当前位置:首页 >> 数学 >>

2014年数学三角函数高考题(含答案)文科 纯word版


y y0

(2014·北京 16) (本小题满分 13 分)函数

?? ? f ? x ? ? 3sin ? 2 x ? ? 的部分图象如图所示. 6? ?
(1)写出 f ? x ? 的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值; (2)求 f ? x ? 在区间 ? ? 【答案】

O

>x0

x

?? ? ? , ? ? 上的最大值和最小值. ? 2 12 ?

7? , y0 ? 3 . 6 ? ? ? 5? , 0] ,于是 (II)因为 x ? [? , ? ] ,所以 2 x ? ? [? 2 12 6 6
(I) f ? x ? 的最小正周期为 ? , x0 ? 当 2x ? 当 2x ?

?

?

6

? 0 ,即 x ? ? ??

?

?
2

12

时, f ? x ? 取得最大值 0;

6

,即 x ? ?

?
3

时, f ? x ? 取得最小值 ?3 .

(2014·福建 7)将函数 y ? sin x 的图象向左平移 象,则下列说法正确的是 ( )

? 个单位,得到函数 y ? f ? x ? 的函数图 2

A. y ? f ? x ? 是奇函数 B. y ? f ? x ?的周期为? C. y ? f ? x ?的图象关于直线x ? 对称 2 ? ? ? D. y ? f ? x ?的图象关于点 ? - , 0 ? 对称 ? 2 ?

?

【答案】D

(2014·福建 18) (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) .
f( 5? ) 的值; 4

(Ⅰ)求

(Ⅱ)求函数

f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.
5? 5? 5? 5? ) ? 2 cos (sin ? cos ) 4 4 4 4

【答案】解法一: (1) f (

? ?2 cos

?
4

(? sin

?

? cos ) 4 4

?

?2

(2)因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x

? sin 2 x ? cos 2 x ? 1

? 2 sin(2 x ? ) ? 1 . 4 2? ?? . 所以 T ? 2
由 2 k? ? 得 k? ?

?

?

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 8 8

2

? 2x ?

?

4

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z ,

所以 f ( x) 的单调递增区间为 [ k? ? 解法二: 因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos x
2

3? ? , k? ? ], k ? Z . 8 8

? sin 2 x ? cos 2 x ? 1

? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 5? 11? ? ? 1 ? 2 sin ? 1 ? 2 (1) f ( ) ? 2 sin 4 4 4 2? ?? (2) T ? 2
由 2 k? ? 得 k? ?

?

?

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 8 8

2

? 2x ?

?

4

? 2 k? ?

?

2

,k ?Z ,

所以 f ( x) 的单调递增区间为 [ k? ?

3? ? , k? ? ], k ? Z . 8 8

? ? t s i?n? (2014 · 湖 北 ) 设 a , b 是 关 于 t 的 方 程 t 2 c o s
A(a, a 2 ) , B(b, b 2 ) 两点的直线与双曲线

0 两个不等实根,则过 的

x2 y2 ? ? 1 的公共点的个数为 cos2 ? sin 2 ?
C.2 D.3

A.0 【答案】A

B.1

(2014·湖北) (本小题满分 12 分) 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系: π π f (t ) ? 10 ? 3cos t ? sin t 12 12 , t ? [0 , 24) . (Ⅰ)求实验室这一天上午 8 时的温度;

(Ⅱ)求实验室这一天的最大温差.

π π 2π 2π 【答案】 (Ⅰ) f (8) ? 10 ? 3cos( ? 8)? sin( ? 8) ? 10 ? 3cos ? sin 12 12 3 3
1 3 ? 10 ? 3 ? ( ? ) ? ? 10 . 2 2

故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. (Ⅱ)因为 f (t ) ? 10 ? 2(
3 π 1 π π π cos t ? sin t ) = 10 ? 2sin( t ? ) , 2 12 2 12 12 3

又 0 ? t ? 24 ,所以 当 t ? 2 时, sin(

π π π 7π π π , ?1 ? sin( t ? ) ? 1 . ? t? ? 3 12 3 3 12 3

π π π π t ? ) ? 1 ;当 t ? 14 时, sin( t ? ) ? ?1 . 12 3 12 3

于是 f (t ) 在 [0, 24) 上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃.

(2014·江苏 5)已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? )(0 ≤ ? ? ?) ,它们的图象有一个横坐标 为 ? 的交点,则 ? 的值是 3 【答案】 ? 6 .

(2014·江苏 15)(本小题满分 14 分)已知 ? ? ? , ? , sin ? ? 5 . 5 2

? ?

? ? (2)求 cos ? ?? ? 2? ? 的值. 6
(1)求 sin ? ? ? 的值; 4 【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式,考查运算求 解能力. 满分 14 分. (1)∵ ? ? ? , ? , sin ? ? 5 , 2 5 ∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 2 5 5

? ?

sin ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2 (cos ? ? sin ? ) ? ? 10 ; 4 4 4 2 10
(2)∵ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 4 , cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 3 5 5 ∴ cos ?? ? 2? ? cos ?? cos 2? ? sin ?? sin 2? ? ? 3 ? 3 ? 1 ? ? 4 ? ? 3 3 ? 4 . 6 6 6 2 5 2 5 10

?

?

?

?

? ?

(2014·江苏 23)(本小题满分 10 分) 已知函数 f 0 ( x) ? sin x ( x ? 0) ,设 f n ( x) 为 f n?1 ( x) 的导数, n ? N? . x (1)求 2 f1 ? ? ? f 2 ? 的值; 2 2 2 (2)证明:对任意的 n ? N? ,等式 nf n?1 ? ? ? f n ? ? 2 成立. 4 4 4 2

??

??

??

??

【答案】本题主要考查简单的复合函数的导数,考查探究能力及运用数学归纳法的推理 论证能力.满分 10 分. (1)解:由已知,得 f1 ( x) ? f 0?( x) ? ?

? sin x ?? cos x sin x ? 2 , ? ? x x ? x ?

于是 f 2 ( x) ? f1?( x) ? ? 所以 f1 ( ) ? ? 故 2 f1 ( ) ?

sin x 2 cos x 2sin x ? cos x ?? ? sin x ?? ? ? , ? ?? 2 ? ? ? x x2 x3 ? x ? ? x ?

?

?

2

?

? 2 16 , f2 ( ) ? ? ? 3 , ? 2 ? ?
4
2

2

f 2 ( ) ? ?1. 2 2
0 0 0

?

(2)证明:由已知,得 xf ( x) ? sin x, 等式两边分别对 x 求导,得 f ( x) ? xf ?( x) ? cos x , 即 f ( x) ? xf ( x) ? cos x ? sin( x ? ? ) ,类似可得 2
0 1

2 f1 ( x) ? xf 2 ( x) ? ? sin x ? sin( x ? ? ) ,

3 f 2 ( x) ? xf 3 ( x) ? ? cos x ? sin( x ? 3? ) , 2
4 f3 ( x) ? xf 4 ( x) ? sin x ? sin( x ? 2? ) .

下面用数学归纳法证明等式 nf ( x) ? xf ( x) ? sin( x ? n? ) 对所有的 n ? N 都成立. 2
*

n?1

n

(i)当 n=1 时,由上可知等式成立. (ii)假设当 n=k 时等式成立, 即 kf ( x) ? xf ( x) ? sin( x ? k? ) . 2
k ?1 k

因为 [kf ( x) ? xf ( x)]? ? kf ? ( x) ? f ( x) ? xf ?( x) ? (k ? 1) f ( x) ? f ( x),
k ?1 k k ?1 k k k k ?1

[sin( x ? k? )]? ? cos( x ? k? ) ? ( x ? k? )? ? sin[ x ? 2 2 2

(k ? 1)? ], 2

所以 (k ? 1) f ( x) ? f ( x) ? sin[ x ?
k k ?1

(k ? 1)? ]. 2

所以当 n=k+1 时,等式也成立. 综合(i),(ii)可知等式 nf ( x) ? xf ( x) ? sin( x ? n? ) 对所有的 n ? N 都成立. 2
*

n?1

n

令x?

?
4

,可得 nf (? ) ? ? f (? ) ? sin(? ? n? ) ( n ? N ). 4 4 4 4 2
*

n?1

n

所以 nfn?1 (? ) ? ? f n (? ) ? 2 ( n ? N ). 4 4 4 2
*

(2014·江西 16) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x? ? a ? 2 cos2 x cos?2 x ? ? ? 为奇函数,且 f ?

?

?

?? ? ? ? 0 ,其中 ?4?

a ? R, ? ? ?0, ? ?.

? 的值; (1)求 a,
(2)若 f ?

?? 2 ? ?? ? ?? ? ? ?? , ? ? ,求 sin?? ? ? 的值. ??? , 3? 5 ? ?4? ?2 ?

2 【答案】 (1)因为 f ? x ? a ? 2cos x cos ? 2x ? ? ? 是奇函数, 而 y1=a+2cos2x 为偶函数,所以

?

?

y1= cos ? 2 x ? ? ?

? ?, 得? ? 为奇函数, 又 ? ? ? 0,
=0,即
a ? ?1.

?
2

. 所以 f ? x ? = ? sin 2 x( 由 f? ? a ? 2cos2 x)

?? ? ? ? 0, 得( - a+1) ?4?

1 2 4 1 ?? ? ?? ? ? ?, (2) 由 (1) 得:f ? x ? ? ? sin 4 x, 因为 f ? ? ? ? sin ? ? ? , 得 sin ? ? , 又 ? ? ? , 2 5 5 2 ?4? ?2 ? ?? ? ? 3 ? 4?3 3 . 所以 cos ? ? ? , 因此 sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? sin cos ? ? 3 3 3 5 ? ? 10

(2014·辽宁 11)将函数 y ? 3sin(2 x ? 的函数( A.在区间 [ )

?
3

) 的图象向右平移

? 个单位长度,所得图象对应 2

, ] 上单调递减 12 12 ? 7? ] 上单调递增 B.在区间 [ , 12 12
C.在区间 [ ?

? 7?

? ?

, ] 上单调递减 6 3

D.在区间 [ ?

? ?

, ] 上单调递增 6 3

【答案】B

(2014·辽宁 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? ( x ? cos x) ? 2sin x ? 2 , g ( x) ? ( x ? ? ) 证明: (Ⅰ)存在唯一 x0 ? (0, (Ⅱ)存在唯一 x1 ? (

1 ? sin x 2 x ? ?1 . 1 ? sin x ?

?
2

) ,使 f ( x0 ) ? 0 ;

?
2

, ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x0,有 x0 ? x1 ? ? .

x ? (0, ) (0, ) ' 2 时, f ( x) ? ? ? ? sin x ? 2cos x ? 0 ,所以 f ( x) 在 2 上为 【答案】 (Ⅰ)当

?

?

? ? ?2 x0 ? (0, ) f( )? ?4 ?0 2 ,使 2 2 增 函 数 . 又 f (0) ? ?? ? 2 ? 0 . .所以存在唯一
f ( x0 ) ? 0 .

? cos x 2x x ? ( ,? ) g ( x) ? (? ? x) ? ?1 2 1 ? sin x ? (Ⅱ)当 时,化简得 . 令 t ?? ? x . 记
u(t ) ? g (? ? t ) ? ?

f (t ) t cos t 2t ? u ' (t ) ? ? ? 1 t ? (0, ) t ? (0, x0 ) 时,u ' (t ) ? 0 ; ? (1 ? sin t ) . 1 ? sin t ? 2 . . 则 由 (Ⅰ) 得, 当
t ? ( x0 , ) ( x0 , ) u( ) ? 0 t ? [ x0 , ) ' 2 上 u(t ) 为增函数, 2 时,u (t ) ? 0 . 2 当 从而在 由 2 知, 当

?

?

?

?

时, u(t ) ? 0 ,所以 u(t ) 在

[ x0 , ) 2 上无零点.在 (0, x 0 ) 上 u(t ) 为减函数,由 u(0) ? 1 及

?

t ? (0, ) u ( x0 ) ? 0 知 存 在 唯 一 t0 ? (0, x 0 ) , 使 得 u( x0 ) ? 0 . 于 是 存 在 唯 一 0 2 ,使得 x ? ? ? t0 ? ( , ? ) u(t0 ) ? 0 .设 1 g ( x1 ) ? g (? ? t0 ) ? u(t0 ) ? 0 2 . x1 ? ( , ? ) g ( x1 ) ? 0 . x ? ? ? t0 , t0 ? x 0 , x ? x1 ? ? . 2 . 因此存在唯一的 , 使得 由于 1 所以 0

?

?

?

(2014·山东 12)函数 y ?

3 sin 2 x ? cos2 x 的最小正周期为 2

.

【答案】π

(2014·陕西 2)函数 f ( x ) ? cos(2 x ?

?
4

) 的最小正周期是(



A.

? 2

B.?

C .2?

D.4?

【答案】B

(2014·上海 1) 函数 y ? 1 ? 2cos (2 x) 的最小正周期是
2

.

【答案】

? 2

(2014· 上海 12) 方程 sin x ? 3 cos x ?1 在区间 [0, 2? ] 上的所有解的和等于 【答案】

.

7? 3

(2014·四川 3)为了得到函数 y ? sin( x ? 1) 的图象,只需把函数 y ? sin x 的图象上所有 的点( ) B、向右平行移动 1 个单位长度 D、向右平行移动 ? 个单位长度

A、向左平行移动 1 个单位长度 C、向左平行移动 ? 个单位长度 【答案】A

(2014·四川 17)(本小题满分 12 分)

f ( x) ? sin(3 x ? ) 4 已知函数
(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 ? 是第二象限角,
f(

?

?
3

)?

4 ? cos(? ? ) cos 2? 5 4

,求 cos ? ? sin ? 的值。

2 ? 2 5 ? k? ? x ? ? k ? ( k ? Z ) ? 12 3 【答案】 (1) 4 3 ; (2) ? 2 , 2 . ?

?

试题分析:本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角于和差角公式,简单的三角恒等变换等 基础知识,考察运算求解能力,考察分类与整合,化归与转化等数学思想

(1)

?

?
2

? 2 k? ? 3 x ?

?
4

?

?
2

? 2 k? ? ?

?

2 ? 2 ? k? ? x ? ? k? ( k ? Z ) 4 3 12 3 ;

? 4 ? sin(? ? ) ? cos(? ? ) cos 2? 4 5 4 (2)由已知,有 ,



sin ? ? cos ? ?

4 (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? )(sin ? ? cos ? ) 5 ,.

若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 cos ? ? sin ? ? ? 2 ,

4 5 1 ? (cos ? ? sin ? ) 2 ? cos ? ? sin ? ? ? 5 2 . 若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则
综上得, cos ? ? sin ? 的值为 ? 2 或

?

5 2 .

(2014· 天津 8) 已知函数 f ( x) =

3sin wx + cos wx (w > 0) ,x ? R ,在曲线 y = f (x)
p ,则 f ( x) 的最小正周期为( 3


与直线 y = 1 的交点中,若相邻交点距离的最小值为 (A) 【答案】C

p 2

(B)

2p 3

(C) p

(D) 2 p

(2014·天津 16) (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知 a - c = (Ⅰ )求 cos A 的值; (Ⅱ )求 cos ? 2 A ?

6 b, sin B = 6

6 sin C .

? ?

??

? 的值. 6?
b c 6 ? 及 sin B ? 6 sin C , 可得 b ? 6c 又 a ? c ? b, sin B sin C 6

解: (I) 在三角形 ABC 中, 由

有 a ? 2c ,所以 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 6c 2 ? c 2 ? 4c 2 6 ? ? . 2 2bc 4 2 6c
6 10 . ,可得 sin A ? . ,于是 4 4

(II) 在三角形 ABC 中,由 cos A ?

1 15 cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? ,sin 2 A ? 2sin A cos A ? . ,所以 4 4 cos(2 A ?

?
6

) ? cos 2 A cos

?
6

? sin 2 A sin

?
6

?

15 ? 3 . 8

(2014·全国Ⅱ14) 函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 2 sin ? cos x 的最大值为________. 【答案】1

(2014·浙江 4)为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图象,可以将函数 y ? 2 cos3x 的图 象( )

A.向右平移 C.向左平移 【答案】A

?
12

个单位长 个单位长

?

12

? 个单位长 4 ? D.向左平移 个单位长 4
B.向右平移

? ?? ? f ?x ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ?? ? ? 2 2 ? 图像上每一点的横坐标 ? (2014·重庆 13)将函数
? 缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移 6 的单位长度得到 y ? sin x 的图像,则
?? ? f? ?? ? 6 ? ______.
【答案】

2 2


相关文章:
2014年数学三角函数高考题(含答案)文科 纯word版
2014年数学三角函数高考题(含答案)文科 纯word版_数学_高中教育_教育专区。2y y0 (2014·北京 16) (本小题满分 13 分)函数 ?? ? f ? x ? ? 3sin ?...
2014年高考理科数学试题分类汇编_三角函数_word版含答案
2014年高考理科数学试题分类汇编_三角函数_word版含答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。(2014 湖北) 某实验室一天的温度(单位: 满足函数关系: (Ⅰ)求实验室...
2014年高考文科数学三角函数真题
△ ABC 的面积为 求 cosA 与 a 的值. 2014 年高考文科数学真题(三角函数)参考答案与试题解析一.选择题(共 10 小题) 1. (2014?广西)已知角 α 的终边...
2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编:三角函数
2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编:三角函数_数学_高中教育_教育专区。2014...于___. 【答案】 二、解答题: π 5 1.[2014· 江苏卷 15] 已知 α...
2014年高考理科数学试题分类汇编_三角函数_word版含答案
2014年高考理科数学试题分类汇编_三角函数_word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2014 年高考数学试题汇编 三角函数一.选择题 1. (2014 大纲)设 a ? sin 33?...
2014年高考数学试题分类汇编:三角函数
2014 年全国高考数学试题分类汇编: 三角函数一、选择题 1. (2014 年安徽文)若将函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x 的图像向右平移 ? 个单位, 所得...
2014年各省市三角函数高考题汇总
2014 年全国各地高考文科数学试题分类汇编:三角函数 一、选择填空题 1.[2014· 全国新课标卷Ⅰ2] 若 tan α>0,则( ) A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin ...
2014年高考理科数学试题分类汇编_三角函数_word版含答案
2014年高考理科数学试题分类汇编_三角函数_word版含答案_高考_高中教育_教育专区。2014年高考理科数学试题分类汇编_三角函数_word版含答案2014...
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版)__四、三角函数与解三角形(逐题详解)
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版)__四、三角函数与解三角形(逐题详解)_高考_高中教育_教育专区。2016 届文科人教版数学 解三角形 姓 名: 沈...
更多相关标签:
文科三角函数高考题 | 解三角形文科高考题 | 三角函数高考题汇编 | 三角函数高考题 | 解三角形 高考题 | 解三角形高考题汇编 | 文科数学高考题 | 三角函数高考题及答案 |