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高中数学人教A版必修四全优课堂同步课件2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


自学导引 1 .已知两个非零向量 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) ,则 a· b= x1x2+y1y2 由此可得: __________. 2 2 x + y x +y ,或|a|=________. ①若 a=(x,y),则|a| =________ 2 2 2 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点为(x1,y1),(x2,y2), 2

2 ? x - x ? + ? y - y ? ( x - x , y - y ) 2 1 2 1 2 1 2 1 ,|a|=________________. 那么 a=______________ x1x2+y1y2=0 ②设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?__________. 2.设两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是 a 与 b 的夹 x1x2+y1y2 a· b 2 2 2 x2 + y · x + y 角,则 cos θ= =______________. 1 1 2 2 |a||b| 自主探究 → 已知向量 a=(6,4),b=(0,2),OC=a+λb,若点 C 在函数 y π =sin x 的图象上,求实数 λ 的值. 12 π → 解: 易求得OC=(6,4+2λ), 即 C(6,4+2λ). 由 C 在函数 y=sin12 x 的图象上,得到 ?π ? 4+2λ=sin?12×6?,解得 ? ? 3 λ=-2. 预习测评 1.若 a=(-4,7),b=(5,2),则 a· b=( A.34 B.27 C.-43 D.-6 ) 【答案】D 2.已知 a=(3,1),b=(1,2),则向量 a 与 b 的夹角为( π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2 ) 【答案】B 3.已知 a=(4,7),b=(-5,-2),则|a-b|=________. 【答案】 9 2 4. (2014 年茂名一模)已知向量 a=(1,2),向量 b=(x,-2),若 a⊥b,则 x=________. 【答案】4 要点阐释 在学习本节的向量数量积的坐标运算时, 要与前面所学的知识 结合起来, 进行归类对比, 这样才不至于把所学的知识张冠李戴. 见 下表:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 向量运算 坐标运算 向量的数量积 a· b=|a||b|cos θ a· b=x1x2+y1y2 b∥a(a≠0)? b∥a(a≠0) b∥a(a≠0)?b=λa x1y2-x2y1=0 a⊥b(a≠0)? a⊥b a⊥b?a· b=0 x1x2+y1y2=0 2 向量的模 |a|= a2= a· a |a|= x2 + y 1 1 x1x2+y1y2 向量 a 与 b a· b cos θ= 2 2 2 2 cos θ= |a||b| 的夹角 x1+y1· x2+y2 典例剖析 知识点 1 平面向量数量积的坐标运算 【例 1】 已知向量 a 与 b 同向,且 b=(1,2),a· b=10. (1)求向量 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求(b· c)a. 思路点拨: (1)设出向量 a 的坐标,由已知列出方程,即可解得 a 的坐标. (2)用向量的坐标直接计算即可. 解: (1)由已知可设 a=λ(1,2)=(λ,2λ)(λ>0),再由 a· b=10 可得,λ =2,所以 a=(2,4). (2)因为 b· c=1×2+2×(-1)=0, 所以(b· c)a

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