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湖南省娄底一中、新化一中联考·2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题


娄底一中 2014~2015 学年上学期高二期中考试 新化一中

理科数学试题
满分:150 分 命题:娄底一中杨玉琳 时量:120 分钟 审题:新化一中陈淼华

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1、命题“ ? x∈R,sinx> ?1 ”的否定是( ) ? ? 1 A. x∈R,sinx ≤ B. ? x0∈R,sinx0 ≤ ?1 C. ? x0∈R,sinx0> ?1 D.不存在 x∈R,sinx> ?1
2、在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,若 a= 2 2 ,A=45° ,B=60° ,则 b=( A. 2 3 B. )

2

C.1 )
n ?1

D.2

3、已知等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ?1, a ? 1, a ? 4, 则an ? (

?3? A. 4 ? ? ? ?2?

n

?2? B. 4 ? ? ? ?3?

n

?3? C. 4 ? ? ? ?2?

?2? D. 4 ? ? ? ?3?
) D. 2

n ?1

4、若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ?4 B. 4

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
C. ?2

5、在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a , b, c ,则 " a ? b" 是 " sin A ? sin B" 的( A.充分必要条件 C.必要非充分条件 B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件



x 成立,则实数 a 的 6、在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1对任意实数
取值范围是( ) A.{a| ? 1 ? a ? 1 } C.{a| ? B.{a| 0 ? a ? 2 } D.{a| ?

1 3 ?a? } 2 2

3 1 ?a? } 2 2


7、等差数列 ?an ? 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 ?an ? 前 9 项的和 S9 等于(

A. 66 B. 99 C. 144 D. 297 8、在 ?ABC ,三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若内角 A 、 B 、 C 依次成等差数列,
2 且不等式 ? x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为 {x | a ? x ? c} ,则 b 等于(

) D. 2 3

A. 3

B.4

C. 3 3

第 1 页 共 9 页

? x? y ?3? 0 ? 9、如果实数 x, y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,目标函数 z ? kx ? y 的最大值为 6,最小值为 0,则实数 ? x ?1 ?
k 的值为(
A.1 10、设 F 1 、 F2 分别为双曲线 ) B.2 C.3 D.4

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P ,满足 a 2 b2


PF2 ? F1F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为(
A.

5 4

B.2

C. 2

D.

5 3

二.填空题:本大题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。
11、在△ ABC 中, a、b、c 分别是 A、B、C 三内角所对应的边,若 a ? c ? b ? ac ? 0 ,则∠B=
2 2 2



12、抛物线 y ?

x2 的准线方程是 4



13、当 x ? ?1 时,不等式 x ?

1 ? 1 ? a 恒成立,则实数 a 的最大值是 x ?1
__。



14、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2(an ? 1) ,则 a7 =_
2 2

15、已知命题 p:实数 m 满足 m ? 12a ? 7am (a>0),命题 q:实数 m 满足方程

x2 y2 + =1 表示 m ?1 2 ? m

的焦点在 y 轴上的椭圆,且 p 是 q 的充分不必要条件,a 的取值范围为________。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16、 (本小题满分 12 分)某餐馆一天中要购买 A,B 两种蔬菜,A、B 蔬菜每斤的单价分别为 2 元和 3 元。 根据需要,A 蔬菜至少要买 6 斤,B 蔬菜至少要买 4 斤,而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超 过 60 元。 (1)写出一天中 A 蔬菜购买的斤数 x 和 B 蔬菜购买的斤数 y 之间的不等式组; (2)在下面给定的坐标系中画出(1)中不等式组表示的平面 区域(用阴影表示) ,并求 z=x+y 的最大值。
20 16 12 8 4 o 6 12 18 30 x y

第 2 页 共 9 页

17、 (本小题满分 12 分)已知在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且 a2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? 2n ? 1 ? a n (n ? N * ) ,求 {bn } 的前 n 项和 S n .

2 2 18、 (本小题满分 12 分)已知命题 p : 方程 2 x ? ax ? a ? 0 在 ??1,1? 上有解;命题 q : 只有一个实数 x0 满

2 足不等式 x0 ? 2ax0 ? 2a ? 0 ,若命题“ p ? q ”是假命题,求 a 的取值范围。

19、 (本小题满分 13 分)在海岛 A 上有一座海拔 3 km 的山峰,山顶设有一个观察站 P 。有一艘轮船按 一固定方向做匀速直线航行,上午 11:00 时,测得此船在岛北偏东 15 ? 、俯角为 30 ? 的 B 处,到 11:10 时, 又测得该船在岛北偏西 45 ? 、俯角为 60 ? 的 C 处。 (1)求船的航行速度; (2)求船从 B 到 C 行驶过程中与观察站 P 的最短距离。

P 北 C A 东 B

第 3 页 共 9 页

20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的离心率 e= a 2 b2

,并且过定点 P ? 3,

? ?

1? ?。 2?

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)问是否存在直线 y ? ? x ? m ,使直线与椭圆交于 A、B 两点,满足 OA⊥OB?若存在,请求出 m 的值;若不存在,则请说明理由。

21、 (本小题满分 13 分)数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 2 ? ?1 ? cos (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

? ?

2

n? ? 2 n? , n ? N? 。 ? an ? sin 2 ? 2

a2 n ?1 , Sn ? b1 ? b2 ? a2 n

。 ? bn ,证明: Sn ? 2 ( n ? N? )

第 4 页 共 9 页

娄底一中 2014~2015 学年上学期高二期中考试 新化一中

理科数学试题
满分:150 分 命题:娄底一中杨玉琳 时量:120 分钟 审题:新化一中陈淼华

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1、命题“ ? x∈R,sinx> ?1 ”的否定是( )B ? ? 1 A. x∈R,sinx ≤ B. ? x0∈R,sinx0 ≤ ?1 C. ? x0∈R,sinx0> ?1 D.不存在 x∈R,sinx> ?1
2、在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,若 a= 2 2 ,A=45° ,B=60° ,则 b=( A. 2 3 B. )A

2

C.1 )C
n ?1

D.2

3、已知等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ?1, a ? 1, a ? 4, 则an ? (

?3? A. 4 ? ? ? ?2?

n

?2? B. 4 ? ? ? ?3?

n

?3? C. 4 ? ? ? ?2?

?2? D. 4 ? ? ? ?3?
)B D. 2

n ?1

4、若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ?4 B. 4

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
C. ?2

5、在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a , b, c ,则 " a ? b" 是 " sin A ? sin B" 的( A.充分必要条件 C.必要非充分条件 B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

)A

x 成立,则实数 a 的 6、在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1对任意实数
取值范围是( )C A.{a| ? 1 ? a ? 1 } C.{a| ? B.{a| 0 ? a ? 2 } D.{a| ?

1 3 ?a? } 2 2

3 1 ?a? } 2 2
)B

7、等差数列 ?an ? 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 ?an ? 前 9 项的和 S9 等于(

A. 66 B. 99 C. 144 D. 297 8、在 ?ABC ,三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若内角 A 、 B 、 C 依次成等差数列,
2 且不等式 ? x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为 {x | a ? x ? c} ,则 b 等于(

)D D. 2 3

A. 3

B.4

C. 3 3

第 5 页 共 9 页

? x? y ?3? 0 ? 9、如果实数 x, y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,目标函数 z ? kx ? y 的最大值为 6,最小值为 0,则实数 ? x ?1 ?
k 的值为(
A.1 10、设 F 1 、 F2 分别为双曲线 )B B.2 C.3 D.4

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P ,满足 a 2 b2
)D

PF2 ? F1F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为(
A.

5 4

B.2

C. 2

D.

5 3

二.填空题:本大题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。
11、在△ ABC 中, a、b、c 分别是 A、B、C 三内角所对应的边,若 a ? c ? b ? ac ? 0 , 则
2 2 2

?B??=
12、抛物线 y ?

。120°

x2 的准线方程是 4

。 y ? ?1

13、当 x ? ?1 时,不等式 x ?

1 ? 1 ? a 恒成立,则实数 a 的最大值是 x ?1
__。 ?128

。2

14、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2(an ? 1) ,则 a7 =_
2 2

15、已知命题 p:实数 m 满足 m ? 12a ? 7am (a>0),命题 q:实数 m 满足方程

x2 y2 + =1 表示 m ?1 2 ? m
?1 3? ? ?

的焦点在 y 轴上的椭圆,且 p 是 q 的充分不必要条件,a 的取值范围为________. ? , ? 3 8

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16、 (本小题满分 12 分)某餐馆一天中要购买 A,B 两种蔬菜,A、B 蔬菜每斤的单价分别为 2 元和 3 元。 根据需要,A 蔬菜至少要买 6 斤,B 蔬菜至少要买 4 斤,而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超 过 60 元。 (1)写出一天中 A 蔬菜购买的斤数 x 和 B 蔬菜购买的斤数 y 之间的不等式组; (2)在下面给定的坐标系中画出(1)中不等式组表示的平面 区域(用阴影表示) ,并求 z=x+y 的最大值。
20 16 12 8 4 o 6 12 18 30 x y

第 6 页 共 9 页

? 2 x ? 3 y ? 60 ? 解析: (1) ? x ? 6 ………6 分 ?y ? 4 ?
(2)画出的平面区域如右图,

y

20 C (6,16) 4 o A 6 30 x B(24,4)

?2 x ? 3 y ? 60 A(6,4) ,由 ? 求得 ?x ? 6
C(6,16)由 ?

?2 x ? 3 y ? 60 求得 B(24,4)易知在 B 点时取得最大值 y ? 4 ?

分 ? Zm a x ?2 4 ? 4 ? 2………12 8

17、 (本小题满分 12 分)已知在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且 a2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? 2n ? 1 ? a n (n ? N * ) ,求 {bn } 的前 n 项和 S n . 解析: (Ⅰ )设公比为 q,则 a2 ? q , a3 ? q 2 , ∵a2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项, ∴2a2 ? a1 ? (a3 ? 1) ? 2q ? 1 ? ( q 2 ? 1) ? q ? 2 , ∴an ? 2n ?1 ………6 分 (Ⅱ ) bn ? 2n ? 1 ? an ? 2n ? 1 ? 2 n ?1 则 S n ? [1 ? 3 ?

? (2n ? 1)] ? (1 ? 2 ?

? 2n ?1 )
………12 分

n[1 ? (2n ? 1)] 1 ? 2n ? 2 1? 2 2 n ? n ? 2 ?1 ?

2 2 18、 (本小题满分 12 分)已知命题 p : 方程 2 x ? ax ? a ? 0 在 ??1,1? 上有解;命题 q : 只有一个实数 x0 满

2 足不等式 x0 ? 2ax0 ? 2a ? 0 ,若命题“ p ? q ”是假命题,求 a 的取值范围。 a 2 2 解析:由 2 x ? ax ? a ? 0 ,得(2x-a)(x+a)=0,∴ x= 或 x=-a, 2

a? ∴ 当命题 p 为真命题时,? |a|≤2. ………4 分 ?2?≤1 或|-a|≤1,∴ 又“只有一个实数 x0 满足不等式 x2 0+2ax0+2a≤0”, 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴ Δ=4a2-8a=0,∴ a=0 或 a=2. ∴ 当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ………8 分 ∴ 命题“p∨ q”为真命题时,|a|≤2. ∵ 命题“p∨ q”为假命题,∴ a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为{a|a>2,或 a<-2}.………12 分

第 7 页 共 9 页

19、 (本小题满分 13 分)在海岛 A 上有一座海拔 3 km 的山峰,山顶设有一个观察站 P 。有一艘轮船按 一固定方向做匀速直线航行,上午 11:00 时,测得此船在岛北偏东 15 ? 、俯角为 30 ? 的 B 处,到 11:10 时, 又测得该船在岛北偏西 45 ? 、俯角为 60 ? 的 C 处。 (1)求船的航行速度; (2)求船从 B 到 C 行驶过程中与观察站 P 的最短距离。

P 北 C B 东

解析:⑴ 设船速为 x km/h,则 BC ?

x km. 6
3 ? 3. tan 30?

A

在 Rt △ PAB 中,∠PBA 与俯角相等为30° ,∴AB ? 同理, Rt △ PCA 中, AC ?

1 ?1. tan 60?

------4分

在△ ACB 中,∠CAB ? 15° +45° =60° , ∴ 由余弦定理得 BC ? 32 ?12 ? 2 ? 3?1? cos60? ? 7 , ∴x ? 6 7 km/h,∴ 船的航行速度为 6 7 km/h. ------7分 ⑵ 作 AD ? BC 于点 D ,∴ 当船行驶到点 D 时, AD 最小,从而 PD 最小.

AB ? AC ? sin 60? 此时, AD ? ? BC
∴PD =

3 ? 1?

3 2 ? 3 21 . 14 7

------11分

2 3 777 . 3 ?( 21)2 ? 14 14

∴ 船在行驶过程中与观察站 P 的最短距离为 777 km. 14

------13分

20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的离心率 e= a 2 b2

,并且过定点 P ? 3,

? ?

1? ?。 2?

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)问是否存在直线 y ? ? x ? m ,使直线与椭圆交于 A、B 两点,满足 OA⊥OB?若存在,请求出 m 的值;若不存在,则请说明理由。 解析: (Ⅰ )由题意: e ?

3 1 c 3 ? 1 ,又 c 2 ? a 2 ? b2 ? 且 2 ? a 4b 2 a 2
2

解得: a ? 4, b ? 1 ,即:椭圆 E 的方程为
2

x2 ? y 2 ? 1 ------6 分 4

(Ⅱ )设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,

第 8 页 共 9 页

? x2 2 ? ? y ?1 (*) ? x 2 ? 4(m ? x )2 ? 4 ? 0 ? 5x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 4 ? ? ? y ? ?x ? m 8m 4m 2 ? 4 , x1 x2 ? 所以 x1 ? x2 ? ------------8 分 5 5 8 4m 2 ? 4 m 2 ? 4 y1 y2 ? (m ? x1 )(m ? x2 ) ? m 2 ? m( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? m 2 ? m 2 ? ? 5 5 5 由 OA ? OB ? OA ? OB ? 0 4m 2 ? 4 m 2 ? 4 2 10 ? ? 0, m ? ? 得 ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? 0, x1 x2 ? y1 y2 ? 0, ---12 分 5 5 5 2 2 又方程(*)要有两个不等实根, ? ? (?8m) ? 4 ? 5(4m ? 4) ? 0, ? 5 ? m ? 5
m 的值符合上面条件,所以 m ? ?

2 10 5

-----------13 分

21、 (本小题满分 13 分)数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 2 ? ?1 ? cos (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

? ?

2

n? 2

? 2 n? , n ? N? 。 ? an ? sin 2 ?

a2 n ?1 , Sn ? b1 ? b2 ? ? bn ,证明: Sn ? 2 ( n ? N ? ) 。 a2 n 解析: (Ⅰ )∵a1 ? 1 , a2 ? 2 ,∴ 由题设递推关系式,当 n ? 2k ? 1 ( k ? N? )时,

? ? 2k ? 1? ? ? a ? sin 2 ? 2k ? 1? ? ? a ? 1, a2 k ?1 ? ?1 ? cos 2 ? 2 k ?1 2 k ?1 2 2 ? ? 即 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 1 。所以数列 ?a2k ?1? 是首项为 1 公差为 1 的等差数列,因此 a2 k ?1 ? k 。 …………3 分
2k? ? 2k? a2 k ? sin 2 ? 2a2 k , ? 2 ? 2 所以数列 ?a2 k ? 是首项为 2 公比为 2 的等比数列,因此 a2k ? 2k ………6 分 ? ?
2

当 n ? 2k ( k ? N? )时, a2 k ? 2 ? ?1 ? cos

? n ?1 , ? n ? 2k ? 1, k ? N ? ? ? 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? 2 。 …………8 分 n ? 2 ? 2 , ? n ? 2k , k ? N ? ? a n (Ⅱ )由(Ⅰ )知 bn ? 2 n ?1 ? n , a2 n 2 1 2 3 n 于是 S n ? ? 2 ? 3 ? ? n , ……………………① 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n 从而 S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 , ……………………② 2 2 2 2 2 2 n 1? ?1? ? 1 ? ? ? ? ? 2? 1 1 1 1 1 n ? ?2? ? ? ? n ? 1? n ? 2 。 ① ―② 得 Sn ? ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 ? 1 2 2 2 2 2 2 2n ?1 2n ?1 1? 2 n?2 所以 S n ? 2 ? n 。故有 Sn ? 2 。 …………13 分 2
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