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动点问题--平行、垂直、Rt△、等腰三角形证明


平行、垂直、Rt△、等腰三角形的证明

一、平行的证明

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1.已知:如图①,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC =4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速 运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C 匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时 间为t(

s)(0<t<2),解答下列问题: (1)当t为何值时,PQ∥BC? B P

A


Q

C

思考与交流
2、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,DC=5, AB= 4 2 ,∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以 每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时 从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终 点D运动.设运动时间为t秒. (1)求BC的长度; (2)当MN∥AB时,求t的值;
A

D
N

B

M

C

3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC= 16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长 的速度运动,动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4 个单位长的速度运动.P,Q分别从点A,C同时出发, 当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运 动.在运动过程中,△PCQ关于直线PQ对称的图形 是△PDQ.设运动时间为t(秒). A (1)设四边形PCQD的面积 P 为y,求y与t的关系式;

D C Q B

?

(2)t为何值时,四边形PQBA是梯形? (3)是否存在时刻t,使得PD∥AB?若存在, 求出t的值;若不存在,请说明理由; (4)是否存在时刻t,使得PD⊥AB?若存在, 求出t的值;若不存在,请简要说明理由. A P

D C Q B

?

?

4.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是梯 形,OA∥BC,点A的坐标为(6,0),点B的坐标 为(3,4),点C在y轴的正半轴上.动点M在OA上 运动,从O点出发到A点;动点N在AB上运动,从A 点出发到B点.两个动点同时出发,速度都是每秒 1个单位长度,当其中一个点到达终点时,另一个 点也随即停止,设两个点的运动时间为t(秒). (1)求线段AB的长; (2)当t为何值时,MN∥OC;

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5.如图:在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°, AD=8cm,CD=6cm,BC=10cm,点P以每秒1cm的速度 从点C出发沿CD向点D运动,同时点E以每秒2cm的 速度从点B出发沿BC向点C运动.过点E作EF⊥AB, 交AB于点F,连结PA、PE.设运动时间为t秒.(0 <t<5) A D (1)求边AB的长度; P (2)当t为何值时, F PE∥AB;
C

E

B

一、证明平行的证明

1.添加高线、平行线,利用平行 线分线段成比例或相似三角形对 应边成比例、三角函数,建立相 等关系,解方程,求时间t. 2.转化的方法——将平行转化为 垂直的证明.

二、垂直的证明

1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.点P 从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运 动,到达点A后立刻以原来速度返回;点Q从点A出发 沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着 P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ与点D,交 折线QB-BC-CP与点E .点P,Q同时出发,当点Q到达 点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q 运动的时间是t秒(t>0). B
(4)在点E从B向C运动的过程中, 四边形QBED能否成为直角梯形? 若能,求t的相应值;若不能 请说明理由;
A

E Q D

P

C

2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC= 16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长 的速度运动,动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4 个单位长的速度运动.P,Q分别从点A,C同时出发, 当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运 动.在运动过程中,△PCQ关于直线PQ对称的图形 是△PDQ.设运动时间为t(秒). A
?

(4)是否存在时刻t, P 使得PD⊥AB?若存在, 求出t的值;若不存在, 请简要说明理由. C Q

D B

?

?

?

3.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是梯 形,OA∥BC,点A的坐标为(6,0),点B的坐标 为(3,4),点C在y轴的正半轴上.动点M在OA上 运动,从O点出发到A点;动点N在AB上运动,从A 点出发到B点.两个动点同时出发,速度都是每秒 1个单位长度,当其中一个点到达终点时,另一个 点也随即停止,设两个点的运动时间为t(秒). (1)求线段AB的长;当t为何值时,MN∥OC; (2)设△CMN的面积为S,求S与t之间的函数解析 式,并指出自变量t的取值范围;S是否有最小值? 若有最小值,最小值是多少? (3)连接AC,那么是否存在这样的t,使MN与AC 互相垂直?若存在,求出这时的t值;若不存在, 请说明理由.

?

?

?

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4.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C= 90°,BC=16,DC=12,AD=21。动点P从点 D出发,沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的 速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每 秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从 点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随 之停止运动。设运动的时间为t(秒). (1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关 系式; (2)是否存在时刻t,使得PQ⊥BD?若存在, 求出t的值;若不存在,请说明理由. (3)当线段PQ与线段AB相交于点O,且2AO= OB时,求t的值. (4)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三 角形是等腰三角形?

A

P

D

B

Q

C

二、垂直的证明
1.添加高线,构造直角三角形,利 用相似三角形对应边成比例,建立 相等关系,解方程,求时间t. 2.添加高线,构造直角三角形,利 用某个角的三角函数值,建立两边 的比例关系,解方程,求时间t. 3.转化成平行的证明

三、Rt△的证明

?

?

1.已知:如图①,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC =4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速 运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C 匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时 间为t(s)(0<t<2),解答下列问题: (1)当t为何值时,△APQ为Rt△?
B

P

A


Q

C

?

? ?

2.在△ABC中,∠C=Rt∠,AC=4㎝,BC=5 ㎝,点 D在BC上,且CD=3 ㎝,现有两个动点P、Q分别 从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度, 沿AC向终点C移动;点Q以1.25cm/s的速度,沿BC 向终点C移动.过点P作PE∥BC交AD于点E,连结EQ. 设动点运动时间为x秒. (1)用含x的代数式表示AE=_____,DE=______; (3)当x为何值时,△EDQ为直角三角形.(画出 草图)

三、Rt△的证明方法—两种情况
1. 利用相似三角形对应边成比例, 建立相等关系,解方程,求时间t. 2. 利用某个角的三角函数值,建立 两边的比例关系,解方程,求时间t. 3.用t的代数式表示出三边,运用勾 股定理,建立等量关系,解方程 (一次、二次).

四、等腰三角形的证明

思考与交流
1、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,DC=5, AB= 4 2 ,∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以 每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时 从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终 点D运动.设运动时间为t秒. (1)求BC=10的长度; (3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.
A D N

B

M

C

?

?

2.已知:如图①,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC =4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速 运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C 匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时 间为t(s)(0<t<2),解答下列问题: (4)如图②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得 到四边形PQP′C,那么是否存在某一时刻t,使四 边形PQP′C为菱形?若存在,求出此时菱形的边 长;若不存在,说明理由. B P

A

Q

C

3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.点P 从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运 动,到达点A后立刻以原来速度返回;点Q从点A出发 沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着 P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ与点D,交 折线QB-BC-CP与点E .点P,Q同时出发,当点Q到达 点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q 运动的时间是t秒(t>0). B
(5)当t为何值时,DE经过点C?
E Q A D

P

C

?

?

3.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C= 90°,BC=16,DC=12,AD=21。动点P从点D 出发,沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度 运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个 单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C 同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动。 设运动的时间为t(秒). (4)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角 A P D 形是等腰三角形?

B

Q

C

四、等腰三角形的证明—三种情况
1.直接用含t的代数式表示出两条腰; 2.作高运用底边上三线合一使得其中 一条半线段等于底边的一半. 3.作高构造直角三角形,运动勾股定 理,使得腰的平方相等;


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