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3.3《等差数列的前n项和》第三课时


3.3 等差数列的前 n 项和
第三课时

一、教学目标:
1.能熟练地应用等差数列前 n 项和公式解决有关问题; 2.能利用数列通项公式与前 n 项和之间的关系解决有关问题。

二、教学重难点:
1.等差数列前 n 项和公式的应用; 2.数列通项公式与前 n 项和之间的关系的应用。

三、

教学过程:
(一)复习: 等差数列前 n 项和公式: Sn (二)新课讲解: 例 1.已知等差数列前 n 项和为 a ,前 2n 项和为 b ,求前 3n 项的和。 解:由题意设 Sn ∴ 从而, S3n

?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? ?d 2 2

? a , S2n ? a ,

an?1 ? ? ? a2 n ? b ? a ,而 (a1 ? ? ? an ) ? (a2 n?1 ? ? ? a3n ) ? 2(an?1 ? ? ? a2 n ) , ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (an?1 ? ? ? a2 n ) ? (a2 n ?1 ? ? ? a3n ) ? 3(an?1 ? ? a2 n ) ? 3(b ? a) 。

说明:1.分组求和的思想方法; 2.由本题解答可得: Sn 差数列 {an } 中, S n , S 2 n

? a , S2 n ? Sn ? b ? a , S3n ? S2 n ? 2b ? 3a ,于是有结论:在等

? S n , S3n ? S2 n ? 2b ? 3a 也成等差数列。 (P119 第 10 题)

例 2.已知等差数列 {an } 的项数为奇数,且奇数的和为 44,偶数项的和为 33,求此数列的中间项及项数。 解:设项数为 2k ? 1 ,奇数项和记为 S 奇,偶数项和记为 S 由题意, S
奇 偶

, ①

(a1 ? a2 k ?1 ) ? (k ? 1) ? 44 2 (a ? a ) ② S ? a2 ? a4 ? ? ? a2 k ? 2 2 k ? k ? 33 2 k ? 1 44 ① ? ②得, ,解得 k ? 10 , ? k 33 ∴ 项数为 21 项, ? a1 ? a3 ? ? ? a2 k ?1 ?




S ? 11? ak ?1 ? 44






ak ?1 ? 4 ,即中间项为 4 。
S奇 a ? n S偶 an ?1


说明:设数列 {an } 是等差数列,且公差为 d : (Ⅰ)若项数为偶数,设共有 2n 项,则 ① S 奇 ?

S 偶 ? nd ;





(Ⅱ)若项数为奇数,设共有 2n ? 1 项, 则 ① S 偶 ?

S 奇 ? an ? a中 ;

S奇 n ? 。 S偶 n ? 1

例 3. (1)如果数列 {an } 满足 a1

? 3,

1 1 ,求 an ; ? ? 5 ( n? N? ) an ?1 an
? ?n 2 ? 2n ,求 an ;

(2)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n (3)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n

? 3n ? 2 ,求 an 。 1 1 解: (1)由题意: { } 是公差为 5 的等差数列,其首项为 , an 3 1 1 15n ? 14 3 ∴ , ∴ an ? 。 ? ? 5(n ? 1) ? an 3 3 15n ? 14 (2)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?3 ,
当 n ? 2 时, an 所以, an (3) a1

? Sn ? Sn ?1 ? (?n 2 ? 2n) ? [?(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)] ? ?2n ? 1 ,

? ?2n ? 1 ( n ? N ? ) . (对首项也满足,因为和式中常数项为 0)
?1 (n ? 1) ? ? n ?1 (n ? 2, n ? N *) ?2 ? 3

? S1 ? 1 ,当 n ? 2 时, an ? S n ? Sn?1 ? 3n ? 2 ? (3n?1 ? 2) ? 2 ? 3n ?1 ,由于 a1 不适

合于此等式,因此 an

说明:1.构造转化为常见数列; 2. 数列

?a n? 的前 n 项和 s n 与 a n 的关系:a n ? ?

? s1(n ? 1) 。 在应用 an ? S n ? S n ?1 ? s n ? s n ?1(n ? 2, n ? N ?)

公式时,一定要注意 n 的取值范围.如本题中第(3)题,一般先求 a1

? S1 ,再利用 an ? S n ? Sn?1 ,
(n ? 2, n ? N*) 的表达式.若

( n ? 2 , n ? N* ) ,求出数列的其他项,然后验证 n ? 1 是否符合 a n 不合适,则用分段函数表示出数列的通项公式。 例 4.等差数列 {an } 与 {bn } 的前 n 项和分别为 S n 和 S n ,且 解:∵ S13
'

a7 Sn 7n ? 2 ,求 ? ' b7 Sn n?3

的值。

13(a1 ? a13 ) 13(b1 ? b13 ) ? 13a7 , S '13 ? ? 13b7 , 2 2 a7 S13 7 ?13 ? 2 93 ? ? ? . 所以, b7 S '13 13 ? 3 16 ?
2.数列通项公式与前 n 项和之间的关系的运用。

(三)小结: 1.等差数列前 n 项和公式的运用;

四、作业:
1.P118 习题 6、8 2.已知数列 {

1 11 13 } 成等差数列,且 a3 ? ? , a5 ? ? ,求 a8 的值。 an ? 2 6 7
? 32n ? n2 ,求证 {an } 是等差数列。
?

3.数列 {an } 的前 n 项和 Sn 前 n 项和公式。

4.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,并对 n ? N , S 2 n ?1

? 4n 2 ? 1 ,求这个数列的通项公式及


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