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2014届高三人教A版数学一轮复习精练 选4-5 绝对值不等式 Word版含解析]


双基限时练
巩固双基,提升能力 1.(2012· 江西)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的解集 为__________.

?x≤-1, 2 解析:原不等式可化为? ?1-2x-2x-1≤6, ?-1<x<1, 2 ? 2 ?1-2x+2x+1≤6,
3 3 解得-2≤x≤2,
? 3 ? ? 3 即原不等式的

解集为?x∈R?-2≤x≤2 ?. ? ? ? ? 3 ? ? 3 答案:?x∈R?-2≤x≤2 ? ? ? ?



?x≥1, 或? 2 ?2x-1+2x+1≤6.

2.(2012· 山东)若不等式|kx-4|≤2 的解集为{x|1≤x≤3},则实数 k=__________. 解析: 依题可知 x = 1 和 x =3 是方程 |kx - 4| = 2 的两根,∴
?|k-4|=2 ? ? ?k=2. ? ?|3k-4|=2

答案:2 3.(2013· 宝鸡调研)若关于 x 的不等式|x+1|+|x-2|≤a 有解,则 实数 a 的取值范围是________. 解析:由绝对值的几何意义知|x+1|+|x-2|≥3,若原不等式有 解,应该有 a≥3. 答案:[3,+∞)

4.(2013· 鹰潭质检)设函数 f(x)= |x+1|-|x-2|-a, 若函数 f(x)的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是__________. 解析:由题意知|x+1|-|x-2|-a≥0,即 a≤|x+1|-|x-2|对 x∈ R 恒成立,由绝对值的几何意义知,-3≤|x+1|-|x-2|≤3,故 a≤ -3. 答案:(-∞,-3] 5.(2013· 日照调研)不等式|x-1|+|x|<3 的解集是__________. 解析:∵|x-1|+|x|表示数轴上到 0,1 两点的距离之和,距离之和 正好等于 3 的两点为-1,2,数形结合可得解集为{x|-1<x<2}. 答案:{x|-1<x<2} 6.(2011· 江西)对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y +1|的最大值为__________. 解析:|x-2y+1|=|x-1-2(y-2)-2|≤|x-1|+2|y-2|+2≤1+ 2×1+2=5. 答案:5 7.(2012· 课标全国)已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围. -2x+5, x≤2, ? ? 解析:(1)当 a=-3 时,f(x)=?1, 2<x<3, ? ?2x-5, x≥3. 当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4; 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}={x|x≤1 或 x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.

当 x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|, ?4-x-(2-x)≥|x+a| ?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0]. 8.(2012· 辽宁)已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集 为{x|-2≤x≤1}. (1)求 a 的值;
? x? (2)若|f(x)-2f?2?|≤k 恒成立,求 k 的取值范围. ? ?

解析:(1)由|ax+1|≤3 得-4≤ax≤2, 又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}, 所以当 a≤0 时,不合题意; 4 2 当 a>0 时,-a≤x≤a,得 a=2.
? x? (2)记 h(x)=f(x)-2f?2?,则 ? ?

1, x≤-1, ? ?-4x-3, -1<x<-1, 2 h(x)=? 1 ? - 1 , x ≥- ? 2, 所以|h(x)|≤1,因此 k≥1. 9.(2013· 吉林省质检)设函数 f(x)= |x+1|+|x-2|+a. (1)当 a=-5 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)的定义域为 R,试求 a 的取值范围. 解析:(1)由题设,知|x+1|+|x-2|-5≥0,

如图, 在同一坐标系中作出函数 y=|x+1|+|x-2|和 y=5 的图像, 得定义域为(-∞,-2]∪[3,+∞).

(2)由题设,知当 x∈R 时,恒有|x+1|+|x-2|+a≥0, 即|x+1|+|x-2|≥-a. 又由(1)|x+1|+|x-2|≥3,得-a≤3?a≥-3. 10.(2013· 沈阳市质检)已知函数 f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的最小值; (2)当函数 f(x)的定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围. 解析:函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0, 即|x-1|+|x-5|>a. (1)当 a=2 时,f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-2), 设 g(x)=|x-1|+|x-5|,则 2x-6 ?x≥5?, ? ? g(x)=|x-1|+|x-5|=?4 ?1<x<5?, ? ?6-2x ?x≤1?, g (x)min=4,f(x)min=log2(4-2)=1.

(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为 4, |x-1|+|x-5|-a>0,得 a<4, 故 a 的取值范围是(-∞,4).


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