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数列求和方法


数列求和方法
一、数列求和的常用方法有: 1 分组转化法:把数列的每一项分成若干项(或把数列的项重新组合) ,使其转化成等差或等比数列的求 和,这一求和方法称为分组转化法。 例如 数列 a n=2n+3n,其和 Sn=a1+a2+a3+?+an=(2+3)+(2· 2+32) + (2· 3+33)+?+(2n+3n) =2(1+2+3+?+n)+(3+32+33+?+3n)=n(n+1)+

3 n (3 ? 1) 2

2 裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差(即数列的每一项都按此法拆成两项之差) ,在求和时一些正 负项相互抵消,于是前 n 项的和变成首尾若干项之和,这一求和方法称为裂项相消法。

1 1 1 1 ? ( ? ) 的前 n 项和 n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ?( ? )?( ? )] 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 3 错位相减法:数列{ an · bn }的各项是由一个等差数列 {an } 与一个等比数列 {bn } 对应项乘积组成时,
例如 求数列 a n ? 求它和可采用错位相减法。步骤如下: (1)写出前 n 项和 S n 的表达式; (2)将上式两边乘以等比数列 {bn } 的公比 q ,得 q · S n 的表达式; (3)将两式相减得 S n - q · S n ,即可转化为求一个等比数列的和. 例如 求数列 an ? (2n ? 1)3n 的前 n 项和. ∵ Sn ? 1? 3 ? 3? 32 ? 5 ? 33 ? ?? ?(2n ? 3)3n?1 ? (2n ?1)3n ∴3 Sn ? 1? 32 ? 3? 33 ? 5 ? 34 ? ?? ?(2n ? 3)3 ? (2n ?1)3
n n?1

两式相减得:-2 Sn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? ?? ?2 ? 3n?1 ? 2 ? 3n ? (2n ?1)3n?1

3 2 (3 n ?1 ? 1) ? (2n ? 1)3 n ?1 = ? 6 ? 2(n ? 1)3n?1 3 ?1 ∴ S n ? 3 ? (n ? 1)3n?1 ? 3? 2
4 倒序相加法:将一个数列倒过来排列(倒序) ,当它与原数列各项相加时,若有公因式可提,并且提取 公因式后剩余的各项的和易于求得,这一求和方法称为倒序相加法。倒序相加法的操作 是:把“正着写的和”与“倒着写的和”相加,再去求解. 例如 已知函数 f(x)对任意 x∈R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? +? ? f (

n?2 n ?1 * )? f( ) ? f (1) , (n? N ) ,求 S n n n t t n?t 1 )? . 解:令 x ? (t=0,1,2,?,n) ,则有 f ( ) ? f ( n n n 2 1 2 3 n?2 n ?1 )? f( ) ? f (1) ?? ① ∵ S n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) +? ? f ( n n n n n n ?1 n?2 n?3 1 )? f( )? f( ) +? ? f ( ) ? f (0) 又∵ S n ? f (1) ? f ( ?? ② n n n n 1 n ?1 n ?1 1 )] +??+ [ f ( ) ? f ( )] ∴ ①+②得 2S n ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( n n n n 1 1 ? [ f (1) ? f (0)] ? ( n ? 1) ,∴ S n ? (n ? 1) 2 4
1

1 1 2 3 , S n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 n n n

5 公式法求和:所给数列的通项 an 是关于 n 的多项式,此时求和可用公式法求和. 常用公式有: ① S n =1+2+3+??+n =
n?n ? 1? ; 2

2 2 2 2 ② S n = 1 ?2 ?3 ? ?? ?n ?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) ; 6
2

? n ? n ? 1? ? 3 3 3 3 ③ S n = 1 ?2 ?3 ? ?? ? n ? ? ? ? 2 ?

; 等等.

二、例题讲解 求解“数列求和问题”时,应先分析数列的通项公式,从通项公式的形式去思考“用哪种求和方法”. 例 1、求和 S n =

1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2n
n

2n ? 1 ?1? 分析:∵an = = (2n ? 1) ? ? ,∴ 采用“错位相减法”求它的和 S n n 2 ? 2? 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 解: ∵ S n = ? 2 ? 3 ? ?? ? n ?1 ? ???? ① 2 2 2 2 2n 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 1 ∴①两边同乘以公比 得: ???? ② S n = 2 ? 3 ? ?? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 1 1 1 1 1 两式相减,得 S n - S n = + ? 2 ? ?? ? n ?1 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 2n ? 1 3 2 n ? 3 1 1 2n ? 1 3 2 2 即 Sn = + ? n?1 = ? n ?1 ? n ?1 = ? n ?1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 2n ? 3 ∴ Sn = 3 ? 2n 1 1 1
例 2、求数列 解:设 an ?

1? 2



2? 3

,??,

n ? n ?1

,??的前 n 项和.

n ?1 ? n ? n ? 1 ? n (裂项) n ? n ? 1 ( n ? n ? 1)( n ? 1 ? n ) 1 1 1 ? ? ?? ? 则 Sn ? 1? 2 2? 3 n ? n ?1 = ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ?? ?( n ? 1 ? n ) (相消) 1 ?
= n ? 1 ?1

(求和)

2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 例 3、求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ??? ? sin 88 ? sin 89 的值

分析:∵ sin x ? cos(90 ? x), sin x ? cos x ? 1 ,∴ 采用“倒序相加法”求这个和.
? 2 2
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 解:设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 将①式右边反序得 2 ? 2 ? 2 ? S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? s i n 3 ?si n 2 ?si n 1

???? ① ???? ②

①+②得 2S= (sin 1 ? sin 89 ) ? (sin 2 ? sin 88 ) ???? ? (sin 89 ? sin 1 )
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0

? (sin 2 10 ? cos2 10 ) ? (sin 2 20 ? cos2 20 ) ???? ? (sin 2 890 ? cos2 890 ) =89
∴S=44.5 例 4、求和 S n = 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n
2 2 2
2

解: 由 (k ? 1) 3 ? k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1 得
2

(k ? 1) 3 ? k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1,令 k=1、2、3、?、n 得 23 ? 13 ? 3 ? 12 ? 3 ? 1 ? 1; 33 ? 23 ? 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 1 43 ? 33 ? 3 ? 32 ? 3 ? 3 ? 1 ,
??,

(n ? 1) ? n ? 3n 2 ? 3n ? 1 把以上各式两边分别相加得: (n ? 1)3 ?13 ? 3(12 ? 22 ? ?? ?n2 ) ? 3(1 ? 2 ? ?? ?n) ? n n(n ? 1) =3 S n + 3 +n, 2 n(n ? 1) 1 2 ∴ 3 S n =(n+1)3-1- 3 - n = (n ? 1)[ 2(n ? 1) ? 3n ? 2] 2 2 1 因此, S n ? n( n ? 1)( 2n ? 1) 6 tan nx ?n 例 5、求证 tan x ? tan 2 x ? tan 2 x ? tan 3x ? ?? ? tan(n ? 1) x ? tan nx ? tan x tankx ? tan(k ? 1) x 点拨 考虑两角差的正切公式的变式 1 ? tan(k ? 1) x ? tan kx ? , tan[kx ? (k ? 1) x] tan kx ? tan(k ? 1) x 1 ?1 ? [tan kx ? tan(k ? 1) x] ? 1 即 tan(k ? 1) x ? tan kx ? tan x tan x 令 k=2,3,?,n 代入上式的 n ? 1 个等式,将这 n ? 1 个等式相加即得结论.
3 3

练习:
1、数列{an}的通项 an =n (n+1),求 S n ; 2、数列{an}的通项 an =(2n+1)3 ,求 S n ;
1 2 n 3、求和: Sn ? Cn ; ? 2Cn ? ?? ?nCn
n

22 42 (2n)2 ? ? ?? ? 4、求和 Sn= ; 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)
5、求数列

22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 , , ,? 前 n 项的和 S n . 22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1

练习参考答案: 1、∵an = n2+n, ∴由分组转化法及求和公式得 S n = n( n ? 1)( n ? 2) 2、由错位相减法求得 S n = 3
n ?1

1 3

n ; 3、由倒序相加法求得 S n = 2n n ;

(2n) 2 (2n) 2 ? 1 ? 2 2 1 1 ? ? 1? ? 1? ? 4、∵an = ,∴由分组转化 (2n - 1)(2n? 1) (2n - 1)(2n? 1) (2n - 1)(2n? 1) 2n - 1 2n ? 1 2n(n + 1) 法及裂项相消法求得 S n = ; 2n + 1 (n ? 1) 2 ? 1 (n ? 1) 2 ? 1 ? 2 2 1 1 5、∵an = , ? ? 1? ? 1? ? 2 2 n(n ? 2) n n?2 (n ? 1) ? 1 (n ? 1) ? 1 n(n + 3)(2n + 3) ∴由分组转化法及裂项相消法求得 S n = . 2(n + 1)(n + 2)

3


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