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高考数学一轮复习:第2章 第5节对数与对数函数


全国新课标区模拟精选题:根据高考命题大数据分析,重点关注基础题 4,能力 题 9,11,14.

专项基础测试 模拟精选题
一、选择题 1.(2016· 宁夏银川一中模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x), 当 x>0 时, f(x)=log2(2x ? 1? +1),则 f?-2?等于( ? ? A.log23 解析 答案 ) C.1 D

.-1

B.log25

? 1? ?1? ? 1 ? +1?=-1,故选 D. 依题意得 f?-2?=-f?2?=-log2?2× ? ? ? ? ? 2 ? D

2.(2016· 河南郑州模拟)设函数的集合 P=
? ? 1 1 ? ?f(x)=log2(x+a)+b?a=- ,0, ,1;b=-1,0,1?,平面上点的集 2 2 ? ? ? ? ? 1 1 ? 合 Q=?(x,y)?x=-2,0,2,1;y=-1,0,1?,则在同一直角坐标系中, ? ? ?

P 中函数 f(x)的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是( A.4 解析 B.6 C.8

) D.10

集合 Q 中共有如图所示的 12 个点.

?1 ? 函数 f(x)=log2x 过点?2,-1?,(1,0),故 a=0,b=0 满足条件,将 f(x)=log2x ? ? ? 1 ?a=0,?a=2,?a=0, ? ? 的图象左、右、上、下平移,满足条件的 a、b 共有? ?b=0,? ?b=1, ?b=0, ? 1 ?a=1,?a=1, ?a=2, ? ? ? 6 组.故选 B. ?b=1,?b=-1,? ?b=1,
1

答案

B ) D.ln 2 1 2=2ln 2<ln 2,故选

3.(2015· 山东威海期末)下列四个数中最大的是( A.(ln 2)2 解析 D. 答案 D B.ln(ln 2) C.ln 2

因为 0<ln 2<1,所以 ln(ln 2)<0,(ln 2)2<ln 2,ln

4.(2015· 河北邯郸模拟)已知 g(x)是 R 上的奇函数,当 x<0 时,g(x)=-ln(1-x),
3 (x≤0), ?x 函数 f(x)=? 若 f(2-x2)>f(x),则实数 x 的取值范围是( ?g(x) (x>0),

)

A.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(1,2) 解析

B.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-2,1)

∵函数 g(x)是 R 上的奇函数,且当 x<0 时,g(x)=-ln(1-x),

∴当 x>0 时,g(x)=ln(1+x).
3 ?x (x≤0), ? ∵函数 f(x)= ∴当 x≤0 时,f(x)=x3 为单调递增函数,值域 ?g(x)(x>0),

(-∞,0].当 x>0 时,f(x)=ln(x+1)为单调递增函数,值域(0,+∞).∴函数 f(x) 在区间(-∞,+∞)上单调递增.f(2-x2)>f(x),2-x2>x,所以-2<x<1.故选 D. 答案 D

5.(2016· 山西大学附中月考)已知函数 y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是关于 x 的减 函数,则 a 的取值范围是( A.(0,1) 解析 B.(1,2) ) C.(0,2) D.(2,+∞)

由题意可知 a>0,故函数 y=2-ax 必是减函数,又复合函数是减函数,

所以 a>1,同时在[0,1]上 2-ax>0,故 2-a>0,即 a<2,综上可知,a∈(1, 2). 答案 B

二、填空题 6.(2014· 北京通州模拟)若 f(x)=ax-2,且 f(lg a)= 10,则 a=________. 解析 f(lg a)=alg a-2= 10,
1 1

2

∴lg(alg a 2)=lg


1

1 10=2,∴2lg2a-lg a-1=0,

1 10 ∴lg a=1 或 lg a=-2,∴a=10 或 a= 10 . 10 答案 10 或 10 三、解答题 ax-2 7.(2014· 安阳模拟)已知函数 f(x)=log1 (a 为常数). x-1 2 (1)若常数 a<2 且 a≠0,求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在区间(2,4)上是减函数,求 a 的取值范围. 解 (1)由题意知 ax-2 >0, x-1

2 当 0<a<2 时,解得 x<1 或 x>a; 2 当 a<0 时,解得a<x<1.
? ? 2? 故当 0<a<2 时,f(x)的定义域为?x?x<1,或x>a?; ? ? ? ? ?2 ? 当 a<0 时,f(x)的定义域为?x?a<x<1?. ? ? ?

(2)令 u=

ax-2 ,因为 f(x)=log1u 为减函数,故要使 f(x)在(2,4)上是减函数, x-1 2 ax-2 a-2 =a+ 在(2,4)上单调递增且为正. x-1 x-1

只需 u(x)=

?a-2<0, 故由? 得 1≤a<2.故 a∈[1,2). 2a-2 u(2)= ≥0, 2-1 ?
创新导向题
对数函数的单调性及比较大小问题 1 ?1 ? 8.若 x∈?e,1?,设 a=ln x,b=2ln x,c=eln x,则 a,b,c 的大小关系为( ? ? A.c>b>a C.a>b>c B.b>a>c D.b>c>a )

3

解析

1 1 - 依题意,得-1=ln e <ln x<ln 1=0,即-1<a<0,1<b=2 ln x<2,e<c=

eln x=x<1,因此有 b>c>a,故选 D. 答案 D

专项提升测试 模拟精选题
一、选择题 9.(2016· 内蒙古赤峰模拟)已知实数 a>0,且 a≠1,函数 f(x)=loga|x|在(-∞,0)上 1 是减函数,函数 g(x)=ax+ax,则下列选项正确的是( A.g(-3)<g(2)<g(4) C.g(4)<g(-3)<g(2) 解析 B.g(-3)<g(4)<g(2) D.g(2)<g(-3)<g(4) )

由函数 y=loga|x|在(-∞,0)上为减函数,可得 a>1,故 g(-3)-g(2)=

a5-1 a7-1 (a-1)× a3 >0,所以 g(-3)>g(2),又 g(4)-g(-3)=(a-1)× a4 >0,所以 g(4)>g(-3),故有 g(4)>g(-3)>g(2). 答案 D

?(1-2a)x+3a,x<1, 10.(2015· 河北唐山模拟)已知 f(x)=? 的值域为 R,那么 a ?ln x,x≥1 的取值范围是( A.(-∞,-1] 1? ? C.?-1,2? ? ? 解析 ) 1? ? B.?-1,2? ? ? 1? ? D.?0,2? ? ?

?(1-2a)x+3a,x<1, 由题意知函数 f(x)=? 在每一段均为增函数,且 ?ln x,x≥1.

?1-2a>0, 1 满足? ∴-1≤a<2,故选 C. ?1-2a+3a≥0, 答案 C

二、填空题 11.(2016· 广东揭阳一模)已知函数 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 x∈[0,1)时,f(x)

4

?2 016? =lg(x+1),则 f? 5 ?+lg 18=________. ? ? 9 5 ?2 016? ?6? ? 4? ?4? 解析 f? 5 ?=f?5?=f?-5?=f?5?=-lg 5=lg 9, ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ?2 016? 故 f? 5 ?+lg 18=lg 9+lg 18=lg 10=1. ? ? 答案 1 3 12.(2016· 福建三明模拟)已知 f(x)=asin x+b x+4(a, b∈R), 且 f[lg(log210)]=5, 则 f[lg(lg 2)]=________. 3 解析 lg(log210)=-lg(lg 2),f(-x)=asin(-x)+b -x+4, 3 f(-x)=-(asin x+b x)+4.∴f(-x)+f(x)=8,又 f[lg(log210)]=5, ∴f[lg(lg 2)]=8-5=3. 答案 3 三、解答题 1-x 13.(2015· 长沙模拟)已知函数 f(x)=-x+log2 . 1+x 1 ? ? 1 ? ? (1)求 f?2 014?+f?-2 014?的值; ? ? ? ? (2)当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1),a 是常数时,函数 f(x)是否存在最小值? 若存在,求出 f(x)的最小值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由 f(x)+f(-x)=log2 1-x 1+x +log2 =log21=0. 1+x 1-x

1 ? ? 1 ? ? ∴f?2 014?+f?-2 014?=0. ? ? ? ? 2 ? ? (2)f(x)的定义域为(-1,1),∵f(x)=-x+log2?-1+x+1?, ? ? 当 x1<x2 且 x1,x2∈(-1,1)时,f(x)为减函数,∴当 a∈(0,1),x∈(-a,a] 时 f(x)单调递减, ∴当 x=a 时,f(x)min=-a+log2 1-a . 1+a

5

创新导向题
对数函数图象与零点问题 ?log2x,x>0, 14.已知函数 f(x)=? x 且函数 h(x)=f(x)+x-a 有且只有一个零点,则 ?3 ,x≤0, 实数 a 的取值范围是( A.[1,+∞) C.(-∞,1) 解析 ) B.(1,+∞) D.(-∞,1]

在同一坐标系中分别作出 y=f(x)与 y=-x+a 的图象, 其中 a 表示直线

在 y 轴上的截距;由图可知,当 a>1 时,直线 y=-x+a 与 y=f(x)只有一个交 点,故选 B.

答案

B

6


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