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15直线与平面垂直的概念和判定


2.3.1

直线与平面垂直的判定

直线与平面垂直的概念和判定

问题提出
1.前面我们全面分析了直线与平面平行的概念、 判定和性质,对于直线与平面相交,又有哪些 相关概念和原理?我们有必要进一步研究.

2.直线与直线存在有垂直关系,直线与平面也 存在有垂直关系,我们如何从理论上加以认识?

知识探究(一):直线与平面垂直的概念
思考1:田径场地面上竖立的旗杆与地面的位 置关系给人以什么感觉?你还能列举一些类似 的实例吗?

思考2:将一本书打开直立在桌面上,观察书 脊(想象成一条直线)与桌面的位置关系呈什 么状态?此时书脊与每页书和桌面的交线的位 置关系如何?

思考3:上述旗杆与地面、书脊与桌面的位置 关系,称为直线与平面垂直.一般地,直线与 平面垂直的基本特征是什么?怎样定义直线与 平面垂直?

如果一条直线与平面内的任意一条直线 都垂直,则称这条直线与这个平面垂直.

思考4:在图形上、符号上怎样表示直线与平面 垂直?

l

α

l ??

思考5:如果直线l与平面α 垂直,则直线l叫做平 面α 的垂线,平面α 叫做直线l的垂面,它们的交 点叫做垂足.那么过一点可作多少条平面α 的垂线? 过一点可作多少个直线l的垂面?

l
A

垂线 垂面

α

垂足

知识探究(二):直线与平面垂直的判定
思考1:对于一条直线和一个平面,如果根据定 义来判断它们是否垂直,需要解决什么问题? 如何操作?

思考2:我们需要寻求一个简单可行的办法来判 定直线与平面垂直.

如果直线l与平面α内的一条直线垂直,能保证 l⊥α吗? 如果直线l与平面α内的两条直线垂直,能保证 l⊥α吗?

思考3:如图,将一块三角形纸片ABC沿折痕AD 折起,把翻折后的纸片竖起放置在桌面上,使 BD、DC与桌面接触,观察折痕AD与桌面的位置 关系.

A

A

B

D

C

B C

D

如何调整折痕AD的位置,才能使翻折后直线AD与 桌面所在的平面垂直?

A

A

B B
D

C

?

D

C

思考4:由上可知当折痕AD垂直平面α 内的两条 相交直线时,折痕AD与平面α垂直.由此我们是否 能得出直线与平面垂直的判定方法?

定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. 思考5:上述定理通常称为直线和平面垂直的判 定定理,它是判定直线与平面垂直的理论依据. 结合下图,怎样用符号语言表述这个定理?

a ? ? , b ? ? , a ? b ? P, l ? a, l ? b ? l ? ?
五个条件一个结论 α

l

P a b

思考6:如果一条直线垂直于一个平面内的无数 条直线,那么这条直线与这个平面垂直吗?

知识迁移 例1 已知 a // b, a ? ? .求证: ? ? . b
a

b

α

m

如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么 另一条也垂直于这个平面.

证明:在平面α内作两条相交直线m,n ∵a⊥α ∴a⊥m,a⊥n 又∵ b∥a,∴ b⊥m,b⊥n。 又∵m?α,n?α, n m,n是两条相交直线, α α ∴ b⊥α 证明:设m是α内的任意一条直线.

a b m

?a ? ? m ?? ?a ? m 又 ? a // b ?b ? m ? m是?内的任意一条直线 ?b ? ?

例2 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC, PA=AB,D为PB的中点,求证:AD⊥PC.

P D

C

A B

例3 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱在直四棱 柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足什么 条件时,有A1C⊥B1D1,说明你的理由.

A1 B1

D1

C1 B C

A
D

练习1:如图三个矩形ABCD、ABEF、 BCGE A D 求证: AB⊥平面BCGE; F 证明: 由已知得: B C AB⊥BC,AB⊥BE E G BC?平面BCGE, BE?平面BCGE, 又 BC∩BE=B ∴AB⊥平面BCGE

注(五个条件同时具备才有该结论)

2、如图, 在空间四边形SABC中, SA?平面ABC, ?ABC = 90?, AN ? SB于N, AM?SC于M。

求证: ①AN?BC; ②SC?平面ANM
证明: ①∵SA?平面ABC ∴SA?BC
又∵BC?AB, 且AB?SA = A ∴BC?平面SAB ∵AN?平面SAB ∴AN?BC ②∵AN?BC, AN?SB, 且SB ? BC = B ∴AN?平面SBC ∵SC?平面SBC∴AN?SC 又∵AM?SC, 且AM ? AN = A∴SC?平面ANM

3、如图, AB是圆的直径, PA⊥圆面,点C在 圆上。 P 求证: BC⊥平面PAC

C A B

4、如图ABCD- A1 B1 C1 D1是正方体。 求证:A1C ⊥平面BC1 D D
1

C1

A1
D

B1

C A B

5 、 如 图 , 已 知 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中 , AC⊥BC , 侧 面 BCC1B1 是 边 长 为 a 的 正 方 形,D、E分别是B1C1、BB1的中点 (1)试过A、C、D三点作出该三棱柱的截面,并 说明理由; (2)求证:C1E⊥截面ACD;

解:(1)取A1B1中点F,连DF、AF,由题设 DF∥A1C1∥AC, ∴A、C、D、F四点共面, ∴截面是ACDF. 直棱柱ABC ? A1 B1C1 ? AC ? CC1 (2)证明: AC ? BC

Rt?CC1 D ? Rt?C1 B1 E ? C1 E ? CD? ? ? C1 E ? 截面ACD AC ? CD ? C , C1 E ? AC ?

? ? ? BC ? CC1 ? C ? ? ? AC ? 面CBB1C1 ? ? ? C1E⊥AC. C1 E ? 面CBB1C1 ? D、E是B1C1、BB1中点

6.如图,在四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2, SB=SD= 2 2 ,底面ABCD是菱形,且 ?ABC=60?,E为CD的中点 (1)证明:CD?平面SAE;(2)侧棱SB上 是否存在点F,使得CF//平面SAE?并证明你 的结论

S

A B E

D

C

证明: (Ⅰ) ? ABCD 是菱形, ?ABC ? 60? ,

? AB ? AC ? AD ? 2 ,? ?ACD 为正三角形,
又 E 为 CD 的中点,? CD ? AE

? SA ? AB ? AD ? 2, SB ? SD ? 2 2 ,
则有 SB ? SA ? AB , SD ? SA ? AD ,
2 2 2 2 2 2

? SA ? AB , SA ? AD
又 AB ? AD ? A ,? SA ? 底面 ABCD ,

? SA ? CD
由 CD ? AE , SA ? CD , AE ? SA ? A ,

?CD ? 平面 SAE

(2) F 为侧棱 SB 的中点时, CF // 平面 SAE .

证法二:设 M 为 AB 的中点,连 MF , MC, FC , 证法一:设 N 为 SA 的中点,连 NF , NE, FC ,则 NF 是 ?SAB 的中位线,

? 则 MF 是 ?SAB 的中位线,? MF // SA ,1 SA ? 平面 SAE , 1 ? NF // AB 且 NF ? AB ,又 CE // 且 CE ? AB , MF ? 平面 SAE ,2 MF // 平面 SAE . 2 ? ? CE // NF // CE ? NF ,? 四边形 CENF 为平行四边形, 同理,由 CM 且 AE ,得 CM // 平面 SAE . ? CF // NE ,? NE ? 平面 SAE , CF ? 平面 SAE ,? CF // 平面 SAE . 又 MF ? MC ? M ,? 平面 FMC // 平面 SAE , 又? CF ? 平面 FMC ,? CF // 平面 SAE S
N
F M

A
E

D

C

7.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB1⊥BC1, AB=CC1=a,BC=b. (1)设E、F分别为AB1、 BC1的中点,求证:EF∥平面ABC; (2)求证:A1C1⊥AB; (3)求点B1到平面ABC1的距离
A1 B1 C1

E

F

A

C

(1)证明:∵E、F分 别为AB1、BC1的中点, ∴EF∥A1C1. ∵A1C1∥AC, ∴EF∥AC. ∴EF∥平面ABC

B

(2)证明:∵AB=CC1,∴AB=BB1. 又三棱柱为直三棱柱, ∴四边形ABB1A1为正方形。 连结A1B,则A1B⊥AB1. 又∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥平面A1BC1. ∴AB1⊥A1C1。 又A1C1⊥AA1,∴A1C1⊥平面A1ABB1 ∴A1C1⊥AB (3)提示:等体积法,可知所求距离为
a 2 b ? a2 b


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