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高中数学高考高三理科一轮复习资料第7章 7.4 直接证明与间接证明


高中数学 7.4 直接证明与间接证明 考纲点击 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了 解分析法和综合法的思考过程、特点. 2.了解间接证明的一种基本方法——反证法,了解反证法 的思考过程、特点. 说基础 课前预习读教材 考点梳理 1.综合法 一般地,利用①__________________________________, 经过一系列的② __________ ,最后推导出所要证明的结论成 立,这种证明方法叫做综合法. 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示 所要证明的结论,则综合法可用框图表示为: P?Q1 ―→ Q1?Q2 ―→ Q2?Q3 ―→?―→ Qn?Q 2.分析法 一般地,从要③__________出发,逐步寻求使它成立的④ __________,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.这种证明 的方法叫做分析法. 用 Q 表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为: 得到一个明显 Q?P1 ―→ P1?P2 ―→ P2?P3 ―→?―→ 成立的条件 3.反证法 一般地,假设⑤__________,经过正确的推理,最后得出 ⑥__________,因此说明⑦__________,从而证明了原命题成 立,这样的证明方法叫做反证法. 答案:①已知条件和某些数学定义、公理、定理等 ②推 理论证 ③证明的结论 ④充分条件 ⑤原命题不成立 ⑥ 矛盾 ⑦假设错误 考点自测 1.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大 于 60° ”时,假设正确的是( ) A.假设三内角都不大于 60° B.假设三内角都大于 60° C.假设三内角至多有一个大于 60° D.假设三内角至多有两个大于 60° 解析:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定, 即“三内角都大于 60 度”.故选 B. 答案:B 2.若 a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是( ) A.lg(1+a2)>0 B.a2+b2≥2(a-b-1) a a+ 1 2 2 C.a +3ab>2b D.b< b+ 1 解析:在 B 中,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2 +2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0, ∴a2+b2≥2(a-b-1)恒成立. 答案:B 1 1 1 3.设 a,b,c∈(-∞,0),则 a+ ,b+ ,c+ ( ) b c a A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2 1 1 1 解析:因为 a+b+b+c+c+a≤-6,所以三者不能都大 于-2. 答案:C 4.若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( 1 1 A.a<b B.a2>b2 a b C. 2 > 2 D.a|c|>b|c| c +1 c +1 ) 解析:由 a、b、c∈R,a>b,A 中若取 a=2,b=-1, 1 1 有 a>b,而a<b不成立,所以 A 错;B 中若取 a=-1,b=- a b 2 2 2,有 a>b,而 a <b ,不成立,所以 B 错;C 中 2 > 2 c +1 c +1 正确;D 中,当 c=0 时,a|c|>b|c|不成立. ∴选 C. 答案:C 5.设 a= 3+2 2,b=2+ 7,则 a,b 的大小关系为 ________. 解析:a= 3+2 2,b=2+ 7两式的两边分别平方,可 得 a2=11+4 6,b2=11+4 7,显然,

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