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压电自感知悬臂梁振动的主动控制研究


Vol . 25  No. 1                                 第25卷 第1期 固 体 力  学 报 学 2004年   月 3 March   2004 ACTA MECHANICA SOL IDA SINICA

压电自感知悬臂梁振动的主动控制研究
王  波
2

1. 3

>
  殷学纲

1 ,2

  黄尚廉

2

( 1 重庆大学资源环境学院力学系 ,重庆 ,400024) ( 重庆大学光电技术及系统教育部重点实验室 ,重庆 ,400024) ( 3 重庆工商大学理学院 ,重庆 ,400020)

摘    要 利用压电片的正逆压电效应 ,提出了一种基于分时结构的自感知作动器 ,将压电片作为传感器和作 动器的功能在时间上进行分离 ,以实现用同一压电片在作动与传感之间的功能切换 ,并探讨了其用于主动控制的 可行性 . 对一悬臂梁的振动主动控制研究表明该自感知作动器在实际上是可行的 . 关键词   自感知作动器 ,主动控制 ,悬臂梁

0  引言

动控制存在着几个难点 . 其一是压电片电容难以精 确测定 、 电桥电容易引起波形畸变 . 其二是交流电桥 无法达到绝对平衡 . 即使悬臂梁没有任何振动 ,电桥 的输出也不为零 . 其三是由于分压作用 ,要求足够大 的控制电压 ,增加了系统的能量消耗 . 同时 , 这种电 桥型自感知作动器要求对每一个压电片都有独立的 电桥 . 如果使用多个压电片进行控制则会使电路变 得更为复杂 . 另一种有效的方法是利用压电片的正逆压电效 应将压电片作为传感器与作为作动器的功能在时间 上进行分离 ,使同一个压电片在某一时间段作为传 感器而在下一时间段作为作动器 . 如此 ,在传感器与 作动器之间交替切换 , 使作动器同时也具有传感器 的作用 . 它可以并联多个压电片 ,并且不受压电片之 间差异的影响 . 图 1 为其工作原理简图 . 本文就利用 这种方法对一悬臂梁的振动进行了主动控制的研 究.

压电材料由于具有显著的优点而被广泛地用作 传感器和执行器 . 目前 , 在压电智能结构的研究中 , 压电传感器与压电作动器大都是分离的 , 使真正的 同位控制难以实现 . 如果粘贴的位置不精确 ,就会影 响系统的控制效果 ,甚至引起失稳现象 ,同时也增加 了结构的重量和布线方面的困难 . 特别是在独立模 态的控制中 ,每增加一个受控模态 ,则就要多增加 2 个压电片 ,这在实际上是不可行的 . 因此 , 减少传感 器与执行器的数量可使上述问题得到一定程度的解 决 ,这对于较为复杂的结构和被控模态数量要求较 多的系统尤其重要 . 将作动器与传感器统一在一起是一种有效的方 法 . Dosch 和 Inman 于 1992 年提出了自感知主动控 制概念 ,并设计了一个桥式电路将感应信号从作动 电压中提取出来 , 实现了自感知主动控制 . Anderson
E H 等利用一个并联在压电作动器两端的参考电容

来得到其应变信号 . Chaudhry Z A 等用阻抗分析仪 测量电路的阻抗而得到 PZT2结构的机电耦合阻抗 , 号
[2 ]

[1 ]

Ξ

并通过频率扫描的方法得到了压电元件的传感信
. 徐明龙也设计了一种电桥来实现自感知控制 ,
[3 ]

并用实验分析了这种方法的优缺点 . Yellin J M 和
[4 ]

Shen 将自感知技术应用到主被动阻尼控制中 , 并通
图1  工作原理简图
[5 ]

过实验验证了这种方法可行性 . 同时 ,Shen 从理论 上对此方法进行了分析 . 最近 ,董维杰等还利用桥 式自感知作动器进行了悬臂梁振动控制的研究 .
[6 ]

1  实验研究 1. 1   独立模态空间控制
[8 ]

这种基于电桥电路的压电自感知执行器用于振

Ξ 国家自然科学基金 (50135030) 资助 .

2002207201 收到第 1 稿 ,2002210218 收到修改稿 .

                      固体力学学报                     2004 年 第 25 卷 ?1 0 8 ?

对于线性系统具有反馈控制的结构的离散化一 般动力学方程可以写作 ( 1) Mx + Dx + Kx = bc f c ¨ 其中 : M 、 、 分别是系统的惯性矩阵 、 D K 粘性阻尼矩 阵、 刚度矩阵 ,三者是对称的 . bc 为控制载荷分布矩 阵 , f c 是控制力量 . 若 D 阵满足在系统实模态空间 中的解耦条件 ,可对式 ( 1) 进行模态坐标变换 x ( t ) = Φq ( t )
( 2) Φ 是无阻尼开环系统的标准化模态矩阵. 由 其中 : 此 ,式 ( 1) 变为 2 T ¨ ω q q + diag[ 2ζ i ] ?+ diag[ ωi ] q = Φ bc f c ( 3) i

其中 : pc = [ q c   q c ] , A =
Bp =

T

T

0 - Kqc

I

- Dqc

,  

0

ΦcT bc

.

式 ( 6) 等价于 l 个单度系统方程
pi = A i pi + B pi f ci ,  i = 1 , …, l

( 7)

   对式 ( 7) 应用 LQR ,则得到在独立模态空间控制 下的优化控制力 . 其二次性能指标为 1 ∞ T ( p i Qi pi + f T ri f ci ) d t ,  i = 1 , …, l Ji = ci 2 0 ( 8)



其中 : ωi 是开环无阻尼系统的第 i 阶固有频率 ,ζ i 是开环系统的第 i 阶模态阻尼比 . 利用模态截断技术 ,把 Φ 分块为 [ Φc Φr ] ,故 Φ x ( t ) = [ Φc   r ]
qc qr

其最优控制为
f ci = - r i B pi G{ pi }
-1 T

( 9)

( 4)

其中 , G 为对称正定的反馈增益矩阵 , 满足下述的 Riccati 方程 T -1 T - GA i - A i G + GB pi r i B pi G - Qi = [ 0 ] ( 10)    无论受控系统是否稳定 , 只要各 Qi 是半正定 的 ,则所求得的闭环最优系统总是渐进稳定的 ,且具 有 60° 的相位裕量 . 1. 2   系统参数及结构 以智能柔性悬臂梁为例进行振动主动控制. 悬 臂梁的各参数分别为 : 梁长 l = 1 000 mm , 厚 b = 1
mm ,宽 a = 29 mm. 材料的弹性模量 E = 2. 0 ×10
12 4 11

其中 :Φc 为由 l 个低阶模态组成的保留模态集 , 此 即为受控模态集 . Φr 为剩余模态集 . 在受控的低阶 模态子空间中 ,系统的闭环动力学方程为 T ¨ ? qc + Dqc q c + Kqc qc = Φc bc f c
2

( 5)

其中 : Dqc = diag[ 2ζω ] , Kqc = diag[ ωc ] . 再把式 ( 5 ) c c 转变为状态空间方程 , 则可得到闭环系统的受控模 态2状态方程 ( 6) pc = Apc + B pf c

Pa ,截面惯性矩 I = 2. 416 667 × 10 m . 将梁分为 12

个单元 ,各节点的编号与坐标如表 1.

表1  悬臂梁节点坐标 节点号 坐标Π mm
1 15 2 75 3 200 4 300 5 400 6 514 7 546 8 600 9 700 10 800 11 900
[9 ]

12 1 000

用此有限元模型解出该梁的前 2 阶固有频率如表 2 ,系统结构如图 2 所示 .
表 2   2 阶固有频率 前 阶数 Ⅰ ω rad?- 1 Π s
1 5. 11 1 32. 00

1. 3   压电执行器的点力模型

图2  系统结构图

采用 Bernoulli2Euler 模型 ,只考虑压电片的轴向 压电效应 . 假设粘贴层比梁和压电片的厚度小得多 ,
图3  压电执行器

并为理想粘贴 ,且应变沿压电片成线性分布 . 图 3 为 压电片的点力模型 . 等效节点的弯矩为 : M = ( Ep Ip
+ Eb Ib ) S , 其中 , S = 6 ( 1 + T) d31 V , 2 2 t p t b (4 + Ω + 6 T + 4 T + ΩT )

第 1 期               王 波等 :   压电自感知悬臂梁振动的主动控制研究                 ?1 0 9 ?

T=

tp Eb t b ,Ω = , t p 、b 分别是压电片与梁的厚度 , t tb Ep t p

Ep 、 b 则为压电片与梁的弹性模量 , Ip 、b 则为压电 E I

片与梁的惯性矩 , d31 为压电片的应变压电常数 , V

为控制电压 . 1. 4   压电片参数 用 1 对压电执行器 , 分别粘贴于第 2 与第 7 单 元处 . 压电片的有关参数为见表 3.

表3  压电片的有关参数
EpΠ Pa d31Π ? v m
-1

压电片 A (2 单元处) 压电片 B (7 单元处)

6. 3 × 10 6. 3 × 10

10

1. 2 × 10 1. 2 × 10

- 10

5. 5 × 10 5. 5 × 10

10

- 10

2  实验结果及讨论 2. 1   实验结果

在梁的自由端给予 2 cm 的初始位移 ,采用线性 二次优化独立模态控制理论 , 用一对压电片对上述 的悬臂梁的前两价模态进行了振动主动控制. 实验 结果如下图

道 ,开关切换频率会成倍增加 ,各个压电片的作用时 间也会成倍减少 . 如何合理地分配各压电片之间的 时间比例 ,以使某一受控主模态受到有效抑制是一 个有待研究的问题 . (2) 实验中 ,由于受控模态为前二阶模态 , 时滞 影响并不明显 . 根据设计原理 ,本系统的最大时滞可 认为是一个完整转换周期的一半. 如果时滞超过系 统的最大允许时滞时 ,会导致系统的不稳定 . Agrawal 等人对存在时滞时的单自由度结构控制系统的稳定 性进行了分析 ,并利用控制系统的特征方程 ,导出了 [7 ] 临界时滞的计算公式 . 研究表明 ,随着时滞向最大 允许时滞的接近 ,控制系统的性能明显下降 . 但当时 滞小于 0. 6 倍最大允许时滞时 , 控制系统的性能下 降并不明显 . 由前面的计算可知 ,第二阶模态的圆频 率为 32. 00 ( radΠ ) , 即其频率约为 5. 1 ( 1Π ) , 而系统 s s 的一个闭环周期为 100 μs ,其频率为 10 000 ( 1Π ) . 如 s 所控模态包含高价模态 , 则必然要求考虑系统时滞 所产生的系统不稳 ,应采用一定的时滞补偿 . ( 3) 对输入输出电路进行结构集成 , 这样不但 可以有效地减少电路本身所带来的噪声影响 , 还可 以使控制电路有广泛的移植性 . ( 4) 压电片的尺寸与位置优化问题. 对于作动 参      考 文 献
tion: analysis and application to controlled structures. Proc of the 33rd AIAA SDM Conference , AIAA , 1992 ,2141~2155 aircraft via piezoelectric actuatorΠ sensor patches. SPIE , 1995 ,

图4  一阶模态控制效果

图5  二阶模态控制效果

2. 2   结果及讨论

由以上的实验结果可以明显看出 , 采用分时结 构的自感知作动器能够实现压电片自感知、 自执行 的功能 ,对一悬臂梁的一 、 二阶模态振动控制也有十 分明显的效果 . 但同时还存在着以下的几个主要问 题有待进一步研究 : ( 1) 本次实验中 , 两个压电片共用一个输入输 出电路 ,这样可充分发挥电路的利用率 . 当一个压电 片作为作动器起作用时 , 另一个压电片就作为传感 器 . 当采用多个压电片时 ,由于共用一个输入输出通

器与传感器的优化问题已有不少的研究报告和成 果 ,但对于自感知作动器的优化问题目前国内外还 少有报告 .

1  Anderson E H , Hagood N W. Self2sensing piezoelectric actua2 2  Chaudhry Z A , Joseph T et al. Local2area health monitoring of

厚度 taΠ m
-4 -4

1. 2 × 10 1. 5 × 10

片宽 aΠ m

-2

1. 663 75 × 10

-2

2. 079 69 × 10

IpΠ m

4

- 13

-3

                      固体力学学报                     2004 年 第 25 卷 ?1 1 0 ?
2443 :268~276 3  徐明龙 . 压电类机敏结构及机敏地震检波器的研究 . 西安

制 . 大连理工大学学报 ,2000 ,41 (1) :77~80
7  Agrawal A K, Fujino Y, Bhartia B K. Instability due to time delay and its compensation in active contro of structures. Earthquake Engineering and Structural Dynamics , 1993 ,22 :211

交通大学博士论文 ,1998
4  Yellin J M , Shen I Y. A self2sensing active constrained layer damping mechanisms of active constrained layer treatments. ASME J of vibration and Acoustics , 1997 , 119 :192~199 6  董维杰 、 孙宝元等 . 基于压电自感知执行器悬臂梁振动控 damping treatment for a Euler2Bernoulli beam. J Smart Mater Struct , 1996 , 5 :628~637

~224
8  孟宪仲 . 最优控制理论 . 北京 : 北京航空学院出版社 ,1987 9  Chaudhry Z , Rogers C A. The pin2force model revisited. Journ2 al of Intelligent Material System and Structure , 1994 ,5 (5) :347

performances with only one PZT patch. Further , an experiment is set up to test the practicability and illstrate the validity of the actuaor. Key words   2sensing actuator , active control , cantilever beam self

5  Shen I Y. A variation formulation , a work2energy relation and

~354

( 1 Department of Mechanics , School of Natural Resources and Environment , Chongqing University , Chongqing ,400044) ( 3 School of Science , Chongqing University of Industry and Commerce , Chongqing University , Chongqing , 400020)

( The Key Laboratory for Optoectronic Technology and System , Ministry of Education , Chongqing University , Chongqing , 400024)

2

based on time2sharing was presented , which can switch between sensor and actuator , Thus realized the different

Abstract   applying PZT’ piezo2effect and piezoelectric converse effect , a new type of self2sensing actuator By s

A RESEARCH FOR THE VIBRATION ACTIVE CONTROL OF A PIEZO2SELF2SENSING CANTIL EVER BEAM
Wang Bo
1 ,3

 Yin Xuegang

1 ,2

   Huang Shanglian

2


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