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2015届广东六校联盟第二次联考(理科)数学试题答案


启用前:绝密

2015 届广东六校联盟第二次联考试题

数学(理科)
(满分 150 分) 考试时间:120 分钟
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.每小题只有一个正确答案,请把正确答 案填涂在答题卡相应位置)

1.已知集合 A ? {x | ( ) x ? 1} , B ? {x | x ? 1} ,则 A A. ? B. R C. (0,1)

1 2

B?C

D. (??,1)

2. 命题:“ ?x ? R , x ≤0 ”的否定是 B A. ?x ? R , | x |? 0 C. ?x ? R , x ? 0 B. ?x ? R , | x |? 0 D. ?x ? R , | x |? 0

3.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 S7 ? 49,则 a2 , a6 的等差中项是 B A.

49 2

B. 7

C. ?7

D.

7 2

4.函数 f ( x) ? e 2 x 在点(0,1)处的切线的斜率是 C A. e 2 B. e C. 2 D. 1

5. 已知等边 ?ABC 的边长为 1,则 AB ? BC ? A

3 1 D. 2 2 6. 已知角 ? 终边上一点 P 的坐标是 (?2 sin 3,?2 cos 3) ,则 sin ? ? A
A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

A. ? cos 3

B. cos 3

C. ? sin 3

D. sin 3

7.数列 {a n } 中, a1 ? p, an?1 ? qan ? d ( n ? N*, p, q, d 是常数),则 d ? 0 是数列 {a n } 成等比数列 的 D A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件

8. 已知向量 OA, OB 不共线,向量 OC =xOA ? yOB ,则下列命题正确的是 D A. 若 x ? y 为定值,则 A、B、C 三点共线. B. 若 x ? y ,则点 C 在 ?AOB 的平分线所在直线上. C. 若点 C 为 ?AOB 的重心,则 x ? y = .

1 3

?0 ? x ? 1 ? D. 若点 C 在 ?AOB 的内部(不含边界),则 ?0 ? y ? 1 . ?x ? y ? 1 ?

2015 届广东六校联盟第二次联考理科数学试题 1 / 8

二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共计 30 分.)

? 9.已知函数 f ( x)=2 ln x ? sin x ,则 f ? ( ) =
2

4 ?



y 3

10. 已知函数 f ( x)=x3 ? m ? 2 是定义在 [n, n ? 4] 上的奇函数,则 m ? n =

0

.

5 6
O 1 3 x

11. 右图是函数 f ( x) ? Asin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分图象,则 ? =

? 6

.

?3

12.

?

0

?1

4 ? x 2 dx ?

3 ? + 2 3

.

13. 已知 a ? b ? c ? 1 , 且 a, 设 m= loga b,n ? logb c,p ? logc a , 则m , n, p 这 b, c 依次成等比数列, 三个数的大小关系为
p?m?n

.

14.给出下列命题: (1)设 e1、 e2 是两个单位向量,它们的夹角是 60 ,则 (2e1 ? e2 ) ? (?3e1 ? 2e2 ) ? ?
?

9 ; 2

(2)已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x ( x ? 1)
2 ?? x +1 ( x ? 1)

,若函数 y ? f ( x) ? m 有 3 个零点,则 0< m <1;

x (3)已知函数 f ? x ? ? 2 ? 1 的定义域和值域都是 ?a, b??b ? a ? ,则 a ? b =1;

(4)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ?[1 ? f ( x)] ? 1 ? f ( x),f (?1) ? 2 ? 3 ,则 f (2015)= 3 2 ? . 其中,正确命题的序号为 (1)(2)(3) .

三、解答题(本大题共六个小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)

15.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 2a cos C ? 2b ? c . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 21 , b ? 4 ,求边 c 的大小. 解:(1)因为 2a cos C ? 2b ? c ,所以

2s i n Ac o s C ? 2s i n B ?s i n C

? 2 sin ? A ? C ? ? sin C
? 2(sin A cosC ? cos A sin C ) ? sin C
………………………………4 分

即 sin C ? 2 cos A sin C , 又因为 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? 0 , 所以 cos A ?

1 , 2
2015 届广东六校联盟第二次联考理科数学试题 2 / 8

又因为 0 ? A ? ? 所以 A ?
2

?

3
2


2
2

………………………………8 分

(2) 因为 a ? b ? c ? 2bc cos A ,即 21 ? 16 ? c ? 4c 所以 c ? 4c ? 5 ? 0 ,解得 c ? ?1 (舍), c ? 5 .
2

………………………………12 分

16.(本小题满分 12 分) 已知正项等比数列 {a n } 中, a1 ? 1 ,且 2a1 , a3 ,3a2 成等差数列. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 bn ? (2n ? 1) ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 解:设等比数列 {an } 的公比为 q, 由 2a1 , a3 ,3a2 成等差数列知, 2a1 ? 3a2 ? 2a3 ,
2 ∴2q ? 3q ? 2 ? 0 ∵an ? 0 ∴q ? 2

………………………………4 分 ………………………………6 分

(1)∵a1 ? 1 ∴an ? 2n?1 (n ? N*) (2)∵bn ? (2n ? 1) ? an , an ? 2n?1 (n ? N*) ∴Tn ? 1 ? 3? 2 ? 5 ? 22 ? ?? (2n ?1) ? 2n?1.

∴2Tn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ?? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n. ∴? Tn ? 1 ? 2(2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n?1 ) ? (2n ?1) ? 2n.

……………8 分

2(1 ? 2n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n 1? 2 ? 2n?1 ? 3 ? (2n ? 1) ? 2n ? 1? 2 ? ? ?(2n ? 3) ? 2n ? 3.
∴Tn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3(n ? N*). ………………………………12 分

17.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? (1)求 f ( ) 的值;

?

? 3

) ? sin( 2 x ? ) ? 2 sin 2 x ? 1 . 6 6

?

(2)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调增区间; (3)说明 y ? f ( x ) 的图像是如何由函数 y ? sin x 的图像变换所得. 17.解: ∵ f ( x) ? sin( 2 x ?

?

) ? sin( 2 x ? ) ? 2 sin 2 x ? 1 6 6

?

? sin( 2 x ?

?

) ? sin( 2 x ? ) ? cos 2 x 6 6

?

? 3 sin 2 x ? cos2 x ? ? 2 sin( 2 x ? ) 6

………………………4 分

2015 届广东六校联盟第二次联考理科数学试题 3 / 8

(1) f ( )=2sin

?

?
2

3

?2

………………………6 分

(2)

f ? x ? 的最小正周期为
?
2 ? 2x ?

当 2k? ? 即 k? ?

?
6

? 2k? ?

?

2? ?? 2
2
( k ? Z),

………………………8 分

?
6

? x ? k? ?

?
3

( k ? Z)时,函数 f ( x) 单调递增,

故所求单调增区间为每一个 [k? ? (3)解法 1:

?

, k? ? ] ( k ? Z). 6 3

?

………………………11 分

? 个单位, 6 1 再把所得图像上的每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变), 2
把函数 y ? sin x 的图像上每一点的向右平移 再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变), 就得到函数 y ? f ( x ) 的图像. 解法 2: 把函数 y ? sin x 的图像上每一点的横坐标缩短到原来的 再把所得图像上的每一点的向右平移 .………………………14 分

? 个单位, 12

1 (纵坐标不变), 2

再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变), 就得到函数 y ? f ( x ) 的图像. .………………………14 分

18.(本小题满分 14 分)
2 已知数列 {an } 的首项 a1 ? a ,其前 n 和为 S n ,且满足 S n?1 ? S n ? 3(n ? 1) ( n ? N*).

(1)用 a 表示 a2 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)对任意的 n ? N*, an?1 ? an ,求实数 a 的取值范围. 解析:(1)由条件 n ? 1 得 a1 ? a 2 ? a1 ? 12 , a 2 ? 12 ? 2a . ………………………2 分 (2)由条件 S n?1 ? S n ? 3(n ? 1) 得, Sn ? Sn?1 ? 3n (n ? 2)
2
2

………………………3 分

两式相减得 an?1 ? an ? 6n ? 3 (n ? 2) , 解法 1: 故 an?2 ? an?1 ? 6n ? 9 , 两式再相减得 a n? 2 ? a n ? 6 (n ? 2) ,

? a2,a4,a6, ? 构成以 a2 为首项,公差为 6 的等差数列; a3,a5,a7, ?构成以 a3 为首项,公差为 6 的等差数列;………………………………5 分
由(1)得 a2n ? 6n ? 6 ? 2a ;
2015 届广东六校联盟第二次联考理科数学试题 4 / 8

由条件 n ? 2 得 a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a2 ? 27 ,得 a3 ? 3 ? 2a , 从而 a2 n?1 ? 6n ? 3 ? 2a ,

n ?1 ? a, ? an ? ? n ?3n ? (6 ? 2a)(?1) ,n ? 2
解法 2:

………………………………9 分

设 an?1 ? x(n ? 1) ? y ? ?(an ? xn ? y) ,即 an?1 ? ?an ? 2xn ? 2 y ? x 则?

??2 x ? 6 ? x ? ?3 ?? ??2 y ? x ? 3 ? y ? 0

? 有 an?1 ? 3(n ? 1) ? ?(an ? 3n)
n ?2 即 an ? 3n ? (6 ? 2a) ? (?1) ? n ? 2 时, an ? 3n ? (a2 ? 6) ? (?1)n?2, n ?1 ? a, ………………………………9 分 ? an ? ? n?2 ?3n ? (6 ? 2a)(?1) ,n ? 2

(3)对任意的 n ?N*, an?1 ? an , 当 n ? 1 时,由 a2 ? a1 ,有 3 ? 2 ? (6 ? 2a) ? a 得 a ? 4 ………①; 当 n ? 2 时,由 an?1 ? an ,有

3(n ?1) ? (6 ? 2a) ? (?1)n?1 ? 3n ? (6 ? 2a) ? (?1) n?2 ,即 3 ? (6 ? 2a) ? (?1)n?1 ? (6 ? 2a) ? (?1)n?2 9 若 n 为偶数,则 3 ? (6 ? 2a) ? 6 ? 2a 得 a ? ………②; 4 15 若 n 为奇数,则 3 ? (6 ? 2a) ? ?(6 ? 2a) 得 a ? ………③. 4 9 15 …………………………………………14 分 ?a? . 由①、②、③得 4 4
19.(本小题满分 14 分)

1 3 0) ,且在点 (3, 0) 处的切线的斜 x ? bx 2 ? cx ? d ,设曲线 y ? f ( x) 过点 (3, 3 率等于 4 , y ? f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,满足 f ?(2 ? x) ? f ?( x) .
已知函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) ; (2)设 g ( x) ? x

f ?( x) , m ? 0 ,求函数 g ( x) 在 [0,m] 上的最大值;
………………………………………1 分

(3)设 h( x) ? f ?( x) ? (2 x ? 1)t ,若 h( x) ? 4 对 t ? [0,1] 恒成立,求实数 x 的取值范围. 解:(1)求导可得 f ?( x) ? x 2 ? 2bx ? c ∵ f ?(2 ? x) ? f ?( x) , ∴ f ?( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,∴b ? 1 ……………2 分 又由已知有: f (3) ? 0,f ' (3) ? 4 ∴c ? 1,d ? ?3 ………………………………4 分

1 3 x ? x2 ? x ? 3 3 2 2 (2) f ?( x) ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ?1) ,
∴ f ( x) ?

………………………………………5 分

? x 2 ? x, x ? 1, ? g ( x) ? x ( x ? 1) 2 ? x x ? 1 ? ? 2 ? ? x ? x , x ? 1.

………………………………………7 分

2015 届广东六校联盟第二次联考理科数学试题 5 / 8

y
其图像如图所示.
2 当x ?x?

2

1 1? 2 时, x ? ,根据图像得: 1 4 2 1 (ⅰ)当 0 ? m ? 时, g ( x) 最大值为 m ? m 2 ; ?1 O 2 x 1 2 1 1 1? 2 (ⅱ)当 ? m ? 时, g ( x) 最大值为 ; 4 2 2 1? 2 2 (ⅲ)当 m ? 时, g ( x) 最大值为 m ? m . …………………………………10 分 2 (3) h( x) ? f ?( x) ? (2 x ? 1)t ? ( x ? 1) 2 ? (2 x ? 1)t ,
1? 2 2

记 g (t ) ? (2 x ? 1)t ? ( x ? 1) 2 ? 4 ,有

…………………………………………11 分

当 t ?[0, 1] 时, h( x) ? 4 ? g (t ) ? (2 x ? 1)t ? ( x ? 1) 2 ? 4 ? 0 ,
2 ? ?? 1 ? x ? 3 ? g (0) ? 0 ?( x ? 1) ? 4 ? 0 ? 只要 ? ?? ? ? ?1 ? x ? 2 , ? 2 ? ? g (1) ? 0 ?? 2 ? x ? 2 ?2 x ? 1 ? ( x ? 1) ? 4 ? 0

? 实数 x 的取值范围为 ?1 ? x ? 2 ,
20.(本小题满分 14 分)

…………………………………………14 分

设函数 f ( x) ? a ln x ? x2 ? bx(a, b ? R , a ? 0) ,且 x ?1 为 f ( x) 的极值点. (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调递减区间; (2)若 f ( x) ? 0 恰有两解,试求实数 a 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设 g ( x) ? f ( x ? 1) ? x 2 ? x ? 2 ,证明: ? 解:由已知求导得: f ?( x) ?

1 3n2 ? 5n ? ( n ? N* ) . (n ? 1)(n ? 2) k ?1 g ( k )
n

a ? 2x ? b , x x ? 1为 f ( x) 的极值点,? f ?(1) ? 0 , a ? b ? 2 ? 0 .

………………2 分

(1)当 a ? 1 时, b ? ?3 , 1 2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 进而 f ?( x) ? ? 2 x ? 3 ? , x x x 函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

1 ? f ( x) 的单调减区间为 ( ,1) . 2

………………………………4 分

(2)由 a ? b ? 2 ? 0 ,得 b ? ?a ? 2 ,则 f ( x) ? a ln x ? x2 ? (a ? 2) x , ( x ? 0) ,

f ?( x) ?

a (2 x ? a)( x ? 1) , ( x ? 0) , ? 2 x ? (a ? 2) ? x x

(ⅰ )当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 递减,在 (1, ??) 递增,则 f ( x) 的极小值为 f (1) ,

ln x ? x ?1 ,? f ( x) ? a( x ? 1) ? x2 ? (a ? 2) x ? x2 ? 2x ? a ,
则当 x ? ?? 时, f ( x) ? ?? , 又 当 x ? 0? 时, f ( x) ? ?? , ? 要使 f ( x) ? 0 恰有两解,须 f (1) ? 0 ,即 a ? ?1. 因此,当 ?1 ? a ? 0 时, f ( x) ? 0 恰有两解.

2015 届广东六校联盟第二次联考理科数学试题 6 / 8

(ⅱ )当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 (0, ) 、 (1, ??) 递增,在 ( ,1) 递减, 则 f ( x) 的极大值为 f ( ) , f ( x) 的极小值为 f (1) .

a 2

a 2

a 2

a a a2 a2 a a2 a2 a f ( ) ? a ln ? ? ( ? a ) ? a ( ? 1) ? ? ( ? a ) ? (a ? 8) , 2 2 4 2 2 4 2 4 a ? 当 0 ? a ? 2 时, f ( ) ? 0 ,此时 f ( x) ? 0 不可能恰有两解. 2 a a (ⅲ )当 a ? 2 时, f ( x) 在 (0,1) 、 ( , ??) 递增,在 (1, ) 递减, 2 2 a 则 f ( x) 的极大值为 f (1) , f ( x) 的极小值为 f ( ) . 2
f (1) ? ?a ? 1 ? 0 ,? 当 a ? 2 时, f ( x) ? 0 不可能恰有两解.
(ⅳ )当 a ? 2 时, f ( x) 在 (0, ? ? ) 单调递增, f ( x) ? 0 不可能恰有两解. 综合可得,若 f ( x) ? 0 恰有两解,则实数 a 的取值范围是 ?1 ? a ? 0 . (3)当 a ? 1 时, g ( x) ? f ( x ? 1) ? x2 ? x ? 2 ? ln( x ? 1) , 即证: ? ………………9 分

1 3n 2 ? 5n ? . (n ? 1)( n ? 2) k ?1 ln( k ? 1)
n

1 4 1 1 x 2 ? x2 设 h( x) ? ln x ? ( x 2 ? 1) , h?( x) ? ? ? , 4 x 2 2x 当 x ? 2 时, h?( x) ? 0 ,则 h( x) 在 (2, ? ? ) 递减, h( x) ? h(2) , 3 e3 ? 16 ,?3 ? ln16 ? 4ln 2 ,即 ln 2 ? , 4 3 1 ? h(2) ? ln 2 ? ? 0 ,? h( x) ? 0 ,即 ln x ? ( x2 ? 1) . 4 4 1 4 1 1 ? ? ? 2( ? ). ln x ( x ? 1)( x ? 1) x ?1 x ?1 1 1 1 ? 2( ? ), 令 x ? k ?1 ,得 ln( k ? 1) k k?2
(方法一)先证明:当 x ? 2 时, ln x ? ( x2 ? 1) . 则?
n 1 1 1 1 1 1 3n2 ? 5n ? 2? ( ? ) ? 2(1 ? ? ? )? . k ?2 2 n ? 1 n ? 2 (n ? 1)(n ? 2) k ?1 ln( k ? 1) k ?1 k n

…………14 分

(方法二)数学归纳法:

4 1 ,右边= , 3 ln 2 1 4 e3 ? 16 ,?3 ? ln16 ? 4ln 2 , ? ? ,即 n ?1 时,命题成立. ln 2 3 1 1 1 3k 2 ? 5k ? ? ? ? 2.设 n ? k 时,命题成立,即 . ln 2 ln 3 ln(k ? 1) (k ? 1)(k ? 2)
1.当 n ?1 时,左边= 当 n ? k ?1 时,左边=

1 1 ? ? ln 2 ln 3

?

1 1 3k 2 ? 5k 1 ? ? ? ln(k ? 1) ln(k ? 2) (k ? 1)(k ? 2) ln(k ? 2)

2015 届广东六校联盟第二次联考理科数学试题 7 / 8

右边= 要证

3(k ? 1) 2 ? 5(k ? 1) 3k 2 ? 11k ? 8 , ? (k ? 2)(k ? 3) (k ? 2)(k ? 3)

3k 2 ? 5k 1 3k 2 ? 11k ? 8 1 3k 2 ? 11k ? 8 3k 2 ? 5k ,即证 , ? ? ? ? (k ? 1)(k ? 2) ln(k ? 2) (k ? 2)(k ? 3) ln(k ? 2) (k ? 2)(k ? 3) ( k ? 1)( k ? 2) 1 4 1 ? 即证 ,也即证 ln(k ? 2) ? (k ? 1)(k ? 3) . ln(k ? 2) (k ? 1)(k ? 3) 4
令 k ? 2 ? x ,即证: ln x ? ( x2 ? 1) ,(证法见方法一) 因此,由数学归纳法可得命题成立. …………………………………………14 分

1 4

2015 届广东六校联盟第二次联考理科数学试题 8 / 8


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