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2015年罗马尼亚大师赛第二天


第 7 届罗马尼亚大师杯数学邀请赛
第二天:2015 年 2 月 28 日星期六,布加勒斯特

Language: Chinese

4. 已知: ?ABC 中,点 D 为 ?ABC 内切圆在 BC 边上的切点,假设点 J b 与点 J c 分别为 ?ABD 和

?ACD 的内心.求证: ?AJ b J c

的外心落在 ∠BAC 的角平分线上.

5. 设素数 p ≥ 5 ,对于正整数 k ,定义 R (k ) 为 k 被 p 除后的余数, 其中

0 ≤ R ( k ) ≤ p ? 1 . 试求所有正整数 a < p ,使得对每一个 m = 1, 2,L , p ? 1 ,
均有 m + R ( ma ) > a 成立.

6. 给定一个正整数 n ,试求最大的实数 ? ,满足下述条件:对“开”单位正方形 U 内的任意一个由

4n 个点构成的集合 C ,存在一个 U 内的“开”矩形 T ,满足如下性质:
(1) T 的边均与 U 的边平行; (2) T 包含 C 中恰好一个点; (3) T 的面积至少是 ? . (注:所谓“开”图形,是指不含该图形的边界).

说明:每题 7 分,比赛时间为 4.5 小时.


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