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08竞赛辅导─三角函数(一)三角函数的性质及应用


竞赛辅导─三角函数(一) 三角函数的性质及应用
引入
知识要点

反三角函数

思考1

思考2

课外思考 P

1

竞赛辅导─三角函数(一)
三角函数与反三角函数,是五种基本初等函数中 的两种,在 现代科学的很多领域中 有着广泛的应 用.同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一. 第一讲─三角函数的性质及应用 三角函数的性质大体包括:定义域、值域、奇偶 性、 周期性、 单调性、 最值等. 这里以单调性为最难. 它 们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中 均有广泛的应用
2

第一讲─三角函数的性质及应用 三角函数的性质的基本知识见 《教程》P183 ,自学 课本例 1、例 2、例 5、例 6.
你知道反三角函数吗? 注意:三角函数在其定义域上是没有反函数的. (∵不是一一映射,同一个三角函数值会对应许多角)
但是人们需要解决已知三角函数值求未知角的问题. 为了更好解决此类问题而定义了反三角函数: ? ? ?? 如:⑴反正弦函数 y ? arcsin x ( x ? ? ?1,1?) ,值域为 ? ? , ? ? 2 2? ? ?? ? 它是函数 y ? sin x ( x ? ? ? , ? ) 的反函数. ? 2 2? 这里的“ arc sin a ”是一个角的符号. 3

? ? ?? ⑴反正弦函数 y ? arcsin x ( x ? ? ?1,1?) ,值域为 ? ? , ? ? 2 2? ? ? ?? 它是函数 y ? sin x ( x ? ? ? , ? ) 的反函数. ? 2 2? 这里的“ arc sin a ”是一个角的符号.

? ? ?? 这个角“ arc sin a ”落在 ? ? , ? 上,且 sin(arc sin a ) ? a ? 2 2?

? ? ?? 反过来,如果角 x ? ? ? , ? ,且 sin x ? a ,则 arc sin a ? x ? 2 2? ? ? ?? 即 arc sin(sin x ) ? x ( x ? ? ? , ? ) ? 2 2?

类似地,还可定义:⑵反余弦函数 ⑶反正切函数

你认为应怎样定义?
4

反余弦

反正切

⑵反余弦函数 y ? arccos x ( x ? ? ?1,1?) ,值域为 ? 0, ? ? 它是函数 y ? cos x ( x ? ? 0, ? ?) 的反函数.
因为这个区间是最简单的,且每一个余弦值都对应一个 角在这个区间,且是余弦函数的一个单调区间.

这里的“ arc cos a ”也是一个角的符号.

这个角“ arc cos a ”落在 ? 0, ? ? 上,且 cos(arc cos a ) ? a 反过来,如果角 x ? ? 0, ? ? ,且 cos x ? a ,则 arc cos a ? x 即 arc cos(cos x ) ? x ( x ? ? 0, ? ?)

你认为又应怎样定义反正切呢?
5

⑶反正切函数 y ? arc tan x ( x ? R) ,值域为 ( ? 它是函数 y ? tan x ( x ? ( ?
, )) 的反函数. 2 2 这里的“ arc tan a ”也是一个角的符号.

? ?

? ?

, ) 2 2

这个角“ arc tan a ”落在 ( ? 反过来,如果角 x ? ( ?

? ?

, ) 上,且 tan(arc tan a ) ? a 2 2

? ?

, ) ,且 tan x ? a ,则 arc tan a ? x 2 2

, )) 2 2 ⑷反余切函数 y ? arccot x ( x ? R) ,值域为 (0, ? )

即 arc tan(tan x ) ? x ( x ? ( ?

? ?

它是函数 y ? cot x ( x ? (0, ? )) 的反函数.
6

思考 1.
1 ⑴(教程 P204 例 1)函数 y ? arc cos( ? x 2 ) 的值域是(D ) 2 ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ? (A) ? ? , ? (B) ? ? , ? (C) ? , ? ? (D) ? , ? ? ? 2 6? ? 2 3? ?6 ? ?3 ?

1 ⑵(教程 P204 例 2)设 f ( x ) ? x ? ? x , ? ? arc sin , 3 5 1 5 ? ? arc tan , ? ? arc cos( ? ) , ? ? arccot( ? ) ,则(B ) 4 3 4 (A) f (? ) ? f ( ? ) ? f (? ) ? f (? ) (B) f (? ) ? f (? ) ? f ( ? ) ? f (? ) (C) f (? ) ? f (? ) ? f ( ? ) ? f (? ) (D) f (? ) ? f (? ) ? f (? ) ? f ( ? )
2
7

练习1

练习 1.

? 3? ⑴(教程 P209 训练 1)已知 ? ( , ) ,则 arc cos(sin ? ) 等于( ) C 2 2 3? ? ? (A) ? ? (B) ? ? ? (C) ? ? (D) ?? 2 2 2 1 ⑵(教程 P210 训练 2)设 f ( x ) ? arc tan x ? arc sin x 的值域为(D) 2 3? 3? ? 3? ? ? ? ? ?? (A) ( ?? , ? ) (B) ? ? , ? (C) ( ? , ) (D) ? ? , ? 4 4 ? 4 4? ? 2 2? ⑶(教程 P211 训练 9) ? 若 arc sin(sin ? ? sin ? ) ? arc sin(sin ? ? sin ? ) ? , 2 1 则 sin2 ? ? sin2 ? 的值是______.

2

8

思考 2:设 x ? ? 0, ? ? ,试比较 cos(sin x ) 与 sin(cos x ) 大小.
分析:分析比较对象的结构,没有现成的结论可资利 用,可以考虑“特值探究” “中间传递” “结构变形”等 方法尝试解决该问题. ? 取特殊值 x ? 0, , ? ,易得 cos(sin x ) ? sin(cos x ) 2 尝试证明: cos(sin x ) ? sin(cos x )

思考 3:求函数 y ? 2sin(

?
3

? 2 x ) 的单调增区间.

法一:利用复合函数的规律
法二:利用导数来判断
9

思考3法一

练习2

思考 3:求函数 y ? 2sin( 解:∵ y ? 2sin(

?
3

? 2 x ) 的单调增区间.

?
3

? 2 x)

3? 由 2k? ? ≤ ? 2 x ≤ 2k? ? (k ? Z ) 2 3 2 7? 即 2k? ? ≤ ?2 x ≤ 2k? ? (k ? Z ) 6 6

?

?

?

7? ? ≤ x ≤ -k? ? ( k ? Z ) 得 ? k? ? 12 12
7? ?? ? , k? ? ? ( k ? Z ) . ∴原函数的单调增区间为 ? k? ? 12 12 ? ?
10

练习 2 ⑴(类似教程 P189 训练 3)
3 ? sin x 函数 y ? 的最小值是 ( 1 ? cos x 4 (A) 1 (B) 4 (C) 3

C)
4 (D) ? 3
(?

⑵ 函 数 y ? (sin x ?1)(cos x 1) ?

?

2? 3 值是 ______. 4 ) ⑶(教程 P189 训练 6)函数 f (x ) ?sin(2 x ? ? 的图象的一 ? ? 条对称轴为直线 x ? ,且 ? ? (0, ?) ,则 ? =_____. 4
8
11

≤ x≤ ) 的最小 6 2

?



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