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高中数学选修1-2教案


第一章 统计案例
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(一) 教学目标: (1).知识与技能:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用 (2).过程与方法:了解回归分析的基本思想、方法及初步应用 (3).情感,态度与价值观:充分利用图形的直观性,简捷巧妙的解题 教学重点:
了解线性回归模型与函数模型的差异,了解判断刻画模型拟合效果的方

法-相关指数和残差分析.

教学难点:
解释残差变量的含义,了解偏差平方和分解的思想.

教学方法:讲解法,引导法 教学过程: 一、复习准备:
1. 提问: “名师出高徒”这句彦语的意思是什么?有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗?这两者之间 是否有关? 2. 复习:函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两 个变量进行统计分析的一种常用方法,其步骤:收集数据 ?作散点图 ? 求回归直线方程 ? 利用方程进行 预报.

二、讲授新课:
1. 教学例题: ① 例 1 从某大学中随机选取 8 名女大学生,其身高和体重数据如下表所示: 1 2 3 4 5 6 7 8 编 号 165 165 157 170 175 165 155 170 身高/cm 48 57 50 54 64 61 43 59 体重/kg 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm 的女大学生的体重. (分析思路 ?教师演示 ?学生整理)
70 60 50 40 30 20 10 0 150 155 160 165 身高/cm 170 175 180

第一步:作散点图

体重/kg

第二步:求回归方程

第三步:代值计算

② 提问:身高为 172cm 的女大学生的体重一定是 60.316kg 吗? 不一定,但一般可以认为她的体重在 60.316kg 左右. ③ 解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上,观察上述散点图,我们可以发现女大学生的体重 y 和身高 x 之间的关系并不能用一次函数 y ? bx ? a 来严格刻画(因为所有的样本点不共线, 所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系) 在 . 数据表中身高为 165cm 的 3 名女大学生的体重分别为 48kg、57kg 和 61kg,如果能用一次函数来描述体重

与身高的关系, 那么身高为 165cm 的 3 名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其 他因素的影响,把这种影响的结果 e (即残差变量或随机变量)引入到线性函数模型中,得到线性回归模 型 y ? bx ? a ? e ,其中残差变量 e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于 0 时,线性回归模型就变成一次函数模型. 因此,一次函数模型是线性回归模型的特殊形式,线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数:相关系数的绝对值越接近于 1,两个变量的线性相关关系越强,它们的散点图越接近一条直 线,这时用线性回归模型拟合这组数据就越好,此时建立的线性回归模型是有意义.

三,课堂练习
1. 下列两个变量具有相关关系的是( ) A. 正方体的体积与边长 B. 人的身高与视力 C.人的身高与体重 D.匀速直线运动中的位移与时间 2. 在画两个变量的散点图时,下面哪个叙述是正确的( ) A. 预报变量在x 轴上,解释变量在 y 轴上 B. 解释变量在x 轴上,预报变量在 y 轴上 C. 可以选择两个变量中任意一个变量在 x 轴上 D. 可选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上 ? 3. 回归直线 ? ? bx ? a 必过( ) y ? A. (0, 0) B. ( x,0) C. (0, y) D. ( x, y) 4. r 越接近于 1,两个变量的线性相关关系 . 5. 已知回归直线方程 ? ? 0.5x ? 0.81 ,则 x ? 25 时,y 的估计值为 y

四,总结
求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.

五:作业:
一台机器使用的时间较长,但还可以使用,它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有 缺点,每小时生产有缺点零件的多少,随机器的运转的速度而变化,下表为抽样试验的结果: 16 14 12 8 转速 x (转/秒) 9 8 5 有缺点零件数 y (件) 11 (1)画散点图; (2)求回归直线方程; (3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个,那么机器的运转速度应控制 在什么范围内?

板书设计
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(一)

例1
第一步:作散点图 , 第二步:求回归方程 , 第三步:代值计算 解释线性回归模型与一次函数的不同 课堂练习: 总结:

作业:

课后反思:

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二) 教学目标: (1).知识与技能:通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型 (2).过程与方法:了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法,了解可用残差分析的方
法,比较两种模型的拟合效果.

(3).情感,态度与价值观:充分利用图形的直观性,简捷巧妙的解题 教学重点:了解评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点:了解评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学方法:讲解法,引导法 教学过程:
一、复习准备: 1.由例 1 知,预报变量(体重)的值受解释变量(身高)或随机误差的影响. 2.为了刻画预报变量(体重)的变化在多大程度上与解释变量(身高)有关?在多大程度上与随机误差 有关?我们引入了评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课: 1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和: (1)总偏差平方和:所有单个样本值与样本均值差的平方和,即 SST ? ? ( yi ? y ) 2 .
i ?1 n

y 残差平方和:回归值与样本值差的平方和,即 SSE ? ? ( yi ? ?i ) 2 .
i ?1

n

y 回归平方和:相应回归值与样本均值差的平方和,即 SSR ? ? ( ?i ? y ) 2 .
i ?1

n

(2)学习要领:①注意 y i 、 ?i 、 y 的区别;②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程 y

y y 度与残差变量的变化程度之和, ? ( yi ? y ) 2 ? ? ( yi ? ?i ) 2 ? ? ( ?i ? y ) 2 ; 即 ③当总偏差平方和相对固定时,
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

残差平方和越小,则回归平方和越大,此时模型的拟合效果越好;④对于多个不同的模型,我们还可以引 入相关指数 R 2 ? 1 ?

?(y
i ?1 n i ?1

n

i

? ?i ) 2 y
来刻画回归的效果, 它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. R 2 的值越

?(y

i

? y)2

大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合的效果越好. 2. 教学例题: 例 2 关于 x 与 Y 有如下数据: 2 4 5 x y 30 40 60

6 50

8 70

为了对 x 、 Y 两个变量进行统计分析,现有以下两种线性模型: ? ? 6.5x ? 17.5 , ? ? 7 x ? 17 ,试比 y y 较哪一个模型拟合的效果更好. 分析:既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和,也可分别求出两种模型下的 相关指数,然后再进行比较,从而得出结论. (答案: R
2 1

? 1?

y ?(y ? ? )

5

2

? ( y ? y)
i ?1 i

i ?1 5

i

i

2

155 ? 1? ? 0.845 , R22 ? 1 ? 1000

y ?( y ? ? )

5

2

? ( y ? y)
i ?1 i

i ?1 5

i

i

? 1?

2

180 ? 0.82 ,84.5%>82%,所以甲选用的模型拟 1000

合效果较好.)

三,课堂练习
1. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 4 2 销售额 y(万元) 49 26
∧ ∧ ∧ ∧

3 39

5 54 )

根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为( A. 63.6 万元 B. 65.5 万元 C. 67.7 万元 D. 72.0 万元

2.设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系,它们的相关系数是 r,y 关于 x 的回归直线的斜率是 b,纵 轴上的截距是 a,那么必有( ) A.b 与 r 的符号相同 B.a 与 r 的符号相同 C.b 与 r 的符号相反 D. a 与 r 的符号相反 3. 在一次抽样调查中测得样本的 5 个样本点数值如下表: x y 0.25 16 0.5 12 1 5 2 2 4 1

试建立 y 与 x 之间的回归直线方程.

四,总结
分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和,初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.

五:作业:
1.下列有关线性回归的说法,不正确的是 ( ) A.变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图 C.线性回归方程最能代表具有线性相关关系的 x,y 之间的关系 D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程 2. 在建立两个变量 拟合最好的模型是( A.模型 1 的相关指数 与 的回归模型中,分别选择了 4 个不同的模型,它们的相关指数 ) 为 0.98 B.模型 2 的相关指数 为 0.80 如下,其中

C.模型 3 的相关指数

为 0.50

D.模型 4 的相关指数

为 0.25

3. 为了研究某种细菌随时间 x 变化,繁殖个数 y 的变化,收集数据如下: 时间 x/天 1 2 3 4 繁殖个数 y 6 12 25 49 (1)用时间作解释变量,繁殖个数作预报变量,作出这些数据的散点图; (2)求 y 与 x 之间的回归方程; (3)描述解释变量与预报变量之间的关系,计算残差、相关指数 R2

5 95

6 190

板书设计
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二)

(1)总偏差平方和: 回归平方和: 残差平方和: 例 2 关于 x 与 Y 有如下数据
课堂练习: 总结:

作业:

课后反思:

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(三) 教学目标: (1).知识与技能:了解常用函数的图象特点,选择不同的模型建模,体会有些非线性模型通
过变换可以转化为线性回归模型。

(2).过程与方法:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. (3).情感,态度与价值观:通过本节课的学习,使学生学会对数据的收集,整理和分析. 教学重点:
通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了解在解决实际问题的过程中 寻找更好的模型的方法.

教学难点:
了解常用函数的图象特点,选择不同的模型建模,并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.

教学方法:讲解法,引导法 教学过程: 一、复习准备:

1. 给出例 3:一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关,现收集了 7 组观测数据列于下表中,试建立 y 与 x 之 间的回归方程. 21 23 25 27 29 32 35 温度 x / ? C 产卵数 y / 个 7 11 21 24 66 115 325 (学生描述步骤,教师演示) 2. 讨论:观察右图中的散点图,发现样本点并没有分布在某 区域内, 即两个变量不呈线性相关关系, 所以不能直接用线性 程来建立两个变量之间的关系.
350 300 250 200 150 100 50 0 0 10 20 温度 30 40

二、讲授新课:

1. 探究非线性回归方程的确定: ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域,可以选线 性回归 模型来建模;如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域,就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线 y= C1eC2 x 的周围(其中 c1 , c2 是待定 的参数) ,故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数,得 ln y ? c2 x ? ln c1 ,再令 z ? ln y ,则 z ? c2 x ? ln c1 ,而 z 与 x 间的关系如下: X 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 观察 z 与 x 的散点图,可以发现变换后样本点分布在一条直线的附近,因此可以用线性回归方程来拟合. ? ④ 利用计算器算得 a ? ?3.843, b ? 0.272 , z 与 x 间的线性回归方程为 z ? 0.272 x ? 3.843 ,因此红铃虫的产 卵数对温度的非线性回归方程为 ? ? e0.272 x ?3.843 . y ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题,可按“作散点图 ?建模 ? 确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换,将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、巩固练习: 为了研究某种细菌随时间 x 变化,繁殖的个数,收集数据如下: 1 2 3 4 5 天数 x/天 繁殖个数 y/个 6 12 25 49 95

产卵数

个带状 回归方

6 190

(1)用天数作解释变量,繁殖个数作预报变量,作出这些数据的散点图;

? (2)试求出预报变量对解释变量的回归方程.(答案:所求非线性回归方程为 y=e0.69 x?1.112 .)

四,课堂总结:用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤. 五,作业: 板书设计
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(三)

例 3:
1. 探究非线性回归方程的确定:
z

7 6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 x 30 40

7 6 5 4
z

3 2

三、巩固练习: 课堂总结: 五,作业:

1 0 0 10 20 x 30 40

课后反思:

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(四) 教学目标: (1).知识与技能:通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型 (2).过程与方法:了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法,了解可用残差分析的方法,
比较两种模型的拟合效果.

(3).情感,态度与价值观: :通过本节课的学习,使学生学会对数据的收集,整理和分析. 教学重点:通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了解在解决实际
问题的过程中寻找更好的模型的方法,了解可用残差分析的方法,比较两种模型的拟合效果.

教学难点:了解常用函数的图象特点,选择不同的模型建模,并通过比较相关指数对不同的模型进行
比较.

教学过程:
一、复习准备: 1. 提问:在例 3 中,观察散点图,我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数 y 和温度 x 间的关系, 还可用其它函数模型来拟合吗? 2. 讨论:能用二次函数模型 y ? c3 x2 ? c4 来拟合上述两个变量间的关系吗?(令 t ? x 2 ,则 y ? c3t ? c4 ,此 时 y 与 t 间的关系如下:

t y

441 7

529 11

625 21

729 24

841 66

1024 115

1225 325
y

400 300 200 100 0 0 500 t 1000 1500

观察 y 与 t 的散点图, 可以发现样本点并不分布在一条直线的周围, 因此不宜用线性回归方程来拟合它, 即不宜用二次曲线 y ? c3 x2 ? c4 来拟合 y 与 x 之间的关系. )小结:也就是说,我们可以通过观察变换后的 散点图来判断能否用此种模型来拟合. 事实上,除了观察散点图以外,我们也可先求出函数模型,然后利 用残差分析的方法来比较模型的好坏. 二、讲授新课: 1. 教学残差分析:

? ① 残差:样本值与回归值的差叫残差,即 ei ? yi ? ?i . y ② 残差分析:通过残差来判断模型拟合的效果,判断原始数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作 称为残差分析. ③ 残差图:以残差为横坐标,以样本编号,或身高数据,或体重估计值等为横坐标,作出的图形称为残 差图. 观察残差图,如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,这样的带 状区域的宽度越窄,模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高. 2. 例 3 中的残差分析: 计算两种模型下的残差

7 6 5 4
z

一般情况下,比较两个模型的 残差比较困难(某些样本点上一个 2 1 模型的残差的绝对值比另一个模型 的小,而另一些样本点的情况则相 0 0 10 20 30 40 反) ,故通过比较两个模型的残差的 平方和的大小来判断模型的拟合效 x 果. 残差平方和越小的模型, 拟合的 效果越好. 由于两种模型下的残差平方和 分别为 1450.673 和 15448.432,故 选用指数函数模型的拟合效果远远优于选用二次函数模型. (当然,还可用相关指数刻画回归效果) 三、巩固练习: 1.一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量,这里的解释变量是(B ) A、作物的产量 B、施肥量 C、试验者 D、降雨量或其他解释产量的变量 2、下列说法正确的有 ( C ) ①回归方程适用于一切样本和总体 ②回归方程一般都有时间性 ③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围 ④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值 A、①③ B、①② C、②③ D、③④ 3、已知回归直线方程中斜率的估计值为 1.23,样本点的中心(4 ,5) ,则回归直线方程为( A ) A、 y ? 1.23x ? 0.08 C、 y ? 1.23x ? 4
? ?

3

B、 y ? 0.08x ? 1.23 D、 y ? 1.23x ? 5
?

?

四,课堂总结:残差分析的步骤、作用 五,作业: 板书设计
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(四)

1. 教学残差分析: ③ 残差图: ② 残差分析: ① 残差: 例题 3
三、巩固练习: 课堂总结: 五,作业:

课后反思:

习题 1.1 (一课时) 教学目标 ㈠知识目标:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用 ㈡能力目标: ;了解回归分析的基本思想、方法及初步应用。 ㈢情感态度与价值观:学会用发展的眼光看问题,认识到事物都是在不断的发展、进化的,会用联系的观点看
待事物.

教学重点:了解线性回归模型与函数模型的差异,了解判断刻画模型拟合效果的方法-相关指数和残差分析. 教学难点:解释残差变量的含义,了解偏差平方和分解的思想 教学方法及学习方式:讨论式,指导学生的做题过程。 教学过程
1、 (1)由表中数据制作的散点图如下:

从散点图中可以看出 GDP 值与年份近似呈线性关系. (2)用

yt 表示 GDP 值, t 表示年份.

根据截距和斜率的最小二乘计算公式,得

? ? a ? ?14292537.729 , b ? 7191.969
从而得线性回归方程

? y ? 7191.969t ?14292537.729 .
残差计算结果见下表. GDP 值与年份线性拟合残差表 年份 残差 年份 残差 1993 1994 1995 1996 1997

?6422.269
1998

?1489.238
1999

3037.493
2000

5252.024
2001

4638.055
2002

1328.685

?2140.984

?1932.353

?1277.622

?993.791

(3)2003 年的 GDP 预报值为 112976.360,根据国家统计局 2004 年的统计,2003 年实际 GDP 值为 117251.9,所以预 报与实际相差 ?4275.540 . (4)上面建立的回归方程的 R 刻画 GDP 和年份的关系. 说明:关于 2003 年的 GDP 值的来源,不同的渠道可能会有所不同. 2、说明:本题的结果与具体的数据有关,所以答案不唯一. 3、由表中数据得散点图如下:
2

? 0.974 ,说明年份能够解释约 97%的 GDP 值变化,因此所建立的模型能够很好地

从散点图中可以看出,震级 x 与大于或等于该震级的地震数 N 之间不呈线性相关关系,随着 x 的减少,所考察的地 震数 N 近似地以指数形式增长. 做变换 得到的数据如下表所示.

y ? lg N ,

x
y

3 4.453 5.2 2.873

3.2 4.309 5.4 2.781

3.4 4.170 5.6 2.638

3.6 4.029 5.8 2.438

3.8 3.883 6 2.314

4 3.741 6.2 2.170

4.2 3.585 6.4 1.991

4.4 3.431 6.6 1.756

4.6 3.283 6.8 1.613

4.8 3.132 7 1.398

5 2.988

x
y

x 和 y 的散点图如下:

从这个散点图中可以看出 x 和 距和斜率的最小二乘计算公式,得

y 之间有很强的线性相关性,因此可以用线性回归模型拟合它们之间的关系.

根据截

? ? a ? 6.704 , b ? ?0.741,
故线性回归方程为

? y ? ?0.741x ? 6.704 .
因此,可以用回归方程

R2 ? 0.997 ,说明 x 可以解释 y 的 99.7%的变化.
间的关系.

? N ? 10?0.741x?6.704

描述 x 和 N 之

作业: 课后反思

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(一) 教学目标 (一)知识与技能:通过本节知识的学习,了解独立性检验的基本思想和初步应用,能对两个分类变量是否有关
做出明确的判断。明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体步骤,会对具体问题作出独立性检验。

(二)过程与方法:

在本节知识的学习中,应使学生从具体问题中认识进行独立性检验的作用及必要性,树立学

好本节知识的信心,在此基础上学习三维柱形图和二维柱形图,并认识它们的基本作用和存在的不足,从而为学习下面作好 铺垫,进而介绍 K 的平方的计算公式和 K 的平方的观测值 R 的求法,以及它们的实际意义。从中得出判断“X 与 Y 有关系” 的一般步骤及利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系, 并能较准确地给出这种判断的可靠程度的具体做法和可信程 度的大小。最后介绍了独立性检验思想的综合运用

(三)情感、态度与价值观:通过本节知识的学习,首先让学生了解对两个分类博变量进行独立性检验的必要
性和作用,并引导学生注意比较与观测值之间的联系与区别,从而引导学生去探索新知识,培养学生全面的观点和辨证地分 析问题,不为假想所迷惑,寻求问题的内在联系,培养学生学习数学、应用数学的良好的数学品质。加强与现实生活相联系, 从对实际问题的分析中学会利用图形分析、解决问题及用具体的数量来衡量两个变量之间的联系,学习用图形、数据来正确 描述两个变量的关系。明确数学在现实生活中的重要作用和实际价值。教学中,应多给学生提供自主学习、独立探究、合作 交流的机会。养成严谨的学习态度及实事求是的分析问题、解决问题的科学世界观,并会用所学到的知识来解决实际问题。

教学重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点:了解独立性检验的基本思想、了解随机变量 K 2 的含义. 教学方法:诱思探究教学法 学习方法:自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。 教学过程:
一、复习准备: 回归分析的方法、步骤,刻画模型拟合效果的方法(相关指数、残差分析) 、步骤. 二、讲授新课: 1. 教学与列联表相关的概念: ① 分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. 分类变量的取值一定是离 散的,而且不同的取值仅表示个体所属的类别,如性别变量,只取男、女两个值,商品的等级变量只取一 级、二级、三级,等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示,但这时的数字除了分类以外没有其他的含 义. 如用“0”表示“男” ,用“1”表示“女”. 不患肺癌 患肺癌 总计

7775 42 7817 ② 列联表:分类变量的汇总统计表(频数表). 一般我们只研究 不吸烟 2099 49 2148 每个分类变量只取两个值,这样的列联表称为 2 ? 2 . 如吸烟与患 吸 烟 肺癌的列联表: 9874 91 9965 总 计 2. 教学三维柱形图和二维条形图的概念: 由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异. (教师在课堂上用 EXCEL 软件演示三 维柱形图和二维条形图,引导学生观察这两类图形的特征,并分析由图形得出的结论) 3. 独立性检验的基本思想: ① 独立性检验的必要性(为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论?) :列联表中的数据是样本数据, 它只是总体的代表,具有随机性,故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体. ② 独立性检验的步骤(略)及原理(与反证法类似) : 反证法 假设检验 要证明结论 A 备择假设 H 1 在 A 不成立的前提下进行推理 推出矛盾,意味着结论 A 成立 在 H 1 不成立的条件下,即 H 0 成立的条件下进行推理 推出有利于 H 1 成立的小概率事件(概率不超过 ? 的事件)发 生,意味着 H 1 成立的可能性(可能性为(1- ? ) )很大

没有找到矛盾,不能对 A 下任 推出有利于 H 1 成立的小概率事件不发生,接受原假设 何结论,即反证法不成功 ③ 上例的解决步骤 第一步:提出假设检验问题 H 0 :吸烟与患肺癌没有关系 ? H 1 :吸烟与患肺癌有关系

n(ad ? bc)2 (它越小,原假设“H 0 :吸烟与患肺癌没有 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 关系”成立的可能性越大;它越大,备择假设“H 1 :吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大. 第三步:查表得出结论 P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 三,例题讲解 1.三维柱形图中柱的高度表示的是( ) A .各分类变量的频数 B .分类变量的百分比 C .分类变量的样本数 D .分类变量的具体值 解析: 三维柱形图中柱的高度表示图中各个频数的相对大小.选 A
第二步:选择检验的指标

K2 ?

2. 统计推断,当______时,有 95 %的把握说事件 A 与 B 有关;当______时,认为没有充分的证据显示 事件 A 与 B 是有关的. 解析:当 k ? 3.841时,就有 95 %的把握说事件 A 与 B 有关,当 k ? 2.076 时认为没有充分的证据显示事件 A 与 B 是有关的. 3.为了探究患慢性气管炎与吸烟有无关系,调查了却 339 名 50 岁以上的人,结果如下表所示,据此数据请 问:50 岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关系吗? 患慢性气管 炎 吸烟 不吸烟 合计 43 13 56 未患慢性气 管炎 162 121 283 205 134 339 合计

分析:有表中所给的数据来计算 K 的观测值 k,再确定其中的具体关系. 解:设患慢性气管炎与吸烟无关. a=43,b=162,c=13,d=121,a+b=205,c+d=134,

2

a+c=56,b+d=283,n=339 所以 K 的观测值为 k ? 管炎与吸烟有关. 四,课后练习: 1. 在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两 个变量有关系的可能性就( A.越大 B.越小 ) C.无法判断 D.以上都不对
2

n(ad ? bc) 2 ? 7.469 .因此 k ? 6.635 ,故有 99%的把握认为患慢性气 (a ? b)(c ? d )(a ? c )(b ? d )

2.下列关于三维柱形图和二维条形图的叙述正确的是: ( ) A .从三维柱形图可以精确地看出两个分类变量是否有关系 B .从二维条形图中可以看出两个变量频数的相对大小,从三维柱形图中无法看出相对频数的大小 C .从三维柱形图和二维条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系 D .以上说法都不对 3.对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 K ,说法正确的是() A B C D . . . . k k k k 越大," X 与 Y 有关系”可信程度越小; 越小," X 与 Y 有关系”可信程度越小; 越接近于 0," X 与 Y 无关”程度越小 越大," X 与 Y 无关”程度越大 )
2

4. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是(
2

A.若 K 的观测值为 k=6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系, 那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病; B.从独立性检验可知有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有 99%的可能患 有肺病; C.若从统计量中求出有 95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5% 的可能性使得推判出现错误; D.以上三种说法都不正确. 2 5.若由一个 2*2 列联表中的数据计算得 k =4.013,那么有 性别 男 女 专业 非统计专业 13 7 把握认为两个变量有关系 统计专业 10 20

6.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表:

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到

k?

50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7)2 ? 4.844 23 ? 27 ? 20 ? 30
2

因为 K ? 3.841 ,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为 ____; 7.在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人。女性中有 43 人主 要的休闲方式是看电视,另外 27 人主要的休闲方式是运动;男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视,另 外 33 人主要的休闲方式是运动。 (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关系。 参考答案 1.A 2.C 3.B 4.C

5. 95%

6. 5%

7.解: (1)2×2 的列联表 性别 休闲方式 女 男 总计 计算 看电视 43 21 64 运动 27 33 60 总计 70 54 124

(2)假设“休闲方式与性别无关”

124 ? (43 ? 33 ? 27 ? 21)2 ? 6.201 70 ? 54 ? 64 ? 60 因为 k ? 5.024 ,所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的, k?
即有 97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关” 五,课时小结你能根据上例“吸烟与患肺癌的案例探究”总结 “独立性检验”的具体做法步骤 第一步:根据实际问题需要的可信程度确定临界值; 第二步:利用公式计算随机变量 K 的观测值 k; 第三步:查对临界值表得出结论. 六,布置作业: 七,板书设计
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(一) 一,复习准备 二,讲授新课 三,例题讲解 1. 2. 四,课堂练习 五,课堂总结
2

3. 课后反思

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(二) (一)知识与技能。了解独立性检验的基本思想,方法及初步应用 (二)过程与方法:
:通过典型案例探究解决问题。了解独立检验的基本思想,方法。

(三)情感、态度与价值观:通过本节知识的学习,培养学生对数据烦的直观感觉,体会统计方法引用的广泛
性。

教学重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点:了解独立性检验的基本思想、了解随机变量 K 2 的含义. 教学方法:诱思探究教学法 学习方法:自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。
教学过程: 一、复习准备: 独立性检验的基本步骤、思想 二、讲授新课: 1. 教学例 1: 例 1 在某医院,因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中,有 214 人秃顶;而另外 772 名不是因为患心脏 病而住院的男性病人中有 175 名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系? 你所得的结论在什么范围内有效? ① 第一步:教师引导学生作出列联表,并分析列联表,引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论; 第二步:教师演示三维柱形图和二维条形图,进一步向学生解释所得到的统计结果; 第三步:由学生计算出 K 2 的值; 第四步:解释结果的含义. ② 通过第 2 个问题,向学生强调“样本只能代表相应总体” ,这里的数据来自于医院的住院病人,因此题 目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体,而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误,除非有 其它的证据表明可以进行这种推广. 2. 教学例 2: 例 2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系, 在某城市的某校高中生中随机抽取 300 名学生, 得到如下列联表: 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总 计 37 85 122 男 35 143 178 女 72 228 300 总 计 由表中数据计算得到 K 2 的观察值 k ? 4.513 . 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有 关系?为什么? (学生自练,教师总结) 强调:①使得 P( K 2 ? 3.841) ? 0.05 成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.如果这 个前提不成立,上面的概率估计式就不一定正确; ②结论有 95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义; ③在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后,可直接计算 K 2 的值解决实际问题,而没有必要画 相应的图形,但是图形的直观性也不可忽视. 3. 小结:独立性检验的方法、原理、步骤 三、巩固练习:
练习(P15) 列联表的条形图如图所示.

由图及表直观判断,好像“成绩优秀与班级有关系”. 因为 K 的观测值 k 克重,在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,不能认为“成绩与班级有关系”.

2

? 0.653 ? 6.635 ,由教科书中表 1-11

说明: (1)教师应要求学生画出等高条形图后,从图形上判断两个分类变量之间是否有关系. 这里通过图形的直观感觉 的结果可能会出错. (2)本题与例题不同,本题计算得到的 K 的观测值比较小,所以没有理由说明“成绩优秀与班级有关系”. 这与反 证法也有类似的地方,在使用反证法证明结论时,假设结论不成立的条件下如果没有推出矛盾,并不能说明结论成立也不能 说明结论不成立. 在独立性检验中,没有推出小概率事件发生类似于反证法中没有推出矛盾.
2

五,课时小结你能根据上例“吸烟与患肺癌的案例探究”总结 “独立性检验”的具体做法步骤 第一步:根据实际问题需要的可信程度确定临界值; 第二步:利用公式计算随机变量 K 的观测值 k; 第三步:查对临界值表得出结论. 六,布置作业: 七,板书设计
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(二) 一,复习准备 二,讲授新课 三,例题讲解 1. 2. 四,课堂练习 五,课堂总结
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课后反思


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