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高二数学备课教案 第三章《不等式》复习 新人教B版必修5


不等式 复习教案
【基本知识结构】

【教学目标】 1.掌握解决不等式(组)问题的基本方法,并能解决一些实际问题; 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组。 3.掌握基本不等式

ab ≤

a?b (a ? 0,b ? 0); 2

【主要知识点与题型方法】 1

、一元二次不等式的解法:

2、二元一次不等式表示平面区域 已知直线 l:Ax+By+C=0 ①当 B>0 时,Ax+By+C>0 表示直线 l 上方的平面区域; Ax+By+C<0 表示直线 l 下方的平面区域 ②当 B<0 时,Ax+By+C>0 表示直线 l 下方的平面区域; Ax+By+C<0 表示直线 l 上方的平面区域; ③当 B=0 时,(此时 l⊥x 轴) A>0 Ax+By+C>0 表示直线 l 右侧的平面区域;

Ax+By+C<0 表示直线 l 左侧的平面区域 A<0 时,仿 A>0 自行讨论。 以上结论请自行证明。 3、线性规划中的几个概念

(1)不等式组①是一组对变量 x、y 的约束条件。 (2)函数 z=2x+y 为目标函数。 (3)满足线性约束条件的解(x、y)叫做可行解。 (4)所有可行解组成的集合叫做可行域。 (5)使线性目标函数取得最大或最小值的可行解叫做最优解。 4、掌握比较大小的常用方法: ①基本结论:利用常见的基本不等式,直接比较两个代数式的大小。这里主要是利 用:

a2 ? b2 a?b + 2 当 a、b∈R 时, ab ≤ 2 ≤ 及其变形公式
②作差、作商、平方作差法,根据题目的特点,合理选用。这在证明题中要比较两 个代数式的大小时经常使用。 5、熟练掌握用均值不等式求最值,必须注意三个条件:一正;二定;三相等。三者缺

一不可。如不满足条件时求最值可以结合函数的单调性来解决。如求函数

y ? 2x ?

1 x (x

≥1)的最小值。 6、不等式证明的常规方法有:比较法、综合法、分析法。 7、把握解含参数的不等式的注意事项 解含参数的不等式时,首先应注意考查是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则 一般需要讨论: ①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性. ②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进 行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应 的一元二次方程根的状况(有时要分析△),比较两个根的大小。 几点思考 1.关于教材中的习题分层次处理。如编制成组题: (1)解不等式 x2+3x+2<0; (2)不等式 x2+kx+2<0 的解集为(1,2) 求 k 的值;或 ax2+bx-1>0 的解集为 {x|3<x<4},求实数 a,b 的值; (3)不等式 x2+kx+2<0 的解集为空集,求 k 的范围; (4) {x|kx2+kx+2>0}= R,求 k 的范围.

2.关于分式不等式:如

1? 2x ? 0 (P 71 )对于简单的分式不等式,虽然出现在教材的 x?4

探究拓展部分,我认为还是要作介绍的,但不要在解法上玩技巧,要突出等价转换的数 学思想. 而含绝对值的不等式就不必在这里介绍,在选修 4-5,《不等式选讲》会涉及到. 3.关于高次不等式:如给出函数 f(x)= ax 3 ? bx 2 ? cx ? d 图象,写不等式 f(x)<0 的解 集(P94) 4.关于含参数的不等式恒成立问题 如:(1)关于 x 的不等式 x 2 ? 2(a ? 1) x ? 3 ? 4a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取 值范围; (2) 关于 x 的不等式 x 2 ? 2(a ? 1) x ? 3 ? 4a 对 x ? (?1,1) 恒成立,求实数 a 的取值 范围; (3) 关于 x 的不等式 x 2 ? 2(a ? 1) x ? 3 ? 4a 对 a ? ?? 1,1? 恒成立,求实数 x 的取值 范围; 【典型例题】 【例 1】解不等式:x2-(a+a2)x+a3<0。 解题思路分析: 因 x2-(a2+a)x+a3=(x-a)(x-a2),不等式解的一般形式为两根 a 与 a2 之间, 下面比较 a 与 a2 大小。 a-a2=a(1-a) 当 a=0 或 a=1 时,a=a ,原不等式为 x <0,或(x-1) <0,不等式无解 当 0<a<1 时,a(1-a)>0,a>a2, 不等式解为 a2<x<a 当 a>1 或 a<0 时,a(1-a)<0,a<a2,不等式解为 a<x<a2 解: ∵x2-(a+a2)x+a3=(x-a)(x-a2) ∴当 a>1,或 a<0 时,不等式的解为 a<x<a2 当 0<a<1 时,不等式的解为 a2<x<a 当 a=0,或 a=1 时,不等式解为φ 【例 2】解不等式:ax2+4x+4>0。(结果要求用解集表示) 解题思路分析: 首先对二次项系数 a 讨论,以确定不等式的类型:当 a=0 时,原不等式为 4x+4>0, x>-1。 当 a≠0 时,不等式为二次不等式,其解的情况应考虑判别式△=16-16a=16(1- a)及二次项系数 a 的符号这两个因素,也就是讨论的标准为 a 与 1 与 0 的大小比较。 当 a>1 时,不等式可化为
x2 ? 4 4 x? ?0 a a
2 2 2

4 4 16(1 ? a ) ( )2 ? 4 ? ? ?0 a a2 △ = a ,不等式的解为 R

当 0<a<1 时,不等式可化为
x2 ?

x2 ?

4 4 x? ?0 a a ,△>0,解的形式为两根之外,求得方程

? 2 ? 2 1? a ? 2 ? 2 1? a ? 2 ? 2 1? a 4 4 x? ? x? ?0 a a a a a 两根为 , ,不等式的解为

x?

? 2 ? 2 1? a ? 2 ? 2 1? a x? a a ,或 。

当 a<0 时,不等式可化为

x2 ?

4 4 x? ?0 a a ,△>0,解的形式为两根之间,不等式的解

? 2 ? 2 1? a ? 2 ? 2 1? a ?x? a a 为 ,注意此时两根大小已改变。

当 a=1 时,原不等式可化为 x2+4x+4>0,(x+2)2>0 ∴ x≠-2 解: (1)当 a=0 时,4x+4>0,x>-1,为原不等式的解 (2)当 0<a<1 时,原不等式可化为 x 2 ?

4 4 x? ?0 a a

4 4 解方程 x ? x ? ? 0 得 x= a a
2

?1? 2 1? a a

∴不等式的解为

x?

? 2 ? 2 1? a ? 2 ? 2 1? a x? a a ,或
2

4 4 x? ?0 a a (3)当 a>1 时,原不等式可化为 x +



??

16(1 ? a ) ?0 a2

∴不等式的解为 R (4)当 a<0 时,原不等式可化为 x 2 ?
?? 16(1 ? a ) ?0 a2

4 4 x? ?0 a a

? 2 ? 2 1? a ? 2 ? 2 1? a ?x? a a ∴原不等式的解为

(5)当 a=1 时,原不等式可化为(x+2)2>0,x≠-2,原不等式解为 x∈R,且 x ≠-2 总上所述:原不等式的解集为。。。。。。 注:含字母的二次不等式的讨论,涉及到的因素较多,如二次项系数是否为 0,判别 式△的符号,两根的大小关系。在判别式△<0 时,应注意区别不等式的解是 R 或φ 。关 于不等式解的一般形式是两根之间还是两根之外,应由二次项符号及不等号方向两者同 时决定,当二次项为正(负)及不等号,方向为大于(小于)时,不等式解的形式为两根 之外;否则为两根之间。通常将二次项系数化为常数。

【例 3】某商场计划出售 A、B 两种商品,商场根据实际情况和市场需求,得到有关 数据如下表:(商品单位:件) 资金(百 A 商品 B 商品 日资金供 元) 应量 单位进价 30 20 3000 单位工资 5 10 1100 支出 单位利润 6 8 问如何确定两种货物的月供应量,可以使得总利润达到最大?最大利润为多少? 分析:这是一个典型的线性规划问题 解法一:设供应 A 商品 x 件,B 商品 y 件
?30 x ? 20 y ? 3000 ? 由题意有 ?5 x ? 10 y ? 1100 要求目标函数

z=6x+8y 的最大值。
?3 x ? 2 y ? 300 ? 约束条件可化为 ? x ? 2 y ? 220 ?3 x ? 2 y ? A ? 令 ?x ? 2 y ? B

设 6x+8y= ? A+μ B= ? (3x+2y)+μ (x+2y)
?3? ? ? ? 6 ? ∴ ?2? ? 2 ? ? 8 ?3 x ? 2 y ? 300 ? 当 ? x ? 2 y ? 220 ?? ? 1 ? ?? ? 3

∴6x+8y=A+3B≤960

? x ? 40 ? 即 ? y ? 90 时 6x+8y 的最大值为 960

∴每月供应 A 商品 40 件,B 商品 90 件时,商场可获最大利润为 96000 元。
?3 x ? 2 y ? 300 ? 解法二:约束条件为 ? x ? 2 y ? 220

可行域为如图阴影部分(四边形 OACB 内部) y

150 100 C (40,90) B 6x+8y=z x+2y=220 3x+2y=300 A x
? 3 z 4 的平行直线,其在 y 轴上的截距为 8 ,当直

0

目标函数 z=6x+8y 表示一组斜率为

线 z=6x+8y 经过点 C(即 3x+2y=300,x+2y=220 的交点)时直线在 y 轴上的截距为最 大,此时 x=40,y=90,z=960 (下略)

回顾:①解法二更直观、方便,但对直线作图要求较高,要熟练掌握直线的斜率、 倾斜角在坐标轴上的截距等问题。 ②若将单位工资支出的月资金供应量调整为 1150(百元)(这时点 C 坐标为(35, 92.5))问题的解又如何? 【例 4】设 a,b∈R,求证:a2+b2≥ab+a+b-1。 解题思路分析: 思路一:这是一个整式不等式,可考虑用比较法,在配方过程应体现将 a 或 b 看成主 元的思想,在这样的思想下变形,接下来的配方或因式分解相对容易操作。 作差 δ =a +b -ab-a-b+1=a -(b+1)a+b -b+1= =
(a ? b ?1 2 3 ) ? (b ? 1) 2 2 4 ≥0
2 2 2 2

(a ?

b ?1 2

)2 ?

3 4

b2 ?

3 2

b?

3 4

思路二:注意到不等式两边式子 a2+b2 与 ab 的结构特点,联想到基本不等式;为了得 到左边的 a 与 b 项,应用增减项法变形。增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较 为普遍。 因 a2+b2≥2ab,a2+1≥2a, b2+1≥2b 三式同向相加得:a +b ≥ab+a+b-1 思路三:在思路一中,作差δ 后得到关于 a 的二次三项式,除了用配方法,还可以 联系二次函数的知识求解。 记 f(a)=a -(b+1)a+b -b+1 因二次项系数为正,△=(b+1)2-4(b2-b+1)=-3(b-1)2≤0 ∴ f(a) ≥0 【例 5】某地区上年度电价为每千瓦时 0.8 元,年用电量为 a 千瓦时,本年度计划将 电价降到每千瓦时 0.55 元至 0.75 元之间,而用户期望电价为每千瓦 0.4 元。经测算,下 调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为 k),该地区 电力成本价为每千瓦 0.3 元,设 k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收 益比上年至少增长 20%? 解题思路分析: 解决实际应用题,首先要理清数量之间关系,如本题:收益 = 实际用电量× (实际 电价-成本价) 。其次,将关键文字语言转换成适当的数学模型,如“新增的用电量与实 际电价和用户期望电价的差成反比”翻译为数学模型就是“设实际电价为 x,则新增用电
k x ? 0.4 ”,“电力部门的收益比去年至少增长 20%”翻译为数学模型就是“本年度 量= k k ? a )( x ? 0.3) ( ? a )( x ? 0.3) 收益 x ? 0.4 ,去年收益(0.8-0.3)a, x ? 0.4 ≥(0.8-0.3) (
2 2 2 2

a(1+20%)”。 令 k=0.2a,解不等式:
( 0.2a ? a )( x ? 0.3) x ? 0.4 ≥(0.8-0.3)(1-20%)a

即 x2-1.1x+0.3≥0 得:x≥0.6,或 x≤0.5 又 0.55≤x≤0.75 ∴x=0.6
k ?a 解:设实际电价为 x(元),则用电量增至 x ? 0.4 ,去年收益为(0.8-0.3)a, k ? a )( x ? 0.3) x ? 0.4 今年收益为 (

当 k=0.2a 时,由已知得:
( 0.2a ? a )( x ? 0.3) x ? 0.4 ≥ (0.8 ? 0.3)(1 ? 20%)a
2

化简得: x -1.1x+0.3>0 ∴ x≥0.6,或 x≤0.5 又 0.55≤x≤0.75 ∴0.6≤x≤0.75 ∴当实际用电价最低定为每千瓦时 0.6 元时, 仍可保证电力部门的收益比上年至少增 长 20%。


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