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高中数学【配套Word版文档】2.1函数及其表示


§ 2.1
2014 高考会这样考 应用. 复习备考要这样做

函数及其表示

1.考查函数的概念;2.考查函数与映射的关系;3.考查分段函数的简单

1.在研究函数问题时,要树立“定义域优先”的观点;2.结合分段函数

深刻理解函数的概念.

1. 函数的基本概念 (1

)函数的定义 设 A,B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中的每一个元素 x, 在集合 B 中都有惟一的元素 y 和它对应,那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数,记 作 y=f(x),x∈A. 其中,所有的输入值 x 组成的集合叫做函数 y=f(x)的定义域. (2)函数的三要素:定义域、值域和对应法则. (3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应法则完全一致,则这两个函数相等,这是判 断两函数相等的依据. 2. 函数的表示法 表示函数的常用方法有:列表法、解析法、图象法. 3. 映射的概念 设 A、B 是两个非空集合,如果按某种对应法则 f,对于 A 中的每一个元素,在 B 中都有 惟一的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做集合 A 到集合 B 的映射. 4. 函数与映射的关系 由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成 函数的两个集合 A,B 必须是非空数集. [难点正本 疑点清源]

1. 映射的特征 映射是特殊的对应,其“特殊性”在于,它只能是“一对一”或“多对一”的对应,不 能是“一对多”的对应.故判断一个对应是否为映射的方法是:首先检验集合 A 中的每 个元素是否在集合 B 中都有象; 然后看集合 A 中每个元素的象是否惟一. 另外还要注意, 映射是有方向性的,即 A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是不同的. 对映射定义搞清如下几点: (1)“对应法则”重在效果,未必要写出,可以“尽在不言中”;对应法则未必都能用解 析式表达. (2)A 中的每一个元素都有象,且惟一;B 中的元素未必有原象,即使有,也未必惟一. (3)若对应法则为 f,则 a 的象记为 f(a). 2. 函数与映射 (1)函数是特殊的映射, 其特殊性在于集合 A 与集合 B 只能是非空数集,即函数是非空数 集 A 到非空数集 B 的映射. (2)映射不一定是函数,从 A 到 B 的一个映射,A、B 若不是数集,则这个映射便不是函 数.

1. (2011· 浙江)设函数 f(x)= 答案 -1

4 ,若 f(a)=2,则实数 a=________. 1-x

4 4 解析 ∵f(x)= ,∴f(a)= =2,∴a=-1. 1-x 1-a 2. (课本改编题)给出四个命题: ①函数是其定义域到值域的映射;②f(x)= x-2+ 2-x是函数;③函数 y=2x (x∈N) x2 的图象是一条直线;④f(x)= 与 g(x)=x 是同一个函数. x 其中正确命题的序号有________. 答案 ①② 解析 对于①函数是映射,但映射不一定是函数; 对于②f(x)是定义域为{2},值域为{0}的函数. 对于③函数 y=2x (x∈N)的图象不是一条直线; 对于④由于这两个函数的定义域不同,所以它们不是同一个函数. x+2 3. 已知函数 f(x)= ,则 f(f(14))=________;若 f(x)=3,则 x=________. x-6 答案 -1 10

x+2 16 解析 ∵f(x)= ,∴f(14)= =2, 8 x-6 ∴f(f(14))=f(2)= 4 =-1. -4

x+2 又 f(x)= =3,∴x=10. x-6

?1-2x ?x≥0? 4. 设函数 f(x)=? 1 ?x ?x<0?
1 答案 2 或-1 3



若 f(a)=a,则实数 a 的值是________.

1 2 解析 当 a≥0 时,1- a=a,∴a= . 2 3 1 当 a<0 时, =a,∴a=-1. a 5. 已知函数分别由下表给出 x f(x) 1 1 2 3 3 1

x g(x)

1 3

2 2

3 1

则 f(g(1))的值为________;满足 g(f(x))=1 的 x 值是________. 答案 1 解析 2

f(g(1))=f(3)=1;

∵g(3)=1 而已知 g(f(x))=1,∴f(x)=3; 又∵f(2)=3.∴x=2.

题型一 函数的概念 例1 有以下判断:
?1 ? |x| (1)f(x)= 与 g(x)=? x ? ?-1

?x≥0? ?x<0?

表示同一函数;

(2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; (3)f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是同一函数; 1 (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f?2??=0. ? ? ??

其中正确判断的序号是________. 思维启迪:可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断. 答案 解析
? ?1 ? ? ?-1

(2)(3) 对 于 (1) , 由 于 函 数 f(x) = ?x≥0? ?x<0? |x| 的 定 义 域 为 {x|x∈R 且 x≠0} , 而 函 数 g(x) = x

的定义域是 R,所以二者不是同一函数;对于(2),若 x=1 不是 y=f(x)定

义域的值,则直线 x=1 与 y=f(x)的图象没有交点,如果 x=1 是 y=f(x)定义域内的值, 由函数定义可知,直线 x=1 与 y=f(x)的图象只有一个交点,即 y=f(x)的图象与直线 x =1 最多有一个交点;对于(3),f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应法则均相同,所以 f(x) 1 1 1 和 g(t)表示同一函数;对于(4),由于 f?2?=?2-1?-?2?=0, ? ? ? ? ? ? 1 所以 f?f?2??=f(0)=1. ? ? ?? 综上可知,正确的判断是(2)(3). 探究提高 函数的三要素:定义域、值域、对应法则.这三要素不是独立的,值域可由 定义域和对应法则唯一确定;因此当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函 数.特别值得说明的是,对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同, 只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应法则算出的函 数值是否相同)不是指形式上的.即对应法则是否相同,不能只看外形,要看本质;若是 用解析式表示的,要看化简后的形式才能正确判断. 以下给出的同组函数中,是否为相同函数?为什么? x (1)f1:y= ;f2y=1; x
? ?x,x>0 (2)f1:y=|x|;f2:y=? ; ?-x,x<0 ?

?1,x≤1 ? (3)f1:y=?2,1<x<2 ?3,x≥2 ?
f2:



x y (4)f1:y=2x; f2:如图所示:

x≤1 1

1<x<2 2

x≥2 3

解 R;

(1)是不同函数.∵第一个函数的定义域为{x|x∈R,x≠0},第二个函数的定义域为

(2)是不同函数.∵第一个函数的定义域为 R,第二个函数的定义域为{x|x∈R,x≠0}; (3)是同一函数.∵x 与 y 的对应法则完全相同且定义域相同,它们只不过是同一函数的 不同方式的表示; (4)是同一函数.理由同(3). 题型二 函数与映射 例2 (1)已知 a,b 为两个不相等的实数,集合 M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2}, f:x→x 表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,则 a+b=________. (2)已知映射 f:A→B.其中 A=B=R,对应法则 f:x→y=-x2+2x,对于实数 k∈B,在 集合 A 中不存在元素与之对应,则 k 的取值范围是________. 思维启迪:根据映射的定义“多对一”或“一对一”求字母值或范围. 答案 解析 (1)4 (2)(1,+∞)

(1)由已知可得 M=N,

?a2-4a=-2, ?a2-4a+2=0, ? ? ? 2 故 ?? 2 ? ? ?b -4b+1=-1 ?b -4b+2=0,

所以 a,b 是方程 x2-4x+2=0 的两根,故 a+b=4. (2)由题意知,方程-x2+2x=k 无实数根,即 x2-2x+k=0 无实数根.∴Δ=4(1-k)<0, ∴k>1 时满足题意. 探究提高 函数是一种特殊的对应,要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系,只 需要检验:①定义域和对应法则是否给出;②根据给出的对应法则,自变量在其定义域 中的每一个值,是否都有惟一确定的函数值. 映射 f:{1,2,3}→{1,2,3,4}满足 f(x)=x,则这样的映射 f 共有________个. 答案 1 解析 由映射的定义知,集合{1,2,3}的每一个元素在 f 的作用下都有惟一的元素与之对 应,且 f(x)=x,因此只有 f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3 一个映射符合条件. 题型三 分段函数 例 3
?log2?1-x?, ? 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? ? ?f?x-1?-f?x-2?,

x≤0, x>0,

则 f(2 014)的值为

_____________.

思维启迪:注意到 2 014 数值较大,较难代入计算求出值,所以可通过 x 取较小数值探 究函数 f(x)值的规律性,再求 f(2 014).也可以先用推理的方法得出 f(x)的规律性,再求 f(2 014). 答案 1 解析 方法一 由已知得 f(-1)=log22=1,f(0)=log21=0, f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1, f(3)=f(2)-f(1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=1, f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0, f(7)=f(6)-f(5)=-1,f(8)=f(7)-f(6)=-1,?, 所以 f(x)的值以 6 为周期重复出现, 因此,f(2 014)=f(4)=1. 方法二 ∵x>0 时,f(x)=f(x-1)-f(x-2), ∴f(x+1)=f(x)-f(x-1). 两式相加得 f(x+1)=-f(x-2), ∴f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+3)=f(x), ∴f(x)的周期为 6. 因此,f(2 014)=f(6×335+4)=f(4)=1. 探究提高 求分段函数的函数值时, 应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解, 有时每段交替使用求值. 若给出函数值求自变量的值, 应根据每一段的解析式分别求解, 但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围.
? x ?2 ,x≤2, 1 设函数 f(x)=? 则满足 f(x)= 的 x 值为________. 4 ? ?log81x,x>2,


答案 2 或 3 1 1 - 解析 当 x≤2 时,由 f(x)= ,得 2 x= .解得 x=2. 4 4 1 1 当 x>2 时,由 f(x)= ,得 log81x= ,解得 x=3. 4 4

分段函数意义理解不清

? 2 ?x +bx+c?x≤0? 典例:(14 分)设函数 f(x)=? ,若 f(-2)=f(0),f(-1)=-3,求关于 x 的方 ? ?2 ?x>0?

程 f(x)=x 的解.

易错分析

(1)条件中 f(-2),f(0),f(-1)所适合的解析式是 f(x)=x2+bx+c.所以可构建

方程组求出 b,c 的值.(2)在方程 f(x)=x 中,f(x)用哪个解析式,要进行分类讨论,不能 忽视自变量的限制条件. 规范解答 解 当 x≤0 时,f(x)=x2+bx+c,因为 f(-2)=f(0),
2 ? ? ??-2? -2b+c=c ?b=2, f(-1)=-3,∴? ,解得? [4 分] 2 ??-1? -b+c=-3 ?c=-2, ? ?

?x2+2x-2?x≤0?, ? ∴f(x)=? [6 分] ? ?2 ?x>0?.

当 x≤0 时,由 f(x)=x 得,x2+2x-2=x, 得 x=-2 或 x=1.由 x=1>0,所以舍去.[9 分] 当 x>0 时,由 f(x)=x 得 x=2,[12 分] 所以方程 f(x)=x 的解为-2、2.[14 分] 温馨提醒 (1)对于分段函数问题,是高考的热点.在解决分段函数问题时,要注意自变

量的限制条件. (2)就本题而言,当 x≤0 时,由 f(x)=x 得出两个 x 值,但其中的 x=1 不符合要求,应舍 去此值,勿导致增解.分段函数问题分段求解,但一定注意各段的限制条件.

方法与技巧 1. 在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同;二是对应法则 是否相同. 2. 定义域优先原则:函数定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的讨论,必须在定义 域上进行. 失误与防范 1. 判断对应是否为映射, 即看 A 中元素是否满足“每元有象”和“且象惟一”. 但要注意: (1)A 中不同元素可有相同的象,即允许多对一,但不允许一对多;(2)B 中元素可无原象, 即 B 中元素可有剩余. 2. 求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值 f(x0)时,一定要首先判断 x0 属于定义域的哪个子集,然后再代入相应 的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:62 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 1. 设 f:x→x2 是从集合 A 到集合 B 的映射,如果 B={1,2},则 A∩B=____________. 答案 ?或{1} 解析 由已知 x2=1 或 x2=2,解之得,x=± 或 x=± 2,若 1∈A,则 A∩B={1},若 1 1?A,则 A∩B=?, 故 A∩B=?或{1}.

?x +1,x≤1, ? 2. (2012· 江西改编)设函数 f(x)=?2 则 f(f(3))=________. ?x,x>1, ?
答案 13 9

2

2 2 2 13 解析 由题意知 f(3)= ,f?3?=?3?2+1= , 3 ? ? ? ? 9 2 13 ∴f(f(3))=f?3?= . ? ? 9
? x ?2 ,x>0, 3. 已知函数 f(x)=? ? ?x+1,x≤0,

若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值为________. 答案 -3 解析 由题意知 f(1)=21=2.∵f(a)+f(1)=0, ∴f(a)+2=0. ①当 a>0 时,f(a)=2a,2a+2=0 无解; ②当 a≤0 时,f(a)=a+1,∴a+1+2=0,∴a=-3.
? x≥6, ?x-5, 4. 已知 x∈N*,f(x)=? ? ?f?x+2?, x<6,

则 f(3)=______.

答案 2 解析 f(3)=f(5)=f(7)=7-5=2.

?a?a<b?, ? ?1 ? 5. 对 a,b∈R,记 min{a,b}=? 函数 f(x)=min?2x,-|x-1|+2? (x∈R)的最大 ? ? ? ?b?a≥b?,

值为________.

答案 1 1 解析 y=f(x)是 y= x 与 y=-|x-1|+2 两者中的较小者, 数 2 形结合可知,函数的最大值为 1.
? ?2x+a,x<1, 6. (2011· 江苏)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 ? ?-x-2a,x≥1.

f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为________. 3 答案 - 4 解析 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 所以 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a; f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2. 因为 f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2, 3 所以 a=- . 4 当 a>0 时,1-a<1,1+a>1, 所以 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a; f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1. 因为 f(1-a)=f(1+a), 3 所以 2-a=-3a-1,所以 a=- (舍去). 2 3 综上,满足条件的 a 的值为- . 4 7. 下列四组函数中,表示同一函数的是__________.(填序号) ①y=x-1 与 y= ?x-1?2; ②y= x-1与 y= x-1 ; x-1

③y=4lg x 与 y=2lg x2; ④y=lg x-2 与 y=lg 答案 ④ 解析 ∵y=x-1 与 y= ?x-1?2=|x-1|的对应法则不同,故不是同一函数;y= x-1 (x≥1)与 y= x-1 x-1 (x>1)的定义域不同,故它们不是同一函数;又 y=4lg x (x>0)与 y= x = 100 x . 100

2lg x2(x≠0)的定义域不同,因此它们也不是同一函数;而 y=lg x-2(x>0)与 y=lg lg x-2 (x>0)有相同的定义域、值域与对应法则,故它们是同一函数.

二、解答题(共 27 分) f?x?+|f?x?| 8. (13 分)已知 f(x)=x2+2x-3,用图象法表示函数 g(x)= . 2 解 当 f(x)≤0, 即 x2+2x-3≤0,-3≤x≤1 时,|f(x)|=-f(x), g(x)=0. 当 f(x)>0,即 x<-3 或 x>1 时,|f(x)|=f(x), g(x)=f(x)=(x+1)2-4,
?0,-3≤x≤1, ? ∴g(x)=? 2 ? ??x+1? -4,x<-3或x>1.

图象如图所示:

9. (14 分)甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离 与乙从家到公园的距离都是 2 km,甲 10 时出发前往乙家.如图所 示,表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程 y(km)与时间 x(分)的 关系.试写出 y=f(x)的函数解析式. 解 当 x∈[0,30]时,设 y=k1x+b1,

?k1= ? ? ?b1=0 15 由已知得? ,解得? ? ?30k1+b1=2 ?
1

?b1=0

1 ,∴y= x. 15

当 x∈(30,40)时,y=2; 当 x∈[40,60]时,设 y=k2x+b2,

?k2= ? ? ?40k2+b2=2 10 由已知得? ,解得? ? ?60k2+b2=4 ?
1 x∈[0,30] ?15x, ? 综上,f(x)=?2, x∈?30,40? 1 ?10x-2, x∈[40,60] ? 1

?b2=-2

1 ,∴y= x-2. 10

.

B 组 专项能力提升题组

一、填空题 1. 已知集合 A={1,2,3},B={-1,0,1},满足条件 f(3)=f(1)+f(2)的映射 f:A→B 的个数是 ________. 答案 7 解析 根据映射的概念,f(1),f(2),f(3)分别为集合 B 中值,其中满足 f(3)=f(1)+f(2)的 情形有以下 7 种:

?f?1?=-1 ? ?f?2?=1 ?f?3?=0 ? ?f?1?=1 ? ?f?2?=0 ?f?3?=1 ?

?f?1?=0 ? ,?f?2?=0 ?f?3?=0 ? ?f?1?=-1 ? ,?f?2?=0 ?f?3?=-1 ?

?f?1?=0 ? ,?f?2?=1 ?f?3?=1 ? ?f?1?=1 ? ,?f?2?=-1 ?f?3?=0 ?

?f?1?=0 ? ,?f?2?=-1 ?f?3?=-1 ?



.

1 2. 已知函数 f(x)的图象是两条线段(如图, 不含端点), f?f?3??=________. 则 ? ? ?? 答案 1 3

? ?x+1 ?-1<x<0? 解析 由图象知 f(x)=? . ? ?x-1 ?0<x<1?

1 1 2 ∴f?3?= -1=- , ? ? 3 3 1 2 2 1 ∴f?f?3??=f?-3?=- +1= . ? ? ?? ? ? 3 3
? ?a ?a≤b? 3. 对任意两实数 a、b,定义运算“*”如下:a*b=? ,则函数 f(x)= ?b ?a>b? ?

log 1 (3x-2)*log2x 的值域为________.
2

答案 解析 1 f(x)=log2 *log2x 3x-2 1
2

?log 3x-2 ?x≥1? =? 2 ?log x ?3<x<1?
2

.

1 ∴当 x≥1 时, ≤1,f(x)≤0; 3x-2 2 2 当 <x<1 时,log2 <f(x)<0. 3 3 ∴f(x)的值域为(-∞,0].

4. 如图展示了一个由区间(0,1)到实数集 R 的映射过程:区间(0,1)中的实数 m 对应数轴上的 点 M,如图 1;将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A、B 恰好重合,如图 2;再将这个圆 放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y 轴上,点 A 的坐标为(0,1),如图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N(n,0),则 m 对应的数就是 n,记作 f(m)=n.

下列说法中正确的序号是________.(填出所有正确说法的序号) 1 ①f?4?=-1; ? ? ②f(x)是奇函数; ③f(x)是定义域上的单调函数; 1 ④f(x)的图象关于点?2,0?对称. ? ? 答案 ①③④ 解析 设圆 C 的半径为 r,依题意得 2πr=1,所以 r= 1 , 2π

1 1 2π 2π 1 由三角形相似知: = ,所以 f?4?=-1,①正确; ? ? 1? 1 -f?4? ? 因为函数 f(x)的定义域为(0,1),不关于原点对称,所以 f(x)不是奇函数,即②错误;又因 为随着 x 的增大,函数值也随之变大,即函数 f(x)为增函数,③正确;显然,函数 f(x) 1 的图象关于点?2,0?对称,即④正确. ? ? 5. 函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+2)=kf(x),其中 k 为正实数.当 x∈[0,2],f(x)=x(x-2), 则 f(2.5)=________. 3 答案 - k 4 解析 由 f(x+2)=kf(x),得 f(2.5)=f(0.5+2) 1 1 3 =k· f(0.5)=k·×?2-2?=- k. ? 2 ? 4

?1x+1, x≤0, ? 6. 已知 f(x)=?2 则使 f(x)≥-1 成立的 x 的取值范围是__________. ? ?-?x-1?2, x>0,
答案 [-4,2] 解析 ∵f(x)≥-1,

?x≤0, ?x>0, ? ? ∴?1 或? 2 ? ?-?x-1? ≥-1, ?2x+1≥-1 ?
∴-4≤x≤0 或 0<x≤2,即-4≤x≤2. 二、解答题(共 28 分) 7. (14 分)一汽船拖载质量相等的小船若干只,在两港之间来回运送货物,考虑到经济效益 与汽船功率,汽船每次最多拖 10 只小船,至少拖 3 只小船.若每次拖 10 只小船,一日 能来回 4 次;若每次拖 3 只小船,一日能来回 18 次,且小船增多的只数与来回减少的 次数成正比,设汽船拖小船 x 只,一日运费总量为 S. (1)试把 S 表示为 x 的函数,并指出定义域; (2)每次拖小船多少只时,货运量最大?并求一日来回次数. 解 (1)设汽船一日来回次数为 y,则一日运货总量等于一日来回次数与每次拖小船只数

的乘积, 即有 S=xy.① 由成正比例的条件,可设出比例系数为 k, 则有关系式:x-3=k(18-y).② 由每次拖 10 只,一日能来回 4 次, 即有 x=10 时,y=4. 1 代入②式,解得 k= . 2 从而 y 与 x 的函数关系式是:y=24-2x.③ 将③式代入①式,化简得 S(x)=-2x2+24x. 考虑到函数的实际意义,得知其定义域应为{3,4,5,6,7,8,9,10}. (2)因为 S(x)=-2(x-6)2+72, 所以当 x=6 时,S(x)max=72. 将 x=6 代入③式,得来回次数为 12. ∴每次拖小船 6 只时,货运量最大,一日来回次数为 12 次. 8. (14 分)规定[t]为不超过 t 的最大整数,例如[12.6]=12,[-3.5]=-4,对任意实数 x,令 f1(x)=[4x],g(x)=4x-[4x],进一步令 f2(x)=f1[g(x)]. 7 (1)若 x= ,分别求 f1(x)和 f2(x); 16 (2)若 f1(x)=1,f2(x)=3 同时满足,求 x 的取值范围. 解 7 7 (1)∵x= 时,4x= , 16 4

7 7 7 3 ∴f1(x)=?4?=1,g(x)= -?4?= . ? ? 4 ? ? 4

3 ∴f2(x)=f1[g(x)]=f1?4?=[3]=3. ? ? (2)∵f1(x)=[4x]=1,g(x)=4x-1, ∴f2(x)=f1(4x-1)=[16x-4]=3.
?1≤4x<2, ? ∴? ? ?3≤16x-4<4.

7 1 ∴ ≤x< . 16 2


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