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江西省上饶市重点中学2014届高三六校第二次联考数学文试题(word版)


上饶市重点中学 2014 届高三六校第二次联考

数学(文)试题
命题学校:上饶市二中 主命题人:李克华 副命题人:熊连平 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分 总分:150 分时间:120 分钟

第 I 卷(选择题)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给

出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.设复数,i 为虚数单位,则复数 z 在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设 A、B 是两个非空集合,定义运算 A? B

( A B)且x 锨 ( A B)},已知 {x | x 吻

A=

{ x|

y=

2 x-

2

x , }

B = {

,则 A× B=( ) |y = yx 2 , > x 0 }) B.[o,2]

A.[o,1] C. [0,1) ? [2, ∞)
2 3

D.[0,1] ? (2,+∞)

3.若二项式 ( ? x ) 展开式中的常数项为 k,则直线 y=kx 与曲线 y=x2 围成的封闭图形的面积为 A.3 B.

1 x

9 2

C.9

D.

27 2

4 .已知一个几何体的三视图如图所示,根据图中尺寸可得该几何体的表面积为 ( ) A.26 c.28+ B.24+4 2

5

D.26+2 3

5.某学生在高三学年最近九次考试中的数学成绩加下表:

设回归直线方程 y= bx+a, 则点 (a, b) 在直线 x+5y-10=0 的 ( A.左上方 B.左下方 C.右上方

) D.右下方

6.执行如图所示的程序框图后,输出的值为 5, 则 P 的取值范围是( )
页 1第

7 15 ? P 8 16 7 15 C. ? p ? 8 16
A. 7.函数 y ? 1og 1 sin(
2

B. P ? D.

15 16

3 7 ? p? 4 8

2? ? 2 x) 的一个单调递减区间是 3
B. ( ?

A. ( ? C. (

? ?
6 12 ,

)

, ) 12 3

? ?

, ) 6 3 ? 7? ) D. ( , 12 12

? ?

8.已知 l1 与 l2 是互相垂直的异面直线, l1 在平面 ? 内, l2 ∥ ? ,平面 ? 内的动点 P 到 l1 与 l2 的距离相等, 则点 P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 9.已知三个不全相等的实数 a、b、c 成等比数列,则可能成等差数列的( ) A.a、b、c B.a2、b2、c2 C.a3、b3、c3 D. a 、 b 、 c

10.如图,动点 P 在正方体 ABCD — A1B1C1D1 的对角线 BD1 上, 过点 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直线,与正方体表面相交于 M,Ⅳ, 设 BP=x,MN =y,则函数 y= f ( x ) 的图象大致是( )

第 II 卷(非选择题)
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置) 11.函数 f ( x) ? 1n(2 x ? x ) ?
2

1 的定义域为 x ?1



12.点 P 在曲线 y=lnx+2 上运动,点 Q 在直线 x- y+4=0 上运动,则 P,Q 两点的最短距离是 . 13.给出命题:(1)三棱锥的四个面都可以是直角三角形,(2)有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱, (3)三棱锥中若有两组对棱互相垂直,则第三组对棱也一定互相垂直,其中正确的命题是 (填正确的命题的序号) 14.点 M 是边长为 2 2 的正方形 ABCD 内或边界上一动点,N 是边 BC 的中点,则 AN · AM 的 最大值为_ .

15.对于函数 y= f ( x ) ,若存在定义域 D 内某个区间[a,b],使得 y= f ( x ) 在[a,b]上的值域也为[a,b],则 称函数 y= f ( x ) 在定义域 D 上封闭,如果函数 f ( x) ? ?

4x 在 R 上封闭,则 b-a= 1? | x |



三、解答题(第 16、17、18、19 题各 12 分,第 20 题 13 分,第 21 题 14 分,共 75 分) 。



2第

16.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 5sin (1)求角 C 的大小; (2)若

C ? cos C ? 2 。 2

tan A 4 3c ?1 ? , c ? 2 ,求边 a 的长. tan B 3b

17.如图,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在植树节的植树棵数,乙组同学记录中有一个数据 模糊,无法确认,在图中用 X 表示.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差。 (2)如果 X=9, 分别从甲、 乙两组同学中随机选取一名同学, 求这两名同学的植树总棵数为 19 棵的概率。 18.已知等差数列 ?an ? ,的前 n 项和为 Sn,且 a2=2,S5=15,数列 ?bn ? 满足 b1 ? (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)记 Tn 为数列{bn}的前 n 项和, f ( n) ?

1 n ?1 , bn ?1 ? bn 。 2 2n

2 Sn (2 ? Tn ) ,试问 f ( n) 是否存在最大值,若存在,求出最大 n?2

值,若不存在请说明理由. 19.如图,E 是以 AB 为直径的半圆上异于 A,B 的一点,四边形 ABCD 是矩形,且 AB=2AD=2,沿 AB 翻折, 使平面 ABCD⊥平面 ABE,F 为平面 ECD 与半圆弧的另一交点. (1)求证:平面 ADE⊥平面 BEC: (2)求证:EF∥CD. (3)若 EF =1,求三棱锥 E- ADF 的体积.

x2 y 2 20.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,交 y 轴于 P a b
点,设 PA ? mAF, PB ? nBF,( m, n? R) .已知椭圆 C 上的点到焦点 F 的最大值与最小值的比值为 3+2 2
页 3第

(1)求椭圆的离心率; (2)求证:m+n 为定值. 21.已知函数 f ( x) ? ax ? x1nx 的图像在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线 x+3y-1=0 垂直。 (1)求 a 的值 (2)若 k ? Z ,且 k ?

f ( x) 对任意 x>l 恒成立,求 k 的最大值。 x ?1

(3)当 n>m≥4 时,证明:(mnn)m>(nmm)n

参考答案
一、选择题:A B B C 12. C D B C C D 14.12 15. 6

二、填空题:11. ?1,2? 三、解答题 16.(1)由 5 sin

3 2 2

13. ?1?, ?3?

C ? cos C ? 2 得 2 C 2 C 5s i n ? 1? 2s i n ?2 2 2

C ? ? C ?? ? s i n ? 3 ?? 2 s i n ? 1? ? 0 2 2 ? ? ??
C 1 C s i n ? , s i n ? ?3 (不合题意) 2 2 2
? ?C ?

?

3



4第

(2)由

tan A 4 3c ?1 ? , c ? 2, 得 tan B 3b 3 13 ,? sin A ? 4 4 c a c sin A 39 , ? ,a ? ? sin C sin A sin C 3

cos A ?

由正弦定理得:

17.解: (1)当 x ? 8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10.

? 平均数为 x ?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? 4 4 1 35 35 35 2 35 2 11 2 2 2 方差 S ? [(8 ? ) ? (8 ? ) ? (9 ? ) ? (10 ? ) ] ? 4 4 4 4 4 16

(2)记甲组四名同学为: A1, A2 , A3 , A4 , 他们植树棵数是 9,9,11,11.记乙组四名同学为: B1, B2 , B3 , B4 , 他们植树 棵数是 9,8,9,10.分别从甲、乙两组同学中随机选取一名同学,所有可能的结果有 16 个,它们是

? A1 , B1 ? , ? A1 , B2 ?, ? A1 , B3 ? , ? A1 , B4 ?, ? A2 , B1 ?, ? A2 , B2 ? ,

? A2 , B3 ?, ? A2 , B4 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ?, ? A3 , B3 ? , ? A3 , B4 ?, ? A4 , B1 ?, ? A4 , B2 ? , ? A4 , B3 ?, ? A4 , B4 ?
?P ? 1 4

18.解:(1)设等差数列 ?a n ?首项为 a1 ,公差为 d , 则?

?a1 ? d ? 2 得 a1 ? 1, d ? 1 ,? an ? n ?5a1 ? 10d ? 15
n ?1

b b b b ?1? 又 n ?1 ? n ,? n ? 1 ? ? n ? 1 2n n 1 ?2?
(2)由(1)得: Tn ?

? bn ?

n 2n

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n 2 2 2 2 1 1 1 1 Tn ? 2 ? 3 ? ?? ? n ?1 2 2 2 2 n?2 得 Tn ? 2 ? n 2

f ( n) ?

2 S n (2 ? Tn ) n 2 ? n ? n?2 2n

(n ? 1) 2 ? n ? 1 n 2 ? n (n ? 1)( 2 ? n) f (n ? 1) ? f (n) ? ? n ? 2 n ?1 2n?1 2
当 n ? 3 时, f (n ? 1) ? f (n) ? 0



5第

3 3 , f (3) ? 2 2 3 ? f (n) 存在最大值为 2 19.(1)证明:? 平面 ABCD⊥ 平面 ABE
又 f (1) ? 1, f (2) ? CB⊥ AB 平面 ABCD∩ 平面 ABE=AB ? CB ? 平面 ABE,CB⊥ AE,BE⊥ AE 又 AE ? 平面 ADE 平面 BEC ? 平面 ADE⊥ (2)? CD∥ AB, AB ? 平面 ABE,CD ? 平面 ABE 平面 ABE,平面 CDE∩ 平面 ABEF=EF ? CD∥ EF ? 平面 ABE,? CD∥ EF (3)? AB∥ EF,AB=2,EF=1 点 E 到直线 AB 的距离为 3,

1 3 ?VE ? ADF ? VD ? AEF ? S ?AEF ? AD ? 3 12

20.解: (1)由题意得:

a?c ? 3? 2 2 a?c

?

1? e 2 ? 3? 2 2 得e ? 1? e 2
2 2 2 2

(2)由 (1)得 a ? 2c , b ? c ,设椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 2c 2 c 2

直线方程为: y ? k ( x ? c) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? x2 y2 ? ?1 ? 2 2 2 2 2 由 ? 2c 2 c 2 得 (2k ? 1) x ? 4k cx ? 2k c ? 2c ? 0 ? y ? k ( x ? c) ?
? x1 ? x2 ? 4k 2 c 2k 2c 2 ? 2c 2 , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

又因为点 P (0,? kc) ,由

P A? m A,F P? B

n, B ( F, ? m n得 ) m R?

x1 x ,n ? 2 c ? x1 c ? x2

?m ? n ?

x1 x c( x ? x ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? 2 1 2 ? ?4 c ? x1 c ? x2 c ? c( x1 ? x2 ) ? x1 x2

21.解:(1)? f ( x) ? ax ? x ln x

? f ?( x) ? a ? 1 ? ln x
页 6第

由 f ?(e) ? 3 得 a ? 1 (2)由(1)得 f ( x) ? x ? x ln x

?k ?

f ( x) x ? x ln x 对任意 x ? 1 恒成立即 k ? x ?1 x ?1 x ? x ln x x ?1

令 g ( x) ?

? g ?( x) ?

x ? ln x ? 2 ( x ? 1) 2
1 x

令 h( x) ? x ? ln x ? 2( x ? 1) 由 h?( x ) ? 1 ?

? h?( x ) ? 1 ?

1 ? 0 得 h( x) ? x ? ln x ? 2( x ? 1) 在 (0,??) 上单调递增 x

h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0

h(4) ? 1 ? ln 4 ? 0

? h( x) ? 0 在 (1,??) 上存在唯一实根 x ? x0 ,且 x0 ? (3,4)
当 1 ? x ? x0 时, h( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 ,当 x ? x0 时, h( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 函数 g ( x) 在 x ? x0 处取得最小值, ?g ( x)?min ? g ( x0 ) ? x0 ? (3,4) 故整数 k 的最大值为 3

x ? x ln x 是 [4,??) 上的增函数 x ?1 n ? n ln n m ? m ln m ? ? 当 n ? m ? 4 时,有 n ?1 m ?1 即 mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n ? n ? m
(3)由(1)得 g ( x ) ?

ln(mnn )m ? ln(nmm )n
? (mnn )m ? (nmm )n



7第


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