 ; an

(2)求 a n

a a2 a ? 21 , 3 ? 2 2 , 4 ? 2 3 a1 a2 a3 a 2 a3 a 4 a 4 ? ? ? ? 21 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 6 a1 a 2 a 3 a1

a a2 a3 ? ? ? ? ? ? n ? 21 ? 22 ? ? ? ?2n?1 a1 a2 an?1
n ?n a 所以 n ? 2 2 a1
n2 ?n 2
2

an ? 2

变式 5.已知数列 {a n } 的首项 a1 ? 1, 且

a n ?1 ? 3 n ,求 a n an

-5-

明大教育习题
6.递推法:结构 an?1 ? pan ? q( p, q为常数且 p ? 1) 例 6.数列 {a n } 中, a1 ? 1, 对于 n ? 1(n ? N )有an ? 2an?1 ? 3, 求an . 解:设递推式可化为 an ? x ? 2(an ? x) ,得 an ? 2an?1 ? x, 解得x ? 3 . 故可将递推式化为 an ? 3 ? 2(an?1 ? 3)(n ? 1) 故构造数列 {bn }, bn ? an ? 3

bn ? 2bn?1 ,即

bn ? 2(n ? 1) ,?{bn } 为等比数列且公比为 2, bn?1

b1 ? a1 ? 3 ? 4,?bn ? 4 ? 2n?1 , an ? 3 ? 4 ? 2n?1,?an ? 4 ? 2n?1 ? 3
(四)巩固练习: 1.数列 {a n } 中, a1 ? 1, 对于 n ? 1(n ? N )有an ? 2an?1 ? 1, 求an

(2)设数列 {a n } 前 n 项的和 S n ? 2n 2 ? 1 ,求 a n

(3)已知数列 {a n } 前 n 项的和为 S n , S n ? (an ? 1)( n ? N ? ) ,求证;数列 {a n } 是等比数列.

1 3

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