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2013北京丰台高三二模数学试题及答案


丰台区 2013 年高三第二学期统一练习(二) 数学(理科)2013.05 第一部分(选择题 共 40 分)

一 、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数 i (3 ? 4i) 的虚部为 (A)3 (B)

3i

(C)4

>(D) 4i

2. 设向量 a =(x,1) b ? (4, x) ,且 a, b 方向相反,则 x 的值是 , (A)2 3. ( x ? (A)6 (B)-2 (C) ?2 (D)0

1 4 ) 展开式中的常数项是 x
(B)4 (C)-4 (D)-6

4. 已知数列{ an }, 则“{ an }为等差数列”是“ a1 ? a3 ? 2a2 ”的 (A)充要条件 (C)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

5. 下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ?

?
12

对称的是

x ? (A) y ? sin( ? ) 2 3

x ? (B) y ? sin( ? ) 2 3

(C) y ? sin(2 x ? ) (D) y ? sin(2 x ? ) 3 3 ?0 ? x ? 1, 1 6. 在平面区域 ? 内任取一点 P( x, y ) ,若 ( x, y ) 满足 2x ? y ? b 的概率大于 ,则 b 的取值范围是 0 ? y ?1 4 ? (A) (??, 2) (B) (0, 2) (C) (1,3) (D) (1, ??) 7. 用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数,其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是 (A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72

?

?

8. 已知偶函数 f ( x)( x ? R) ,当 x ? (?2, 0] 时, f ( x) ? ? x(2 ? x) ,当 x ?[2, ??) 时, f ( x) ? ( x ? 2)(a ? x) ( a ? R ). 关于偶函数 f ( x ) 的图象 G 和直线 l : y ? m ( m ? R )的 3 个命题如下: ① 当 a=4 时,存在直线 l 与图象 G 恰有 5 个公共点; ② 若对于 ?m ? [0,1] ,直线 l 与图象 G 的公共点不超过 4 个,则 a≤2; ③ ?m ? (1, ??), ?a ? (4, ??) ,使得直线 l 与图象 G 交于 4 个点,且相邻点之间的距离相等.
2013 丰台数学二模理科 第 1 页 共 8 页

其中正确命题的序号是 (A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 圆 ? ? 2cos ? 的半径是________。 10.已知变量

x, y 具有线性相关关系,测得 ( x, y) 的一组数据如下: (0,1),(1, 2),(2, 4),(3,5) ,其回归方程为


? y ? 1.4 x ? a ,则 a 的值是

11. 如图, 已知⊙O 的弦 AB 交半径 OC 于点 D,若 AD=4,BD=3,OC=4,则 CD 的长为______。 12. 若双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的离心率为 2 ,则抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点到 C 的 2 a 3

渐近线距离是______。 13. 曲线 f ( x) ? x ?

1 1 在 x ? 处的切线方程是______, x=x0 处的切线与直线 y ? x 在 x 2


和 y 轴围成三角形的面积为

14. 在圆 x 2 ? y 2 ? 25 上有一点 P(4,3), E,F 是 y 轴上两点, 点 且满足 PE ? PF ,直线 PE, 与圆交于 C, PF D, 则直线 CD 的斜率是________。

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题 13 分) 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.

16. (本小题 13 分)国家对空气质量的分级规定如下表: 污染指数 空气质量 0~50 优 51~100 良 101~150 轻度污染 151~200 中度污染 201~300 重度污染 >300 严重污染

某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下: 34 42 140 101 18 38 73 163 121 154 210 22 40 27 45 36 78 151 23 49 65 103 79 135 207 20 81 16 60 48

根据以上信息,解决下列问题: (Ⅰ)写出下面频率分布表中 a ,b, x ,y 的值;
2013 丰台数学二模理科 第 2 页 共 8 页

(Ⅱ)某人计划今年 6 月份到此城市观光 4 天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空气质量为优或良的天 数用 X 表示,求 X 的分布列和均值 EX. 频率分布表 分组 频数 [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] 合计 14 频率

7 15

a
5 b 2 30

x 1 6
y

1 15
1

17. (本小题 13 分)如图(1),等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4,点 D 在线段 AC 上, DE ? AB 于 E,现将△ ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置(如图(2) ). (Ⅰ)求证:PB ? DE; (Ⅱ)若 PE ? BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°,求 PE 长.

A

E

P B E D C C B

D

图(1)

图(2)

18.(本小题 13 分)已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? (Ⅰ)当 a ? ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? a ? R ? . 2

1 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2

(Ⅱ)若 a >0,讨论 f ( x ) 的单调性.

19. (本小题 14 分) 已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1的短轴的端点分别为 A,B,直线 AM,BM 分别与椭圆 C 交于 E,F 两点, 4

其中点 M (m,

1 ) 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 e; (Ⅱ)用 m 表示点 E,F 的坐标; (Ⅲ) 若? BME 面积是? AMF 面积的 5 倍, m 的值. 求
2013 丰台数学二模理科 第 3 页 共 8 页

20.(本小题 14 分)已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 an=3n-2,等比数列 ?bn ? 中, b1 ? a1 , b4 ? a3 ? 1 .记集合

A ? ?x x ? an , n ? N *?, B ? ?x x ? bn , n ? N *? , U ? A ? B ,把集合 U 中的元素按从小到大依次排列,构
成数列 ?cn ? . (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式,并写出数列

?cn ? 的前 4 项;

(Ⅱ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列 ?dn ? ,求数列 ?dn ? 的通项公式,并说明理由; (Ⅲ)求数列

?cn ? 的前 n 项和 S .
n

2013 丰台数学二模理科

第 4 页 共 8 页

丰台区 2013 年高三第二学期统一练习(二)数学(理科)2013.05 参考答案
一 、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 C 6 D 7 B 8 D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 1; 10. 0.9; 11. 2; 12.

2;

13. 3x+y-4=0, 2;

14.

4 . 3

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.解: (Ⅰ)? 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. ? 2sin 2 A ? 2 3 sin A cos A , ?????.2 分

?sin A ? 0,?sin A ? 3 cos A,? tan A ? 3 ,

?????????.4 分 ????????.6 分

? 0 ? A ? ? ,? A ? 60 °.
2 2 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中, ? BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos60 , BC ? 7, AC ? 5,
?

? 49 ? AB2 ? 25 ? 5 AB, ? AB2 ? 5 AB ? 24 ? 0,? AB ? 8 或 AB ? ?3 (舍),????.10 分
? S?ABC ? 1 1 3 AB ? AC ? sin 60? ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 . 2 2 2
????????.13 分

1 1 16、解: (Ⅰ) a ? 6, b ? 3, x ? , y ? , 5 10
(Ⅱ)由题意,该市 4 月份空气质量为优或良的概率为 P=
4

??????????.4 分

4 2 2 ? ? ,???..5 分 15 5 3

1 8 ?1? ? 2? ?1? 1 P( X ? 0) ? C ? ? ? ? , P( X ? 1) ? C4 ? ? ? ? ? ? ? , ? 3 ? ? 3 ? 81 ? 3 ? 81
0 4

3

8 32 ? 2? ?1? ?2? 1 2 3 P( X ? 2) ? C4 ? ? ? ? ? ? ? , P( X ? 3) ? C4 ? ? ? ? ? , 27 81 ? 3 ? ? 3? ? 3? 3 ? 2 ? 16 P( X ? 4) ? C ? ? ? ? . ? 3 ? 81
4 4 4

2

2

3

??????????.10 分

? X 的分布列为:
X P 0 1 2 3 4

1 81

8 81

8 27

32 81

16 81

??????????.11 分
2013 丰台数学二模理科 第 5 页 共 8 页

2 2 8 ? X~B(4, ), ? EX ? 4 ? ? . 3 3 3
17. 解: (Ⅰ)? DE ? AB ,? DE ? BE ,DE ? PE,

??????????.13 分

??????.2 分 ????.4 分

? BE ? PE ? E , ? DE ? 平面 PEB,

? PB ? 平面PEB ,? BP ? DE;

(Ⅱ)? PE ? BE, PE ? DE, DE ? BE ,所以,可由 DE,BE,PE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系(如 图) ,????????5 分

? 设 PE= a ,则 B(0,4- a ,0),D( a ,0,0),C(2,2- a ,0),P(0,0, a ),????????7 分
??? ? ??? ? PB ? (0, 4 ? a, ?a) , BC ? (2, ?2,0) ,????????8 分
设面 PBC 的法向量 n ? ( x, y, z) ,
?? ? ?(4 ? a) y ? az ? 0, 令 y ? 1 , ? n ? (1,1, 4 ? a ) , ????10 分 ?? a ? 2 x ? 2 y ? 0,

z

? PD ? (a,0, ?a) , ? BC 与平面 PCD 所成角为 30°,
??? ? ? ? sin 30? ? cos PD, n
.

??? ?

?????????.12 分 x ?????????.11 分

y

a ? (4 ? a) 2a 2 ? 2 ? (4 ? a) 2 a2

?

4 4 1 , 解得: a = ,或 a =4(舍),所以,PE 的长为 .?????????.13 分 5 5 2
?????????.1 分 ?????????.2 分

18.解:(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} , 当a ? ?

( x ? 2)( x ? 2) 1 时, f ?( x) ? ? , 2x 2

令 f ?( x) ? 0, 在[1,e]上得极值点 x ? 2, x

[1,2)

2 0

(2, e]

f ?(x )
f (x)

?


?
减 ?????????.4 分

2 ln 2 ? 1

1 e2 f (1) ? ? , f (e) ? 2 ? , 4 4

?????????.5 分

? f (1) ? f (e), ? f ( x)max ? f (2) ? 2 ln 2 ? 1, f ( x) min ? f (1) ? ? . ???????.7 分
(Ⅱ) f ?( x) ?

1 4

( x ? 2)(ax ? 1) , x
第 6 页 共 8 页

?????????.8 分

2013 丰台数学二模理科

①当 0 ? a ?

1 1 1 时,由 f ?( x ) >0 得 0<x<2 或 x> ,所以 f(x)的单调增区间是(0,2), ( , ??) , a a 2 1 1 ,所以 f(x)的单调减区间是(2, ); a a
?????????.10 分

由 f ?( x ) <0 得 2<x< ②当 a ?

1 时, f ?( x) ? 0 在(0,+?)上恒成立,且当且仅当 f ?(2) ? 0 , 2
?????????.11 分

? f ( x) 在(0,+?)单调递增;
③当 a ?

1 1 1 时,由 f ?( x ) >0 得 0<x< 或 x>2,所以 f(x)的单调增区间是(0, ), (2, ??) , a a 2 1 1 <x<2,所以 f(x)的单调减区间是( ,2). a a
?????????.13 分 ????????? 3 分 ?????????4 分

由 f ?( x ) <0 得

19.解: (Ⅰ)依题意知 a ? 2 , c ? (Ⅱ)? A(0,1), B(0,?1) ,M (m,

3 ,?e ? 3 ;
2

1 ),且 m ? 0 , 2

? 直线 AM 的斜率为 k1= ?

1 3 ,直线 BM 斜率为 k2= , 2m 2m 2m
?????6 分

3 ? 直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= x ?1 ,
2m

? x2 2 ? y 2 ? 1, 4m ? ? ? 由? 4 得 ? m 2 ? 1? x 2 ? 4mx ? 0 ,? x ? 0, x ? 2 , ? E ? 4m , m 2 ? 1 ? , 2 m ?1 ? m ?1 m ?1 ? ? y ? ? 1 x ? 1, 2m ?

????8 分

? x2 2 ? y 2 ? 1, 12m 由? 4 得 9 ? m2 x 2 ? 12mx ? 0 ,? x ? 0, x ? 2 , ? F ? 12m , 9 ? m ? ;?????10 分 ? 2 ? ? 2 m ?9 ? m ?9 m ?9? ? y ? 3 x ? 1, 2m ?

?

?

(Ⅲ)? S?AMF ?

1 1 | MA || MF | sin ?AMF , S?BME ? | MB || ME | sin ?BME , ?AMF ? ?BME , 2 2
??????..12 分
| ME | | MF |

5S?AMF ? S?BME ,? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,? 5 | MA | ? | MB | ,

?

5m m ? , 4m 12m ?m ?m m2 ? 1 9 ? m2

? m ? 0 ,? 整理方程得
2

1 15 ? 2 ? 1 ,即 (m2 ? 3)(m2 ?1) ? 0 , m ?1 m ? 9
2

又? m ? ? 3 ,? m ? 3 ? 0 , ?m ? 1 ,? m ? ?1 为所求.
2

??????14 分

20. 解: (Ⅰ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q,

? b1 ? a1 ? 1, b4 ? a3 ? 1 ? 8 ,则 q3=8,? q=2,? bn=2n-1,
? 数列 ?an ? 的前 4 项为 1,4,7,10,数列{bn}的前 4 项为 1,2,4,8, ? 数列 ?cn ? 的前 4 项为 1,2,4,7;
2013 丰台数学二模理科 第 7 页 共 8 页

??????..2 分

??????..3 分

(Ⅱ)据集合 B 中元素 2,8,32,128 ? A,猜测数列 ?dn ? 的通项公式为 dn =2

2n-1

.

??????..4 分

? dn=b2n ,? 只需证明数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n ? A( n ? N ? ).
证明如下:

? b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即 b2n+1=b2n-1+3×4n-1,
若 ? m∈N ,使 b2n-1=3m-2,那么 b2n+1=3m-2+3×4 =3(m+4 )-2,所以,若 b2n-1∈A,则 b2n+1∈A.因为 b1∈A,重复使 用上述结论,即得 b2n-1∈A( n ? N ? ) 。 同理,b2n+2-b2n=2
2n+1 * n-1 n-1

-2

2n-1

=2×4 -2×4 =3×2×4 ,即 b2n+2=b2n+3×2×4 ,因为“3×2×4 ” 数列 ?an ? 的公差 3
n n-1 n-1 n-1 n-1

的整数倍,所以说明 b2n 与 b2n+2 (n ? N ? ) 同时属于 A 或同时不属于 A, 当 n=1 时,显然 b2=2 ? A,即有 b4=2 ? A,重复使用上述结论, 即得 b2n ? A,? dn =2
2n-1



???????????????8 分 ??????..9 分

(Ⅲ) (1)当 n=1 时,所以因为 b1 ? a1 ? 1 ,所以 S1=1;

(2)当 n≥2 时,由(Ⅱ)知,数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n ? A,则 ?k ? N ? ,且 k<n,使得

Sn ? ? ai ? ? b2i ?
i ?1 i ?1

n?k

k

(n ? k )(a1 ? an?k ) b2 (1 ? 4k ) (n ? k )(3n ? 3k ? 1) 2(4k ? 1) . ?????? 11 分 ? ? ? 2 1? 4 2 3

下面讨论正整数 k 与 n 的关系: 数列 ?cn ? 中的第 n 项不外如下两种情况: ① b2k ? cn 或者② an?k ? cn , 若①成立,即有 3(n ? k ) ? 2 ? 22k ?1 ? 3(n ? k ? 1) ? 2 , 若②成立,即有 22k ?1 ? 3(n ? k ) ? 2 ? 22k ?1 ,

?有

22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 或者 , ?n? ?n? 3 3 3 3 22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 2 * 显然 = [k ? ? (22 k ? 2 ? 1)] ? N ,所以 . ?n? 3 3 3 3
?1, n ? 1 综上所述, Sn ? ? (n ? k )(3n ? 3k ? 1) 2(4k ? 1) . ? 22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 ? ,n?( , )(k , n ? N ? ) ? 2 3 3 3 ?
??????..14 分

2013 丰台数学二模理科

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