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高一数学暑假复习十三——函数、方程、不等式、函数综合


高一数学暑假复习十三——函数、方程、不等式、函数综合 【知识梳理】 1、一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 根的分布 设 f ?x? ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? ,研究 f ?x ? 与 x 轴的交点情况。 (1)同侧分布

x1 , x2 ? ?? ,???

x1 , x2 ? ?? ?, ? ?

x1 , x2 ? ?? , ? ?

(2)异侧分布

x1 ? ? ? x2

x1 ? ? ? ? ? x2

2、讨论含参数方程解的问题的主要方法 方程 f ?x ? ? a 的解可以看成两个函数 y ? f ?x ?, y ? a 的交点横坐标 (1)已知一元二次方程两解的具体分布情况可用一元二次方程根的分布求解 (2)方程 f ?x ? ? a 在 x ? D 上解的个数即两个函数 y ? f ?x ?, y ? a 在 x ? D 上的交点个数 利用参变量分离加数形结合解决。 ( 3 ) 方 程 f ?x ? ? g ?x ? ( 其 中 y ? f ?x ?, y ? g ?x ? 是 两 个 不 同 类 型 的 函 数 ) 也 可 通 过 研 究 两 个 函 数

y ? f ?x?, y ? g ?x? 的交点来解决。
3、不等式恒成立问题 不等式 f ?x ? ? g ?x ? 反映的是两个函数 y ? f ?x ?, y ? g ?x ? 图像的位置关系 (1)函数思想

f ?x ? ? 0 在 x ? D 上恒成立,即 f ?x?min f ?x ? ? 0 在 x ? D 上恒成立,即 f ?x?max
(2)参变量分离

x?D

?0 ?0

x?D

f ?x ? ? a 在 x ? D 上恒成立,即 f ?x?min f ?x ? ? a 在 x ? D 上恒成立,即 f ?x?max
(3)数形结合

x?D

?a ?a

x?D

f ?x ? ? g ?x ? 在 x ? D 上恒成立,即在 x ? D 上 y ? f ?x ?的图像始终在 y ? g ?x ? 图像上方。
1

【巩固练习】 1、 (1)若关于 x 的方程 9 x ? ?a ? 4? ? 3x ? 4 ? 0 有实数解,求实数 a 的取值范围。

(2)若关于 x 的方程 k ? 9 x ? k ? 3x?1 ? 6?k ? 5? ? 0 在 x ? ?0,2? 上有实数解,求实数 k 的取值范围。

(3)若关于 x 的方程 4 x ? k ? 2 x ? k ? 3 ? 0 只有一个实数解,求实数 k 的取值范围。 (有两解、无解、有解)

2、 (1)实数 a 取何值时,方程 lg?x ? 1? ? lg?3 ? x ? ? lg?1 ? ax? 有一解、两解、无解?

(2)当 a 满足什么条件时,方程 lg x ? 20x ? lg?8x ? 6a ? 3? ? 0 有唯一解。
2

?

?

3、 (1)关于 x 的方程 a ? ? x ? 2 x ? a?a ? 0, a ? 1? 的解的个数是
x 2

(2)方程 sin x ? lg x 的实数根的个数是

4、求实数 a 的取值范围,使方程 x ? ?2 ? a?x ? ?5 ? a? ? 0 的两个相异实根都大于 2
2

x x?1 5、已知关于 x 的不等式 k ? 4 ? 2 ? 6k ? 0

(1)若不等式的解集为 x1 ? x ? log2 3 ,求实数 k 的值
2

?

?

(2)若不等式的解集为 x1 ? x ? log2 3 的子集,求实数 k 的取值范围

?

?

(3)若不等式对任意 x ? x1 ? x ? log2 3 恒成立,求实数 k 的取值范围

?

?

6、 (1)已知二次函数 f ?x? ? ax2 ? x?a ? R, a ? 0? ,如果 x ? ?0,1? 时,恒有 f ?x ? ? 1 ,求实数 a 的取值范围。

(2)已知不等式 ?1 ? a ?x 2 ? ?a ? 1?x ? 3 ? a ? 0 在 x ? ?? 2,2? 上恒成立,求实数 a 的取值范围。

(3)已知不等式 ?1 ? a ?x 2 ? ?a ? 1?x ? 3 ? a ? 0 在 x ? ?? 2,2? 上有解,求实数 a 的取值范围。

(4)已知不等式 ?1 ? a ?x ? ?a ? 1?x ? 3 ? a ? 0 在 x ? ?? 2,2? 上无解,求实数 a 的取值范围。
2

2 (5)已知不等式 m x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 对任意 m ? 2 恒成立,求实数 x 的取值范围。

(6)已知函数 f ?x? ? log3 2x ? 4 ? 2? x ? a 的定义域为一切实数,求实数 a 的取值范围。

?

?

3

2 x 8、 (1)若 a ? 0, a ? 1 ,关于 x 的不等式 x ? a ?

1 在 x ? ?? 1,1? 上恒成立,则 a ? 2

(2)若关于 x 的不等式 loga x ? x 2 在区间 ? 0, ? 上恒成立,求实数 a 的取值范围。

? ?

1? 2?

9、 (1)已知不等式 xy ? ax2 ? 2 y 2 对于任意 x ? ?1,2? , y ? ?2,3?恒成立,求实数 a 的取值范围。

2 3 2 (2)关于 x 的不等式 x ? 25 ? x ? 5 x ? ax 在区间 ?1,12? 上恒成立,求实数 a 的取值范围。

10、已知集合 M 是满足下列条件的函数 f ? x ? :在定义域内存在 x0 ,使得 f ?x0 ? 1? ? f ?x0 ? ? f ?1? 成立 (1)函数 f ? x ? ?

1 是否属于 M? x

(2)设函数 f ? x ? ? lg

a ? M ,求实数 a 的取值范围。 x ?1
2

x x 2 (3)设函数 y ? 2 图像与 y ? ? x 图像有交点,证明:函数 f ?x ? ? 2 ? x ? M

11、对于函数 y ? f ?x ? ?x ? D? ,同时满足以下条件: (1) f ? x ? 在 D 上是单调函数, (2)存在区间 ?a, b? ? D , 其中 ab ? 0 ,使得 f ? x ? 在区间 ?a, b? 上的值域也是 ?a, b? ,则称函数为闭函数。 (1)求闭函数 f ?x? ? x 符合条件的区间 ?a, b?
3

4

(2)判断函数 y ? 3x ? lg x 是不是闭函数?请说明理由。

(3)若函数 y ? k ?

x ? 2 是闭函数,求实数 k 的取值范围。

12、已知集合 M 是满足下列条件的函数 f ? x ? :存在非零常数 T ,对任意 x ? R ,有 f ?x ? T ? ? Tf ?x ? 成立 (1)函数 f ?x ? ? x 是否属于集合 M? (2)设函数 f ?x? ? a x ?a ? 0, a ? 1? 的图像与 y ? x 有交点,证明: f ?x? ? a x ? M (3)问是否存在实数 a ,使得 f ?x? ? x x ? a 属于集合 M 。若存在,求出实数 a ;若不存在,请说明理由。

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